123正弦、余弦定理應(yīng)用

1、正余弦定理的應(yīng)用正余弦定理的應(yīng)用CcBbAasinsinsin 正弦定理：正弦定理：a2=b2+c22bccosAb2= a2+c22accosBc2 =a2+ b22abcosC余弦定理：余弦定理： 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)222222222b +c -acos2bc+a -bcos2ca+b -ccos2abAcBaC余弦定理的推論：余弦定理的推論： 例例6 如圖如圖1.2-7 一艘海輪從一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東750的方向航行的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C. 如果下次如果下次航行直接從航行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C, 此船應(yīng)該沿怎樣的方向航此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行

2、，需要航行多少距離？（角度精確到行，需要航行多少距離？（角度精確到0.10，距離，距離精確到精確到0.01 n mile）應(yīng)用三：測量角度應(yīng)用三：測量角度220 ACABBC2ABBC cos = 67.5542 67.5 54 cos137 =113.15ABC 2 22 2根根據(jù)據(jù)余余弦弦定定理理可可知知：= =BC sinACCABABC 根根據(jù)據(jù)正正弦弦定定理理可可知知：si nsi n0sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC00019 7556CABCAB答：此船應(yīng)該沿北偏東答：此船應(yīng)該沿北偏東560的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.1

3、5 n mile.0000 ABC ABC=1807532137解解：在在 中 中， 練習(xí)練習(xí)1 3.5m長的長的棒斜靠在石堤旁，棒的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足一端在離堤足1.2m地面地面上，另一端在沿堤上上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤對的地方，求堤對地面的傾斜面地面的傾斜面。 練習(xí)練習(xí) 知識知識1：在：在ABCABC中，邊中，邊BC,CA,ABBC,CA,AB上的高分別記上的高分別記為為h ha a, , h hb b , ,h hc c , ,那么容易證明：那么容易證明：h ha a=bsinC=csinB hb =csinA=asinC hc =bsinC=csinB應(yīng)用

4、四：有關(guān)三角形計算應(yīng)用四：有關(guān)三角形計算a12S, hsin,21 Ssin2ahbCabC 知知識識 ：根根據(jù)據(jù)三三角角形形的的面面積積公公式式應(yīng)應(yīng)用用以以上上高高的的公公式式可可得得：1 Ssin21 Ssin 2bcAcaB 同同理理：7 ABC S0.12 2例例在在 中中，根根據(jù)據(jù)下下列列條條件件，求求三三角角形形的的面面積積 ( (精精確確到到c cm m) )0 0( (1 1) ) 已已知知 a a= = 1 14 4. . 8 8c cm m , , c c= = 2 23 3. . 5 5c cm m , , B B= = 1 14 48 8. . 5 50, C=65.8

5、 ,3.16 bcm 0 0( (2 2) ) 已已知知 B B= = 6 62 2. . 7 7(3)41.4 ,27.3,38.7acmbcm ccm 已已知知三三邊邊的的長長分分別別為為 01 1 Ssin21 S23.5 14.5 sin148.590.92caB2 2解解： （ ）應(yīng)應(yīng)用用 =可=可得得=（=（cm ）cm ）bbsinC c=sinBsinsinBcC （2）2）根根據(jù)據(jù)正正弦弦定定理理，1S221sinsinsin2sinCAbcAbB =222221sin65.8 sin51.5S3.164.0()2sin62.7cm00222A=180()180(62.765

6、.8 )51.5BC22223 238.741.427.3 =0.76972 38.7 41.4abca 2 22 2（ ）根根據(jù)據(jù)余余弦弦定定理理可可得得：c ccosB=cosB=22sin1cos10.76970.6384BB211Ssin38.7 41.4 0.6384511.4 ()22caBcm應(yīng)應(yīng)用用 例例8 如圖如圖1.28，在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得要把一個三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊分別為到這個三角形區(qū)域的三條邊分別為68m, 88m, 127m, 這個區(qū)域的面積是多少

7、？（精確到這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1m2） 解：設(shè)解：設(shè)a=68m , b=88m, c=127m, 根據(jù)余弦根據(jù)余弦定理可得：定理可得：2222221276888cos0.753222 12768cabBac2sin10.75320.6578B 211sin127680.65782840.4()22SacBm答：這個區(qū)域的面積是答：這個區(qū)域的面積是2840.4m2應(yīng)用五：三角形恒等式證明應(yīng)用五：三角形恒等式證明222222229 ABCsinsin 1sin (2) a +b +c2(coscoscos)bABcCbcAcaBabC 2 2例例 在在 中 中，求求證證：a a（ ） 1 (0)k kabCabC證證明明： （ ）根根據(jù)據(jù)正正弦弦定定理理可可得得：si nAsi nBsi nCsi nAsi nBsi nC222222222222sinsinsinsin=sinsinabkAkBABckCC左左邊邊右右邊邊2222222222222222222222=2bcca+ab)222 ()( bcacababcbccaabbcacababcabc （ ）根根據(jù)據(jù)余余弦弦定定理理的的推推論論：右右邊邊（)+()+()=左=左邊邊正弦、余弦定理的應(yīng)用：正弦、余弦定