李尚志教授線性代數(shù)

1、 線性代數(shù)線性代數(shù) 新教材精彩案例新教材精彩案例 李尚志李尚志 北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué) 2022-2-17一、一、 指導(dǎo)思想指導(dǎo)思想 1 1、主題、主題 文學(xué)文學(xué): : 永恒主題永恒主題 = = 愛愛 + + 死死 ? ? 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué): : 重要主題重要主題 = = 方程方程+ +函數(shù)函數(shù) 微積分微積分: : 非線性非線性線性線性 線性代數(shù)線性代數(shù): : 多元一次方程組多元一次方程組+ +多元一次函數(shù)組多元一次函數(shù)組2022-2-17 空間解析幾何空間解析幾何 = 3 = 3 維線性代數(shù)維線性代數(shù) 線性代數(shù)線性代數(shù) = n = n 維解析幾何維解析幾何 空間為體，矩陣為用空間為體，矩陣

2、為用 幾何問題幾何問題矩陣語言描述矩陣語言描述 矩陣運算解決矩陣運算解決 幾何解幾何解 方程組方程組幾何描述幾何描述代數(shù)語言描述代數(shù)語言描述 矩陣運算求解矩陣運算求解2 2、代數(shù)幾何熔一爐、代數(shù)幾何熔一爐2022-2-17 幾何幾何 PK PK 代數(shù)代數(shù) 幾何好看不好算幾何好看不好算 代數(shù)好算不好看代數(shù)好算不好看 幾何幾何代數(shù)代數(shù): : 幫助計算幫助計算 代數(shù)代數(shù)幾何：幫助理解幾何：幫助理解2022-2-17 內(nèi)容內(nèi)容: : 最簡單最簡單的方程的方程 - - 一次方程一次方程 最簡單最簡單的函數(shù)的函數(shù) - - 一次函數(shù)一次函數(shù) 算法少：只有兩個算法少：只有兩個 (1) 矩陣初等變換，矩陣初等變

3、換，(2) 矩陣乘法。矩陣乘法。 通過初等矩陣相互轉(zhuǎn)化通過初等矩陣相互轉(zhuǎn)化 1 . 5 1 . 5 個個3 3、線性代數(shù)之易、線性代數(shù)之易2022-2-17 不怪抽象，不怪學(xué)生不怪抽象，不怪學(xué)生 怪誰：只為考試死記硬背，不解決問題怪誰：只為考試死記硬背，不解決問題 解方程組只會用中學(xué)代入法解方程組只會用中學(xué)代入法; ; 判定方程判定方程組解的惟一性不會用線性無關(guān)組解的惟一性不會用線性無關(guān); ; 算旋轉(zhuǎn)算旋轉(zhuǎn)不會用矩陣乘法不會用矩陣乘法; ; 算旋轉(zhuǎn)軸不會用特征算旋轉(zhuǎn)軸不會用特征向量向量; ; 抽象抽象= =許多不同事物共同點許多不同事物共同點= =難得糊涂難得糊涂 = =放之四海皆準(zhǔn)放之四海皆

4、準(zhǔn)= =無招勝有招無招勝有招4 4、線性代數(shù)之難、線性代數(shù)之難: :抽象抽象2022-2-17 學(xué)會少量算法，解決大量問題學(xué)會少量算法，解決大量問題 各種問題各種問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(凌波微步凌波微步)少量算法少量算法 無招勝有招無招勝有招 如何實現(xiàn)：通過有招學(xué)無招如何實現(xiàn)：通過有招學(xué)無招 積累案例，使用案例積累案例，使用案例 案例：陽春白雪案例：陽春白雪下里巴人下里巴人 抽象數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)貼近生活，喜聞樂見，易學(xué)易用貼近生活，喜聞樂見，易學(xué)易用5 5、線性代數(shù)之教學(xué)任務(wù)、線性代數(shù)之教學(xué)任務(wù) 博客與視頻博客與視頻 http:/ http:/ 比夢更美好比夢更美好, , 名師培養(yǎng)了我名師培養(yǎng)了我 數(shù)學(xué)家的

5、文學(xué)故事數(shù)學(xué)家的文學(xué)故事 數(shù)學(xué)聊齋數(shù)學(xué)聊齋, , 數(shù)學(xué)詩選數(shù)學(xué)詩選視頻視頻: 李尚志李尚志訪談訪談: :教育人生教育人生數(shù)學(xué)的草根本色數(shù)學(xué)的草根本色 CCTV1CCTV1見證與親歷見證與親歷: :首博誕生記首博誕生記 網(wǎng)上資源網(wǎng)上資源 http:/ 精品課程精品課程國家級國家級 數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗(2003),(2003),線性代數(shù)線性代數(shù)(2004)(2004) http:/教育部教育部 線性代數(shù)線性代數(shù)( (非數(shù)學(xué)專業(yè)非數(shù)學(xué)專業(yè))(2006)(2006) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) (2008) (2008) (鄭志明鄭志明) ) 聯(lián)系辦法聯(lián)系辦法: 2022-2-17 數(shù)學(xué)的神韻數(shù)學(xué)的神韻 科學(xué)出版

6、社科學(xué)出版社 2010.42010.4 新書介紹新書介紹 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志, , 線性代數(shù)線性代數(shù)( (數(shù)學(xué)專業(yè)用數(shù)學(xué)專業(yè)用),), 高等教育出版社高等教育出版社,2006.5,2006.5 精品課程網(wǎng)頁精品課程網(wǎng)頁http:/ 2022-2-17案例案例1.1 解解n n元元一次方程組一次方程組 與中學(xué)接軌：與中學(xué)接軌：加減消去法加減消去法 各方程乘常數(shù)再相加各方程乘常數(shù)再相加 = = 線性組合線性組合 原方程組解原方程組解新方程解新方程解原方程解原方程解? ? 怎樣保證怎樣保證: :變形前后互為線性組合變形前后互為線性組合! ! 怎樣實現(xiàn)怎樣實現(xiàn): :初等變換初等變換,

7、,高斯消去法。高斯消去法。 只計算系數(shù)只計算系數(shù): :矩陣消元矩陣消元. . 只用到加減乘除只用到加減乘除: :數(shù)域數(shù)域2022-2-17案例案例2.1 方程組惟一解問題方程組惟一解問題 例例1.1.過已知點過已知點 的多項式函數(shù)曲線的多項式函數(shù)曲線 方程組的解是否惟一方程組的解是否惟一: :2022-2-17 方程組惟一解問題方程組惟一解問題 例例2 2. .已知電壓與各電阻已知電壓與各電阻, ,求各段電流求各段電流 對任意電阻值有惟一解對任意電阻值有惟一解? ? 物理：物理：yes.yes. 代數(shù)：方程組總有惟一解嗎？代數(shù)：方程組總有惟一解嗎？二元一次方程組的幾何意義二元一次方程組的幾何意

8、義寫成向量形式寫成向量形式惟一解條件惟一解條件: : OA,OB 不共線不共線 , ,組成平面上一組基組成平面上一組基案例案例2.2 n=2,3的幾何解法的幾何解法用各用各aj j 線性組合線性組合 b, ,何時系數(shù)惟一？何時系數(shù)惟一？案例案例2.3. n元方程組幾何解釋元方程組幾何解釋2022-2-17案例案例2.4 共線共面概念推廣共線共面概念推廣 幾何概念難推廣，用代數(shù)運算描述易推廣幾何概念難推廣，用代數(shù)運算描述易推廣 兩向量兩向量a, ,b共線共線 一個是另一個的實數(shù)倍一個是另一個的實數(shù)倍 xa+yb=0 有非零解有非零解 (x,y). 三向量三向量a,b,c共面共面 一個是另兩個的線

9、性組合一個是另兩個的線性組合 推廣到推廣到 n n 維向量維向量 線性相關(guān)線性相關(guān): : 有非零解有非零解 線性無關(guān)線性無關(guān): : 只有零解只有零解 若有解必惟一若有解必惟一xa+yb+zc=0 有非零解有非零解 (x,y,z)解方程組解方程組OB順時針方向旋直角順時針方向旋直角到到 與方程兩邊作內(nèi)積消去與方程兩邊作內(nèi)積消去y，得得是平行四邊形是平行四邊形OAPB有向面積有向面積. 稱為二階行列式。稱為二階行列式。 案例案例3.1 二階行列式二階行列式: :幾何定義幾何定義利用基本性質(zhì)計算利用基本性質(zhì)計算 2 階行列式階行列式利用基本性質(zhì)計算：利用基本性質(zhì)計算：= 案例案例3.2 三階行列式三

10、階行列式幾何定義：幾何定義：D D=a (bc) 平行六面體有向體積平行六面體有向體積2022-2-17案例案例3.3 n n階行列式定義階行列式定義 3 3階算法：階算法： 各列取不同行元素各列取不同行元素ai,bj,ck相乘再乘相乘再乘d d(ijk) =(-1)=(-1)s s. . d d(ijk)是自然基列向量是自然基列向量e ei,e,ej,e,ek排排成的行列式成的行列式, ,經(jīng)經(jīng)s次兩列互換為次兩列互換為d d (123)=1. . n 階行列式階行列式 D D= = 排列排列 經(jīng)經(jīng)s次對換變成次對換變成 則則 在在 中將中將1,2,依次往前一步步換依次往前一步步換到第到第1,

11、2, 位位. .則則 s = = 逆序數(shù)逆序數(shù)2022-2-17案例案例3.4 行列式判定線性無關(guān)行列式判定線性無關(guān) 方陣方陣A的行列式的行列式(n(n維體積維體積) ) D D 0 0 各列線性無關(guān)各列線性無關(guān)方程組方程組Ax=b有惟一解有惟一解。 證明證明: : A 的各列的各列 a1 1,an n 線性相關(guān)線性相關(guān) 某列某列 ai 是其余各列的線性組合是其余各列的線性組合 將各列將各列aj的的l lj 倍加到第倍加到第i i列列 A的第的第i列化為零列化為零 D D=0. 可見：可見：D D 0 各列線性無關(guān)各列線性無關(guān). 反過來反過來: D D= =0 初等行變換化成階梯形初等行變換化

12、成階梯形, , 最后一行為零最后一行為零 各列線性相關(guān)各列線性相關(guān). 2022-2-17案例案例3.5 惟一解公式惟一解公式(Crammer)(Crammer) 以以n=3為例為例: : 左邊第左邊第2 2列乘列乘-y,-y,第第3 3列乘列乘-z,-z,各加到第各加到第1 1列列 再提取公因子再提取公因子x,x,得得 x xD D= =D D1 1 x= x=D D1 1/ /D D. 類似可得類似可得 y=y=D D2 2/ /D D, z=z=D D3 3/ /D D.案例4.1 秩與維數(shù)的惟一性 向量組向量組 A=A=(a1, am) 的線性組合的線性組合 B= =(b1,bk) .

13、km B 線性相關(guān)線性相關(guān). . 記記A的線性組合的線性組合 b 為乘積形式為乘積形式 則則 (3)(3) k k個個m維數(shù)組維數(shù)組X Xj j線性相關(guān)線性相關(guān) b bj j線性相關(guān)線性相關(guān) A,BA,B互為線性組合且線性無關(guān)互為線性組合且線性無關(guān) m=km=k案例4.2 矩陣乘法的引入 矩陣矩陣 A=A=(a1, am) 看成列向量組看成列向量組 線性組合線性組合 a1x1+anxn 寫成寫成“行向量行向量”A”A乘乘 列向量列向量 X A A與矩陣與矩陣X=(X1 1, , Xk k)的乘積的乘積: A: A乘各列乘各列 AX=A(XAX=A(X1 1,X Xk k)=(AX)=(AX1

14、1,AXAXk k) ) 實際上是利用分塊運算引入矩陣乘法實際上是利用分塊運算引入矩陣乘法案例4.3 矩陣乘法運算律 乘法法則乘法法則 對角陣對角陣 純量陣與單位陣純量陣與單位陣案例4.3 矩陣乘法運算律 分配律分配律 A(X+Y)=AX+AY. A(X+Y)=AX+AY. (1) X,Y(1) X,Y只有一列：合并同類項只有一列：合并同類項 (2)X,Y(2)X,Y有若干列有若干列: : 逐列比較逐列比較案例4.3 矩陣乘法運算律 結(jié)合律結(jié)合律 (AB)C = A(BC). (AB)C = A(BC). (AX)l l=(a1x1+anxn)l l =a1(x1l l)+an(xnl l)=

15、 A(Xl l) (AB)L L= = A(BL L) (AB)Cj=A(BCj)案例4.4 運算律應(yīng)用例 例例1. 例例2.2. 求求 AB, AAB, An n. . X XAX:AX:旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角a . a . OPOP=(x,y)=xe1+ye2 OQOQ=xe2+y(-e1)=(-y,x) OP=(OP=(coscosa)a)OP+(sinOP+(sina)a)OQOQ 例例3. . 3. . 求求 A A1010. . 解解. .A=A=l lI I+ N ,+ N , 例例4. .4. .求求 B B 使使 B B1010=A=A 解解. .A=I+ N ,A=I+ N , 易驗

16、證易驗證 B B 滿足要求。滿足要求。 例例5.5.解微分方程組解微分方程組 解解. . 通解通解X= X= e eAtAtC.eC.eAtAt由由TaylorTaylor級數(shù)定義級數(shù)定義. . 令令 , ,則則 N N2 2 = O= O 例例6.6.矩陣求逆（解矩陣方程組矩陣求逆（解矩陣方程組) ) 解解. .解方程組解方程組 AX=IAX=I。按列分塊：。按列分塊： A(X1,Xn)=(e1,en ) 分別解分別解 AXj = ej. 分別做初等變換（分別做初等變換（A,eA,ej j)-)-( (I,XI,Xj j) ) 同時做同時做 (A,e(A,e1 1, ,e,en n) )(I

17、,X(I,X1 1, , ,X Xn n) ) 即即(A,I)(I,X),X=A-1. 解解 AX=BAX=B，(A,B)(A,B)(I,X).(I,X).案例案例5.1 最小二乘法最小二乘法(1)(1) 例1.過三點(3.7,0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作直線y=y=kx+bkx+b. . 解. 解方程組解方程組 即即 kaka1 1+ba+ba2 2=c.=c. 求求D D與與C C距離最近距離最近. . 幾何解幾何解:DC:DC平面平面p. p. ATAX=ATc 案例案例5.2 最小二乘法最小二乘法(2)-(2)-內(nèi)積內(nèi)積 例2.過n點(xi,yi)作直線y=y=

18、kx+bkx+b. . 解.解方程組解方程組 kaka1 1+ba+ba2 2= =c,AXc,AX=c.=c. a a1 1,a,a2 2是是n n維向量維向量. . 內(nèi)積推廣到內(nèi)積推廣到R Rn n. . 仍求距離仍求距離CDCD最短最短. . 為什么為什么DCDC平面平面p?p? 勾股定理勾股定理: CP2=CD2+DP2 CD2. , ATAX=ATc 案例案例5.3 勾股定理的理由勾股定理的理由 (a-b)(a-b)2 2 = = a(a-b)+(-b)(a-ba(a-b)+(-b)(a-b) ) = = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-baa+a(-b)+(-b)a+(-

19、b)(-b) ) = a = a2 2 -2ab +b-2ab +b2 2 對向量對向量 a,ba,b 仍成立仍成立: : AB AB 2 2 = =CACA2 2 + + CB CB 2 2 -2 -2CACA* *CB CB * *cosCcosC 完全平方公式完全平方公式 = = 余弦定理（含勾股定理余弦定理（含勾股定理) ) 對數(shù)組向量對數(shù)組向量 a,ba,b 也成立。也成立。案例案例5.4 Cauchy Cauchy不等式不等式 例3.Cauchy不等式的理由. 向量向量 a=OA,b=OB 夾角夾角q |cosq| =|(a,b)|/(|a|b|) 1 (a,b)2|a|2|b|2 為什么為什么|cosq| 1? 直角邊直角邊| |OC| 斜邊斜邊