立體幾何需注重結(jié)論與模型的學(xué)習(xí)

1、盧建武多年的實(shí)際情況表明：高中的學(xué)生初學(xué)立體幾何時(shí)，總感覺比較困難，甚至不知如何學(xué)起，這當(dāng)然與剛接觸新生事物需有一個(gè)適應(yīng)的過程有關(guān)，這是客觀規(guī)律，但若幾個(gè)月之后，還只是停留在記住了書上的公理、定理、推論上，而在應(yīng)用方面沒有大的突破，那就不是單純的適應(yīng)不適應(yīng)的問題了，而是會(huì)不會(huì)學(xué)習(xí)的問題了.筆者認(rèn)為：除了要記住課本上本身的公理、定理、推論并能基本運(yùn)用外，適當(dāng)?shù)赜涀⌒┏Ｒ姷慕Y(jié)論和模型，對(duì)我們解題很有幫助. 現(xiàn)將一些常見的結(jié)論和模型羅列如下，希對(duì)廣大的初學(xué)立體幾何者和這部分內(nèi)容學(xué)得相對(duì)較弱者有所裨益.一、結(jié)論：1、在四面體中，設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為.若或與底面所成的角相等，則為底面的外心(外接圓的圓

2、心也即的三邊的垂直平分線的交點(diǎn))；若，則為底面的垂心，同時(shí)也有(即四面體中若有兩組對(duì)棱相互垂直，則任何頂點(diǎn)在與之相對(duì)面上的射影都是該面三角形的垂心，且第三組對(duì)棱也相互垂直)；特殊地，若兩兩垂直，也有一樣的結(jié)論；若在的內(nèi)部，且到的三邊的距離相等或側(cè)面與底面所成的二面角相等，則為底面的內(nèi)心(的內(nèi)切圓的圓心也即三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn))；在運(yùn)用這個(gè)結(jié)論時(shí)需注意：若沒有在的內(nèi)部這一限制，則還可能是的旁心(的旁切圓的圓心也即的兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)).2、設(shè)在平面內(nèi)，點(diǎn)，若(或到的兩邊的距離相等)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在的平分線所在的直線上.如圖，連，分別作于，于，連，則由三垂線定理知. 在和中

3、，由，為公共斜邊知它們?nèi)龋裕瑥亩?，又，所以在的平分線所在的直線上.3、若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)面內(nèi)的任意一條直線在另一個(gè)平面上的射影必在兩個(gè)平面的交線上. 這個(gè)結(jié)論有助于我們?nèi)ふ乙粭l直線與一個(gè)平面所成的角，倘有這條直線在一個(gè)與這個(gè)平面垂直的平面內(nèi)，則它與兩個(gè)平面的交線所成的角就是直線和平面所成的角.4、直線和平面所成的角是直線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角. 證明如下：如圖，與平面斜交于，于，則為在內(nèi)的射影，為直線與平面所成的角，為內(nèi)過的任意一條直線，作于，連，則由三垂線定理知，在與中，而(當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào))，所以，即，結(jié)論得證.5、長(zhǎng)方體中，設(shè)體對(duì)角線與從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱

4、所成的角分別為，則；若與從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面所成的角分別為，則.二、模型1、設(shè)二面角的大小為，且. 這是一個(gè)包含有二面角的平面角、兩條異面直線的公垂線(距離)、其上任意兩點(diǎn)間的距離、所成的角等諸多條件的模型. 如圖：作，連，則由題意知：四邊形為矩形，為二面角的平面角，因?yàn)?，由線面垂直的判定定理知平面，所以，故所成的角為.由余弦定理得，所以，且異面直線所成角的余弦為這個(gè)模型告訴我們：若兩條異面直線分別在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)且都和二面角的棱垂直，則可以很方便地求出它們上面任意兩定點(diǎn)間的距離，這任意兩點(diǎn)的連線與二面角的棱所成的角；若反過來考慮，還可在知道兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離的條件下，求出二面角

5、的平面角(利用公式)；另外，在這個(gè)模型中，還存在線面的垂直和面面的垂直(平面，平面平面).實(shí)戰(zhàn)演練：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)將坐標(biāo)系沿軸折成的二面角，求折后兩點(diǎn)間的距離.由模型易得為二面角的平面角，平面，所以，由模型公式得.2、設(shè)二面角的大小為，作平面于，作于，連，則由三垂線定理知，所以是二面角的平面角. 在立體幾何中，二面角通常采用本模型的形式敘述，即用兩個(gè)共邊的三角形表述，在這種情形下，一般最適合用三垂線定理作出二面角的平面角，并由二面角的作法，附帶地出現(xiàn)了線面的垂直(平面)，從而可方便地作出點(diǎn)到平面的距離，只需作于，則由平面知，從而平面，于是就是到平面的距離.立體幾

6、何的綜合題通常有兩到三小問，其中又通常有求二面角和點(diǎn)面距離各一問，所以這個(gè)模型在解決立體幾何的綜合性問題時(shí)的作用很大，筆者認(rèn)為學(xué)生記住它是必要的，而且要能夠熟練運(yùn)用它.實(shí)戰(zhàn)演練：如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng). 證明：； 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；等于何值時(shí)，二面角的大小為？只需考慮三垂線定理：在平面上的射影為與垂直即得證；在平時(shí)的教學(xué)當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生只要碰到相類似的問題，馬上就用體積相等來求距離，這固然是求距離的一種方法，但總感覺效果不好，主要是在計(jì)算上稍嫌麻煩(筆者傾向于實(shí)在無計(jì)可施時(shí)可考慮這種方法). 實(shí)際上考慮到為中點(diǎn)，可以將到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面距離的一半，再繼續(xù)轉(zhuǎn)化為

7、到平面距離的一半，然后可考慮上述模型：作于，連，則，從而平面，故只需作于，則平面，就是到平面的距離，由已知條件不難求出，于是到平面的距離是.作于，連，則由三垂線定理知，所以是二面角的平面角，從而，所以，所以，于是，從而.小問的模型解法，相比體積法就要簡(jiǎn)潔得多，也說明掌握立體幾何中一定的模型，對(duì)我們解題很有幫助.3、墻角是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常碰到的一種模型，它的幾何抽象是從同一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的射線，它在本質(zhì)上是長(zhǎng)方體的一個(gè)角的延伸，因而它具有長(zhǎng)方體的某些性質(zhì)特征. 關(guān)于長(zhǎng)方體還有一個(gè)性質(zhì)，在平常的學(xué)習(xí)當(dāng)中也應(yīng)加強(qiáng)應(yīng)用：連接長(zhǎng)方體上下底面兩條異面對(duì)角線的四個(gè)頂點(diǎn)可以得到一個(gè)四面體，這個(gè)四面體的

8、特殊之處在于它的三組對(duì)棱對(duì)應(yīng)相等，因而在平時(shí)的練習(xí)當(dāng)中，若接觸到這樣一個(gè)特殊的四面體，可以將它補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，從而利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)來考慮問題.實(shí)戰(zhàn)演練：三棱錐中，兩兩垂直，底面內(nèi)有一點(diǎn). 若到三個(gè)側(cè)面的距離分別為，則_；若與所成的角分別為，則與所的角為_.考慮到兩兩垂直，所以自向平面、平面、平面引的垂線段應(yīng)分別與、平行，如圖，分別設(shè)為，其中分別為垂足，于是構(gòu)造出了一個(gè)以為對(duì)角線的長(zhǎng)方體，故；與所成的角即是長(zhǎng)方體的對(duì)角線與長(zhǎng)方體的從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成的角，由結(jié)論5知三個(gè)角的余弦的平方和為，從而知與所的角為.三棱錐的兩條棱，其余各棱長(zhǎng)均為. 求此三棱錐內(nèi)切球半徑. 三棱錐即四面體，注意到這個(gè)四面體的對(duì)棱，因而它們可以分別作為一個(gè)長(zhǎng)方體的三組相對(duì)面的面對(duì)角線，于是該四面體是長(zhǎng)方體的六條面對(duì)角線組成的四面體，如圖所示：設(shè)四面體所在的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則由，得，所以四面體的體積(長(zhǎng)方體體積的)，又四面體的表面積為(每個(gè)面都是腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形)，所以該四面體的內(nèi)切球的半徑為.以上只是