軸對稱提高練習及解析

1、一解答題（共40小題）1閱讀材料：我們曾經(jīng)解決過如下問題：“如圖，點M，N分別在直線AB同側，如何在直線AB上找到一個點P，使得PM+PN最小？”我們可以經(jīng)過如下步驟解決這個問題：（1）畫草圖（或目標圖）分析思路：在直線AB上任取一點P，連接PM，PN，根據(jù)題目需要，作點M關于直線AB的對稱點M，將PM+PN轉化為PM+PN，“化曲為直”尋找PM+PN的最小值；（2）設計畫圖步驟；（3）回答結論并驗證借鑒閱讀材料中解決問題的三個步驟完成以下尺規(guī)作圖：已知三條線段h，m，c，求作ABC，使其BC邊上的高AH=h，中線AD=m，AB=c（1）請先畫草圖（畫出一個即可），并敘述簡要的作圖思路（即實現(xiàn)

2、目標圖的大致作圖步驟）；（2）完成尺規(guī)作圖（不要求寫作法，作出一個滿足條件的三角形即可）2如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D（1）如圖，當點P為AB的中點時，求CD的長；（2）如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由3如圖，ADBC，BE平分ABC交AD于點E，若AB=4，求AE的長4已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如圖，若AOB=COD=60°，求證：

3、AC=BD APB=60°（2）如圖，若AOB=COD=，則AC與BD間的等量關系式為，APB的大小為（直接寫出結果，不證明）5如圖，在ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2ab，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）在圖（1）中，D是BC邊上的中點，計算DE+DF和BG的長（用a，b表示），并判斷DE+DF與BG的關系（2）在圖（2）中，D是線段BC上的任意一點，DE+DF與BG的關系是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，請說明理由（3）在圖（3）中，D是線段BC延長線上的點，探究DE、DF與BG的關系（不要求證明）6已知：等邊三角形ABC（1）如圖1，P為等

4、邊ABC外一點，且BPC=120°試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊ABC內(nèi)一點，且APD=120°求證：PA+PD+PCBD7在等邊三角形ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于點F，（1）請你量一量BFD的度數(shù)，并證明你的結論；（2）若D、E分別在邊BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結論是否成立，請畫圖證明你的結論8等邊ABC，點D是直線BC上一點，以AD為邊在AD的右側作等邊ADE，連接CE（1）如圖1，若點D在線段BC上，求證：CE+CD=AB；（2）如圖2，若點D在CB的延長線上，線

5、段CE，CD，AB的數(shù)量有怎樣的數(shù)量關系？請加以證明9如圖，D是等邊ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點作DGAC于G點證明下列結論：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）SDGF=SADG+SECF10如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，DMN也隨之整體移動）（1）如圖1，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；（2）如圖2，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中

6、EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由11（1）已知ABC中，A=90°，B=67.5°，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）（2）已知ABC中，C是其最小的內(nèi)角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請?zhí)角驛BC與C之間的關系12數(shù)學課上，同學們探究

7、下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形為此，請你解答問題（1）（1）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，直線BD平分ABC交AC于點D求證：ABD與DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個等腰三角形如圖、也具有這種特性請你在圖、圖中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所有等腰三角形兩個底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形請你畫出兩個不同類型且具有這種

8、特性的三角形的示意圖，并在圖中標出可能的各內(nèi)角的度數(shù)（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征13如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由14如圖，以ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的關系說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問

9、題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明畫出將ACM繞某一點順時針旋轉180°后的圖形；BAC=90°（如圖）附加題：如圖，若以ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角ABE和ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關系15如圖1，RtABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F試判斷DEF的形狀，并加以證明說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的

10、方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明1、畫出將BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉90°后圖形；2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（ACKN，如圖2）附加題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷DEF的形狀，并說明理由16如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角AON=30°，新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米（1）新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為；（2）現(xiàn)要

11、在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點P到新開發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短此時PA+PB=（千米）17已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=2若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒當t0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O（1）設EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關系式；（2）當t為何值時，ABGH；（3）請你證明GFH的面積為定值；（4）當t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點18如圖，已知ABC為等邊三角形，延長

12、BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE，DE求證：EC=ED19已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC，AB于點M，N，求證：CM=2BM20如圖，已知在ABC中，AB=AC，D是AB上一點，DEBC，E是垂足，ED的延長線交CA的延長線于點F，求證：AD=AF21已知：如圖，邊長為2的等邊三角形ABC，延長BC到D，使CD=BC，延長CB到E，使BE=CB，求ADE的周長22如圖，ABC中，ACB=（0°90°），CD平分ACB，過C點作CD的垂線交AB的垂直平分線于M，連接AM，求BAM（用含的式子表示）2

13、3已知：在ABC中，AB=AC，CD是AB邊上的高，點P是AC邊上任意一點（不與點A、點C重合）過點P作PEBC，垂足為E，交CD于點F若AD=CD，探究線段PF、CE之間的數(shù)量關系，并證明你的結論24如圖，在四邊形ABCD中，B=C=90°，AB=BC，點E在邊BC上，ADE為等邊三角形若CD=2求AD的長25如圖，已知D是等邊三角形ABC的AB邊延長線上一點，BD的垂直平分線HE交AC延長線于點E，那么CE與AD相等嗎？試說明理由26如圖，已知BD平分ABC，AB=AD，DEAB，垂足為E（1）求證：ADBC；（2）若DE=6cm，求點D到BC的距離；當ABD=35°，

14、DAC=2ABD時，求BAC的度數(shù)27如圖，在四邊形ABCD中，B=90°，DEAB交BC于E、交AC于F，CDE=ACB=30°，BC=DE求證：FCD是等腰三角形28如圖，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，且PDAB，PEAC，BC=5，求PDE的周長29如圖，ACB和DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE（1）如圖1，若CAB=CBA=CDE=CED=50°求證：AD=BE；求AEB的度數(shù)（2）如圖2，若ACB=DCE=120°，CM為DCE中DE邊上的高，BN為ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN30在等邊

15、ABC中，點D，E分別在邊BC、AC上，若CD=2，過點D作DEAB，過點E作EFDE，交BC的延長線于點F，求EF的長31如圖，在ABC中，AB=AC，AD是ABC點的中線，E是AC的中點，連接AC，DFAB于F求證：BDF=ADE32在ABC 中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BEAC于點E求證：CBE=CAD33如圖，ABC是等邊三角形，BD平分ABC，延長BC到E，使得CE=CD求證：BD=DE34如圖，等邊三角形ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，點F在BC延長線上，且CF=，求四邊形DEFB的面積35如圖，ABC是等邊三角形，BDAC于點D，E為BC的中點，連接DE

16、求證：DE=DC36如圖，在ABC中，BAC=90°，C=30°，AE為BC邊上的中線求證：ABE是等邊三角形37如圖，等邊ABC中，點D、E、F分別同時從點A、B、C出發(fā)，以相同的速度在AB、BC、CA上運動，連結DE、EF、DF（1）證明：DEF是等邊三角形；（2）在運動過程中，當CEF是直角三角形時，試求的值38如圖，在ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F（1）若CMN的周長為15cm，求AB的長；（2）若MFN=70°，求MCN的度數(shù)39在ABC中，MP，NO分別垂直平分AB，AC（1）若BC=1Ocm，試求

17、出PAO的周長（不用寫過程，直接寫出答案）（2）若AB=AC，BAC=110°，試求PAO的度數(shù)（不用寫過程，直接寫出答案）（3）在（2）中，若無AB=AC的條件，你運能求出PAO的度數(shù)嗎？若能，請求出來；若不能，請說明理由40如圖，在ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N，（1）若CMN的周長為21cm，求AB的長；（2）若MCN=50°，求ACB的度數(shù)2017年04月19日6的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一解答題（共40小題）1（2016秋西城區(qū)期末）閱讀材料：我們曾經(jīng)解決過如下問題：“如圖，點M，N分別在直線AB同側，如何在直線AB上找到一個點P

18、，使得PM+PN最??？”我們可以經(jīng)過如下步驟解決這個問題：（1）畫草圖（或目標圖）分析思路：在直線AB上任取一點P，連接PM，PN，根據(jù)題目需要，作點M關于直線AB的對稱點M，將PM+PN轉化為PM+PN，“化曲為直”尋找PM+PN的最小值；（2）設計畫圖步驟；（3）回答結論并驗證借鑒閱讀材料中解決問題的三個步驟完成以下尺規(guī)作圖：已知三條線段h，m，c，求作ABC，使其BC邊上的高AH=h，中線AD=m，AB=c（1）請先畫草圖（畫出一個即可），并敘述簡要的作圖思路（即實現(xiàn)目標圖的大致作圖步驟）；（2）完成尺規(guī)作圖（不要求寫作法，作出一個滿足條件的三角形即可）【分析】（1）根據(jù)BC邊上的高AH

19、=h，中線AD=m，AB=c進行作圖即可；（2）先由長為h，m的兩條線段作RtADH，再由線段c作邊AB確定點B，再倍長BD確定點C即可【解答】解：（1）草圖如圖所示：作圖思路：先由長為h，m的兩條線段作RtADH，再由線段c作邊AB確定點B，再倍長BD確定點C（2）如圖所示，ABC即為所求【點評】本題主要考查了運用軸對稱變換進行作圖，解決問題的關鍵是先作出RtADH解題時時注意：解決此類題目需要熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作2（2013青羊區(qū)一模）如圖，ABC中AB=AC，BC=6，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC

20、的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D（1）如圖，當點P為AB的中點時，求CD的長；（2）如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由【分析】（1）過點P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得BP=PF，又因點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同即BP=CQ，等量代換得PF=CQ，在加上對等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應邊邊相等得

21、出DF=CD=CF，而又因P是AB的中點，PFAQ得出F是BC的中點，進而根據(jù)已知的BC的長，求出CF，即可得出CD的長（2）分兩種情況討論，第一種情況點P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF，再又第一問的全等可知DF=CD，所以ED=，得出線段DE的長為定值；第二種情況，P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得PMD全等于QCD，得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM，把EM換

22、為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值【解答】解：（1）如圖，過P點作PFAC交BC于F，點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，BP=CQ，PFAQ，PFB=ACB，DPF=CQD，又AB=AC，B=ACB，B=PFB，BP=PF，PF=CQ，又PDF=QDC，證得PFDQCD，DF=CD=CF，又因P是AB的中點，PFAQ，F(xiàn)是BC的中點，即FC=BC=3，CD=CF=；（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點P在線段AB上，過點P作PFAC交BC于F，PBF為等腰三角形，PB=PF，BE=EF，PF=CQ，F(xiàn)D=DC，ED=，ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上，作P

23、MAC的延長線于M，PMC=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=PMC，PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，同理可得PMDQCD，所以CD=DM，綜上所述，線段ED的長度保持不變【點評】此題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判斷與性質，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合題3（2012長春模擬）如圖，ADBC，BE平分ABC交AD于點E，若AB=4，求AE的長【分析】根據(jù)平行線的性質及角平分線的性質得到三角形ABE是等腰三角形即可得到AE的長【解答】解：ADBC，AEB=EBC，BE平分ABC，ABE=CBE，ABE=AEB，AB=AE，AB=4，AE=4【點評】本題考查了等腰三角形的性

24、質與判定及平行線的性質，解題的關鍵是利用平行線的性質及角平分線的性質得到相等的角，然后判定等腰三角形4（2012饒平縣校級模擬）已知：在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD（1）如圖，若AOB=COD=60°，求證：AC=BD APB=60°（2）如圖，若AOB=COD=，則AC與BD間的等量關系式為AC=BD，APB的大小為（直接寫出結果，不證明）【分析】（1）根據(jù)已知先證明AOC=BOD，再由SAS證明AOCBOD，所以AC=BD由AOCBOD，可得OAC=OBD，再結合圖形，利用角的和差，可得APB=60°（2）由（1）小題的證明可知，AC=BD，APB

25、=【解答】解：（1）證明：AOB=COD=60°，AOB+BOC=COD+BOC，AOC=BOD在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS），AC=BD；證明：AOCBOD，OAC=OBD，OAC+AOB=OBD+APB，OAC+60°=OBD+APB，APB=60°；（2）AC=BD，APB=【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正確運用等邊三角形的性質是解題的關鍵5（2011安徽模擬）如圖，在ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2ab，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）在圖（1）中，D是BC邊上的中點，計算DE+DF

26、和BG的長（用a，b表示），并判斷DE+DF與BG的關系（2）在圖（2）中，D是線段BC上的任意一點，DE+DF與BG的關系是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，請說明理由（3）在圖（3）中，D是線段BC延長線上的點，探究DE、DF與BG的關系（不要求證明）【分析】（1）因為D為BC的中點，還能推出DFBG，從而可知道DF是BG的中位線，從而可得解（2）作輔助線，延長FD到M點，使FM=BG，證明是矩形，和三角形全等就可以證明（3）可以得出BG=DEDF【解答】解：（1）DFAC，BGAC，DFBG，D是BC的中點，DF=BG=連接AD，DEAB，DFAC，DE=DF=DE+DF=

27、DE+DF=BG（2）延長FD，使FM=BG，DFAC，BGAC，四邊形BMFG是矩形，BG=MF，EDB+ABD=90°，F(xiàn)DC+C=90°，ABC=C，EDB=FDC，F(xiàn)DC=BDM，EDB=BDMBED=BMD，BD=BD，EBDMBD，ED=MDBG=DE+DF（3）BG=DEDF【點評】本題考查等腰三角形的性質，等腰三角形的底角相等以及全等三角形的判定和性質定理等知識點6（2011房山區(qū)一模）已知：等邊三角形ABC（1）如圖1，P為等邊ABC外一點，且BPC=120°試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊ABC內(nèi)

28、一點，且APD=120°求證：PA+PD+PCBD【分析】（1）AP=BP+PC，理由是延長BP至E，使PE=PC，連接CE，由BPC=120°，推出等邊CPE，得到CP=PE=CE，PCE=60°，根據(jù)已知等邊ABC，推出AC=BC，ACP=BCE，根據(jù)三角形全等的判定推出ACPBCE，得出AP=BE即可求出結論；（2）在AD外側作等邊ABD，由（1）得PB=AP+PD，根據(jù)三角形的三邊關系定理得到PA+PD+PCCB，再證ABCADB，根據(jù)全等三角形的性質推出CB=BD即可【解答】猜想：AP=BP+PC，（1）證明：延長BP至E，使PE=PC，連接CE，BPC

29、=120°，CPE=60°，又PE=PC，CPE為等邊三角形，CP=PE=CE，PCE=60°，ABC為等邊三角形，AC=BC，BCA=60°，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACPBCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）證明：在AD外側作等邊ABD，則點P在三角形ADB外，連接PB'，B'C，APD=120°由（1）得PB=AP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PD+PCCB，ABD、ABC是等邊三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=60&#

30、176;，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD，PA+PD+PCBD【點評】本題主要考查對等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系，等式的性質等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度7（2011安徽模擬）在等邊三角形ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于點F，（1）請你量一量BFD的度數(shù)，并證明你的結論；（2）若D、E分別在邊BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結論是否成立，請畫圖證明你的結論【分析】等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是60°，這樣可證明三角形全等，從而

31、用角的等量代換可求出角為60°【解答】解：（1）BFD=60°在等邊三角形ABC與三角形CDA中，AB=AC，BAE=C=60°，AE=CD，AEBCDAAEB=CDA，又DAC+ADC=180°C=120°，AEB+DAC=120°，AFE=BFD=60°（2）BAC=ACB=60°，EAB=ACD=120°，在ABE和ACD中，ABEACD，E=D，EAF=CAD，CAD+D=60°，EAF+E=60°，BFD=60°【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，以及等邊三角

32、形的性質，進行證明求解8（2011黑龍江模擬）等邊ABC，點D是直線BC上一點，以AD為邊在AD的右側作等邊ADE，連接CE（1）如圖1，若點D在線段BC上，求證：CE+CD=AB；（2）如圖2，若點D在CB的延長線上，線段CE，CD，AB的數(shù)量有怎樣的數(shù)量關系？請加以證明【分析】（1）如圖1，根據(jù)ADE與ABC都是等邊三角形，容易得到全等條件證明CAEBAD，再根據(jù)全等三角形的性質可以證明題目的結論；（2）如圖2，根據(jù)（1）可知D的位置對CAEBAD沒有影響，所以結論仍然成立，證明方法完全相同【解答】證明：（1）如圖1，ADE與ABC都是等邊三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=6

33、0°DAECAD=BACCAD即CAE=BAD在CAE和BAD中，CAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的對應邊相等）；CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+CD=AB；理由如下：如圖2，ADE與ABC都是等邊三角形，AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60°DAEBAE=BACBAE即CAE=BAD在CAE和BAD中，CAEBAD（SAS）EC=DB（全等三角形的對應邊相等）；CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等邊三角形的三條邊相等、等邊三角形的三個內(nèi)角相等

34、9（2011安徽模擬）如圖，D是等邊ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點作DGAC于G點證明下列結論：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）SDGF=SADG+SECF【分析】（1）由等邊ABC，DGAC，可求得AGD=90°，ADG=30°，然后根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AG=AD；（2）首先過點D作DHBC交AC于點H，易證得ADH是等邊三角形，又由CE=DA，可利用AAS證得DHFECF，繼而可得DF=EF；（3）由ABC是等邊三角形，DGAC，可得AG=GH，即可得SAD

35、G=SHDG，又由DHFECF，即可證得SDGF=SADG+SECF【解答】證明：（1）ABC是等邊三角形，A=60°，DGAC，AGD=90°，ADG=30°，AG=AD；（2）過點D作DHBC交AC于點H，ADH=B，AHD=ACB，F(xiàn)DH=E，ABC是等邊三角形，B=ACB=A=60°，A=ADH=AHD=60°，ADH是等邊三角形，DH=AD，AD=CE，DH=CE，在DHF和ECF中，DHFECF（AAS），DF=EF；（3）ABC是等邊三角形，DGAC，AG=GH，SADG=SHDG，DHFECF，SDHF=SECF，SDGF=SD

36、GH+SDHF=SADG+SECF【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及含30°直角三角形的性質此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用10（2010丹東）如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，DMN也隨之整體移動）（1）如圖1，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；（2）如圖2，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立

37、，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由【分析】（1）可通過全等三角形來證明EN與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么DEF=DFM=60°，DE=DF，而MDN和FDE都是60°加上一個NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）由此可得出EN=MF，DNE=DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM三角形DFN，因此

38、DFN=DBM=120°，因此DFN是三角形DFE的外角因此N，F(xiàn)，E在同一直線上（2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結論仍然成立【解答】解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上，（2）成立連接DF，NF，證明DBM和DFN全等（AAS），ABC是等邊三角形，AB=AC=BC又D，E，F(xiàn)是三邊的中點，EF=DF=BFBDM+MDF=60°，F(xiàn)DN+MDF=60°，BDM=FDN，在DBM和DFN中，DBM

39、DFN，BM=FN，DFN=FDB=60°，NFBD，E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點，EF是ABC的中位線，EFBD，F(xiàn)在直線NE上，BF=EF，MF=EN（3）如圖，MF與EN相等的結論仍然成立（或MF=NE成立）連接DF、DE，由（2）知DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，在DNE和DMF中，DNEDMF，MF=NE【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質/三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質等知識點，根據(jù)等邊三角形的性質以及三角形中位線定理得出全等三角形的條件是解題的關鍵11（2007無錫）（1）已知ABC中，A=90°，B=67.5°，請畫一條直線

40、，把這個三角形分割成兩個等腰三角形（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）（2）已知ABC中，C是其最小的內(nèi)角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請?zhí)角驛BC與C之間的關系【分析】（1）已知角度，要分割成兩個等腰三角形，可以運用直角三角形、等腰三角形性質結合三角形內(nèi)角和定理，先計算出可能的角度，或者先從草圖中確認可能的情況，及角度，然后畫上（2）在（1）的基礎上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關系【解答】解：（1）如圖（共有2種不同的分割法）（

41、2）設ABC=y，C=x，過點B的直線交邊AC于D在DBC中，若C是頂角，如圖1，則CBD=CDB=90°x，A=180°xy而ADB90°，此時只能有A=ABD，即180°xy=y（90°x）即3x+4y=540°，即ABC=135°C；若C是底角，第一種情況：如圖2，當DB=DC時，則DBC=x，ABD中，ADB=2x，ABD=yx由AB=AD，得2x=yx，此時有y=3x，即ABC=3C由AB=BD，得180°xy=2x，此時3x+y=180°，即ABC=180°3C由AD=BD，得180

42、°xy=yx，此時y=90°，即ABC=90°，C為小于45°的任意銳角第二種情況，如圖3，當BD=BC時，BDC=x，ADB=180°x90°，此時只能有AD=BD，從而A=ABD=CC，這與題設C是最小角矛盾當C是底角時，BD=BC不成立綜上，ABC與C之間的關系是：ABC=135°C或ABC=180°3C或ABC=3C或ABC=90°，C是小于45°的任意角【點評】本題考查了等腰三角形的性質；第（1）問是計算與作圖相結合的探索本問對學生運用作圖工具的能力，以及運用直角三角形、等腰三角形性質

43、等基礎知識解決問題的能力都有較高的要求第（2）問在第（1）問的基礎上，由“特殊”到“一般”，“分類討論”把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形并結合“方程思想”探究角與角之間的關系本題不僅趣味性強，創(chuàng)造性強，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類討論”、“方程思想”、“轉化思想”等數(shù)學思想，是一道不可多得的好題12（2007太原）數(shù)學課上，同學們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形為此，請你解答問題（1）（1）已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，直線BD平分ABC交AC于點D求證：AB

44、D與DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個等腰三角形如圖、也具有這種特性請你在圖、圖中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所有等腰三角形兩個底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以將原三角形分成兩個小等腰三角形請你畫出兩個不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出可能的各內(nèi)角的度數(shù)（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，及角平分線定義易得1=2=36°，C=72

45、°，那么BDC=72°則可得AD=BD=CBABD與DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分為兩個小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中線等于直角三角形斜邊的一半可得任意直角三角形的中線把直角三角形分為兩個等腰三角形；由（1），（2）易得所知的兩個角要么是2倍關系，要么是3倍關系，可猜測只要所給的三個角中有2個角是2倍或3倍關系都可得到上述圖形；（4）按照發(fā)現(xiàn)的（3）的特點來寫，注意去掉特殊三角形的形式【解答】（1）證明：在ABC中，AB=AC，ABC=C，A=36°，ABC=C=

46、（180°A）=72°，（1分）BD平分ABC，1=2=36°3=1+A=72°，1=A，3=C，AD=BD，BD=BC，ABD與BDC都是等腰三角形（2）解：如下圖所示：（3）解：如圖所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角邊不等）；特征二：2倍內(nèi)角關系，在ABC中，A=2B，0°B45°，其中，B30°；【點評】本題考查了等腰三角形的判定；注意應根據(jù)題中所給的范例用類比的方法推測出把一般三角形分為兩個等腰三角形的一般結論13（2006郴州）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足

47、分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進行分析證明；（2）類似（1）的思路，仍然用計算面積的方法來確定線段之間的關系即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積三角形ACD的面積【解答】解：（1）DE+DF=CG證明：連接AD，則SABC=SABD+SACD，即ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF（2）當點D在BC延長線上時，（1）中的結論不成

48、立，但有DEDF=CG理由：連接AD，則SABD=SABC+SACD，即ABDE=ABCG+ACDFAB=AC，DE=CG+DF，即DEDF=CG同理當D點在CB的延長線上時，則有DFDE=CG，說明方法同上【點評】本題考查了等腰三角形的性質；在解決一題多變的時候，基本思路是相同的；注意通過不同的方法計算同一個圖形的面積，來進行證明結論的方法，是非常獨特的，也是一種很好的方法，注意掌握應用14（2006西崗區(qū)）如圖，以ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的關系說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中

49、的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明畫出將ACM繞某一點順時針旋轉180°后的圖形；BAC=90°（如圖）附加題：如圖，若以ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角ABE和ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關系【分析】（1）分三種情況討論，當BAC=90°，易得ABCAED；根據(jù)直角三角形的性質，可得ED=2AM；進而可以在BAC90°與BAC90°時，比較可得有ED=2AM的結論；（2）根據(jù)（1）的結論，選取易得答案【解答】解：（1）分

50、三種情況；當BAC=90°，M是BC的中點AM=BM=MC=EAD=BAC=90°，AE=AB，AC=ADABCAEDED=BCED=2AM當BAC90°，易得ED=2AM當BAC90°，易得ED=2AM（2）已知（1）的結論，若BAC=90°，可得ED=2AM附加：結合上題可得：2AM=DE延長CA到F使AF=AC，連接BF易證ABFADEBF=DE2AM=BF2AM=DE【點評】本題為探究性題目，要求學生能全面考查可能出現(xiàn)的情況，并依次求出其中的關系15（2006大連）如圖1，RtABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC

51、，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F試判斷DEF的形狀，并加以證明說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明1、畫出將BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉90°后圖形；2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（ACKN，如圖2）附加題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷DEF的形狀，并說明理由【分析】（1）要證DF=EF，就要證出FDE=FED，也

52、就是BDA=NEC，觀察這兩個角，不能直接用角的大小關系或全等來得出相等，那么可通過構建全等三角形來得出一個和兩個分別相等的中間值，以此來證出兩角相等，那么可過C作CPAC，那么我們可通過證三角形ABD和APC全等來得出ADB=ACP，通過證三角形CPN和CEN全等來得出MEC=NPC先看第一對三角形，已知的條件有AB=AD，一組直角，而ABD和PAC都是ADB的余角，因此ABD=PAD，那么兩三角形就全等，可得出AC=PC=CE，ADB=NPC，又知道了NCE=PCN=45°，一條公共邊CN，那么后面的一對三角形也全等，就能得出ADB=MEC=NPC，也就能得出FDE=FED了由此

53、可得證（2）解題思路和（1）一樣，也是先證三角形ABD和APC全等，后證三角形CPN和CEN全等，來得出結論【解答】解：DEF是等腰三角形證明：如圖，過點C作CPAC，交AN延長線于點PRtABC中AB=ACBAC=90°，ACB=45°PCN=ACB，BAD=ACPAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90°ABD=CAPBADACPAD=CP，ADB=PAD=CECE=CPCN=CNCPNCENP=CENCEN=ADBFDE=FEDDEF是等腰三角形附加題：DEF為等腰三角形證明：過點C作CPAC，交AM的延長線于點PRtABC中AB=ACBAC=90°，ACB=45°PCN=ACB=ECNAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90°ABD=CAPBADACPAD=CP，D=PAD=EC，CE=CP又CN=CNCPNCENP=ED=EDEF為等腰三角形【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定與性質；通過已知和所求條件正確的構建出全等三角形是解題