用首次積分法求Drinfel’dSokolovWilson方程的精確解論文

1、1 / 432015 年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）用首次積分法求 Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程的精確解院 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2011 級(jí) 學(xué)生： 熊志海 學(xué) 號(hào)： 3 導(dǎo)師與職稱(chēng)： 何 斌（教授） 2015 年 4 月2015 Annual GraduationThesis (Project) oftheCollegeUndergraduate The First Integral Method forSolving Exact Solutions of Drinfeld-Sokolov-Wilson equationDepartment

2、:College of MathematicsMajor:Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2011Students Name: Xiong ZhihaiStudent No.: 6Tutor: He Bin (Professor)April, 2015畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作與取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包3 / 43含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說(shuō)明并表示意。 作者簽

3、名： 日期：畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說(shuō)明本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門(mén)送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書(shū)館被查閱。學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計(jì)）的全部或部分容。的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：日期： 日期： 熊志海熊志海 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)( (答辯小組答辯小組) )成員成員職稱(chēng)單位備注紹林副教授數(shù)學(xué)學(xué)院組長(zhǎng)何斌教授數(shù)學(xué)學(xué)院組員偉講師數(shù)學(xué)學(xué)院組員5 / 43摘要摘要這篇文章利用首次積分法對(duì)

4、 Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程進(jìn)行了研究，并借助前人某些輔助方程的研究結(jié)果得到了一些該方程在不同的參數(shù)條件下的精確解，其中包括各種行波解、橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解等，顯示了運(yùn)用首次積分法求解非線性偏微分方程的有效性結(jié)合輔助方程求解所得到的結(jié)果更為豐富，能解決一些其他學(xué)科所面臨的不能解決的難題，非常具有理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值因此能否求解或如何求解非線性微分方程，關(guān)系到科學(xué)研究的深入和發(fā)展，越來(lái)越多的科學(xué)工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣論文由四章組成：第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進(jìn)展和研究現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究容第二章介紹了首次積分方法的思想

5、和具體步驟，以與補(bǔ)充了后人對(duì)此方法的部分完善第三章是利用首次積分方法求解 Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程組并得到了方程的一些新的精確解第四章是對(duì)本文所作的工作進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單總結(jié)與展望關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程；首次積分法；輔助方程；精確解ABSTRACTABSTRACTIn this paper, we apply using the first integral method solvethe Drinfeld-Sokolov-Wilson equation, and using the result of auxiliary e

6、quation to solve the Drinfeld-Sokolov-Wilson equation directly. Under different parametric conditions, so some special exacttraveling wave solutions are obtained for the equation. Meanwhile, it implies the effectiveness of the fist integral method to solve the nonlinear partial differential equation

7、gs. It is the result of combination of auxiliary equation is more abundant, can solve some of the other subjects facing cant solve the problem, very has the theory value and practical value. Therefore whether or how to solve the nonlinear differential equation, with the development of scientific res

8、earch, a growing number of scientific workers in this area of research have expressed great interest. The paper consists of four chapters: the first chapter mainly introduces the nonlinear partial differential equation of the research background, research progress and present situation, proposed thi

9、s topic research significance and research content. The second chapter introduces the ideas and concrete steps of the first integral method, and added to the posterity to this method. The third chapter is using the first integral method for solving Drinfel d - Sokolov - Wilson equations obtained som

10、e new exact solutions of the equations. The fourth chapter is the work of this paper made a simple summary and prospect.Keywords:Keywords:Drinfeld-Sokolov-Wilson equation;the first integral method; auxiliary equation; exact solution7 / 43目錄1. 緒論 11.1 研究背景與意義 11.2 非線性方程的研究現(xiàn)狀 11.3 本文的主要容 22. 首次積分法的思想和

11、基本步驟 32.1 首次積分與除法定理 32.2 首次積分方法的步驟 43.首次積分法求解 Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程 63.1Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程 64. 總結(jié)與展望 25參考文獻(xiàn) 26附錄 28致 311 / 43用首次積分法求用首次積分法求 Drinfeld-Sokolov-Drinfeld-Sokolov-WilsonWilson 方程的精確解方程的精確解1.1. 緒論緒論1.11.1 研究背景與意義研究背景與意義在數(shù)學(xué)里，有一種非線性關(guān)系，那就是非線性現(xiàn)象越來(lái)越多科學(xué)問(wèn)題的研究，都離不開(kāi)對(duì)非線性偏微分方程和非線性常微分方程的描

12、述與研究，它廣泛應(yīng)用于地球科學(xué)、生命科學(xué)、工程技術(shù)、和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多分支當(dāng)中，如流體力學(xué)、基本粒子物理、非線性光學(xué)、地球化學(xué)、生物學(xué)等等，因此能否求解或如何求解非線性微分方程，關(guān)系到科學(xué)研究的深入和發(fā)展，越來(lái)越多的科學(xué)工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣由于非線性科學(xué)研究的深入和發(fā)展，人們對(duì)非線性現(xiàn)象的分析，從早期的只是從理論上對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的非線性現(xiàn)象作了線性近似，到現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性科學(xué)也得到了迅速的發(fā)展人們普遍認(rèn)識(shí)到，非線性科學(xué)不僅是出于自然科學(xué)前沿的學(xué)科，而且是一門(mén)研究非線性現(xiàn)象共性的交叉學(xué)科，因此它又被譽(yù)為 20 世紀(jì)以來(lái)，繼相對(duì)論和量子力學(xué)之后的第三次“科學(xué)革命”

13、 越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家能夠在前人的基礎(chǔ)上不斷的研究出求解非線性方程的新方法，得到的新的精確解能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，從而解決一些相關(guān)的問(wèn)題研究精確解也能作為數(shù)值分析中求近似解的基礎(chǔ)，解決一些其他學(xué)科所面臨的不能解決的難題，因此求解非線性方程的精確解是非常具有理論價(jià)值和使用價(jià)值的 1.21.2 非線性方程的研究現(xiàn)狀非線性方程的研究現(xiàn)狀近年來(lái)，由于計(jì)算機(jī)的進(jìn)步和發(fā)展，加快了非線性科學(xué)的發(fā)展經(jīng)過(guò)多年的研究，目前求非線性微分方程的精確解已經(jīng)發(fā)展了許多方法.如：廣田提出的雙線性方法1，Gardner,Greene,Miura 等發(fā)現(xiàn)的反散射法2，王明亮教授和志斌教授提出的齊次平衡法3， Malf

14、liet 提出的雙曲正切函數(shù)法4，鴻慶提出以代數(shù)化思想求解微分方程的理論，閆依據(jù)雙曲函數(shù)法的構(gòu)造思想提出了sine-cosine 方法Liu 等人提出的雅克比橢圓函數(shù)展開(kāi)法6，兆生教授運(yùn)用可交換的代數(shù)理論，基于除法定理和 Hilbert 零點(diǎn)定理提出的首次積分方法該方法求得了很多非線性偏微分方程大量的精確解，例如 Burgers-KdV 方程7，維空間中一種近似的 Sine-Gorden 方程8，(2+1)維 Burgers-KdV 方程9， 1nZhang 等人在橢圓函數(shù)展開(kāi)法和雙曲正切函數(shù)法的基礎(chǔ)上提出的 F-展開(kāi)法101.31.3 本文的主要容本文的主要容本文利用首次積分法7并結(jié)合除法定

15、理討論了 Drinfeld-Sokolov-wilson組的精確解，給出在首次積分中的次數(shù)為 1 和 2 兩種情況下方程的行波y解特別地，并結(jié)合參照文獻(xiàn)14,15得到更多 Drinfeld-Sokolov-wilson 的行波解論文由四章組成，第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進(jìn)展和研究現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究容第二章介紹了首次積分方法的思想和具體步驟，以與補(bǔ)充了后人對(duì)此方法的部分完善，第三章是利用首次積分方法求解 drinfeld-Sokolov-wilson 方程組得到了方程的一些新的精確解，第四章是對(duì)本文所作的工作進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單總結(jié)與展望3 / 432.2. 首次積分法

16、的首次積分法的思想和基本步驟思想和基本步驟首次積分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一個(gè)首次積分進(jìn)而求得偏微分方程的精確解16, 該方法是兆生于 2002 年提出7 其主要思想是：首先作變換，將原偏微分方程（組）轉(zhuǎn)化為常微分方程（組） ，然后通過(guò)積分，并作相應(yīng)的計(jì)算，將方程組轉(zhuǎn)化為二階的常微分方程，再次作變換，將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程組，最后利用多項(xiàng)式整出原理，并借助于數(shù)學(xué)軟件求出方程組的一些精確解2.12.1 首次積分與除法定理首次積分與除法定理首次積分首次積分：例如一階常微分方程：(2-1),dyxdxy將(2-1)變量分離得到(2-2),ydyxdx兩邊積分得(2-3)22,

17、222yxc因此(2-1)的通解為(2-4) 將原方程的任一解代入(2-4)得到恒等式22,yxc xy (2-5) 22,x yyxc則(2-5)就成為原方程的一個(gè)首次積分.以上結(jié)果很容易推廣到一階常微分方程組：(2-6)如果(2-6)的任何一個(gè)解使得,1122111nnnnnyyxfdxdyyyxfdxdyyyxfdxdy xyxyxyn,21連續(xù)可微的函數(shù)1,jnx yy5 / 43成立，則稱(chēng)為方程組(2-6)的個(gè)首次積分,1,2,jcjn1,jnjx yycn除法定理除法定理：設(shè)式復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式，并且在復(fù)數(shù)域 zwQzwP,zwP,上不可約，如果在的所有零點(diǎn)處都有，那么存在復(fù)數(shù)域上z

18、wP,0,zwQ的多項(xiàng)式使得zwG, zwGzwPzwQ,2.22.2 首次積分方法的步驟首次積分方法的步驟步驟一：設(shè)非線性偏微分方程(2-7)通過(guò)行波變換可,.0.xtxxxtP u u u uu ,u x tuxctcR化為下列二階常微分方程：. (2-0,uuuQ8) 步驟二：引進(jìn)新的獨(dú)立變量此時(shí)將常微分方程(2-8)化為一階,uYuX常微分方程組(2-9),.XYYfX Y 如果在一樣條件下能獲得(2-9)的一個(gè)首次積分，則可直接獲得它的一般解但通常情況下，這是非常難實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)給定的平面自治系統(tǒng)，既沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的理論，也沒(méi)有一種常規(guī)方法來(lái)獲得它的一個(gè)首次積分因此可以利用除法定

19、理找到(2-9)的一個(gè)首次積分，它可以將(2-9)化成一階可積的常微分方程組，然后直接積分就可以得到原方程的精確解步驟三：設(shè)首次積分為(2-10)其中是復(fù)數(shù) , 0,0miiiYXaYXq miXai, 2 , 1 , 0域上關(guān)于的待定多項(xiàng)式由除法定理知在復(fù)數(shù)域上存在多項(xiàng)式X使得 YXXYXh,(2-11)通過(guò)方程(2-11)可以確定多項(xiàng)式 ,YXqYXXddq，從而求出的表達(dá)式在通常情況下假設(shè)如 XXXai,YXq, 0Xai有，與已知條件矛盾，直接考慮下一種情況在文獻(xiàn)18中， miXai0 , 0當(dāng)時(shí)遇到，此時(shí)將所得結(jié)果2m 0Xai代入首次積分，依然得到了原方程的精確解本文如遇到此種情

20、00miiiYXa況，借鑒了該方法步驟四：將代入方程組，求解常微分方程就可得 00miiiYXaXY,Yf X,Y , 到原方程的精確解7 / 433.3.首次積分法求解首次積分法求解 Drinfeld-Sokolov-wilsonDrinfeld-Sokolov-wilson 方程方程3.13.1 Drinfeld-Sokolov-wilsonDrinfeld-Sokolov-wilson 方程方程考慮 Drinfeld-Sokolov-wilson 方程：(3-1)0,0,txtxxxxxuvvvvuvu v假設(shè)方程組(3-1)具有如下形式的行波解：(3-2)將(3-2)代入(3-1)得到

21、( , )( ), ( , )( ),u x tuv x tvxct (3-3)(3-4)(3-3)式對(duì)積分一次，0,cuvv+ u0.xcvvuvv積分常數(shù)為得；2R(3-5)將(3-5)代入(3-4)得到方程組(3-1)的等22110,+,22cRcuvRuvc價(jià)方程 (3-6) 21()()0,2Rcvvv vcc 對(duì)（3-6）再對(duì)積分一次得，并令=0 得到方程組（3-1）的等價(jià)方程2R （3-311()().32Rvcvvcc7）令則方程(3-6)等價(jià)于,Xv Yv(3-8) 假設(shè)是方程組31,1()().32XYRYcXXcc YYXX,(3-8 的非平凡解， YXq,是復(fù)數(shù)域中不可

22、約多項(xiàng)式，滿足 miiiYXa0(3-9) , 0,0miiiYXaYXq其中是關(guān)于的待定多項(xiàng)式，則(3-9)稱(chēng)為(3-8)的首 0,1,2,iaXimX次積分下面就和兩種情況進(jìn)行討論1m2m情形一設(shè)，由(3-9)得到1m(3-10) , 010YXaXa注意到的多項(xiàng)式，并且必然有 根據(jù)除法定YXddq和是 0,YXq0.dqd理，在復(fù)數(shù)域中存在一個(gè)多項(xiàng)式使得 ,h X YXX Y(3-11)即 010 ,dqq dXq dYXX YaXaX YdX dY d YYXaXaXXaYXXaYXXaXXa0002110 3111()(),32RaXcXXcc比較上式兩邊的各次冪系數(shù)，得到Y(jié), (3

23、-12) XXaXa10, (3-13) XXaXXaXa100(3-14)由方程(3-12)可得 31101()().32RaXcXXaXXcc出是常數(shù)且不失一般性，可以 Xa1 0,X 1,1Xa從而方程(3-13)、(3-14)化為(3-15) (3-16) 平 ,0XXa 3101()().32RcXXaXXcc衡的次數(shù)，可以得到的次數(shù)只能為 ，否則如果 XXa、0 X1 由方程(3-15)推出方程(3-16)推出與 1,Xm 01,Xm1m 矛盾類(lèi)似的如果可以推出 由方程(3-16)推出1m 0X 01,X矛盾設(shè)由方程(3-15)得 ,xAxB(3-17)其中是積分常數(shù)將代入方程 ,

24、220DBXXAXaD XXa、0(3-15)并取的系數(shù)為3 , 2 , 1 , 0iXi零，得到9 / 43(3-18)212=012AD+B =(c+),30,2=(+ ),32BDRcABAc，解方程組(3-18)，可得(3-19)21110,(),(),6RRBDcAcBAccc將(3-19)代入(3-10)式，得到方程組(3-8)的一個(gè)首次積分(3-20)22112A() .2YXcRc A兩邊平方得 （3-242222211221()() .4A XAYcR XcRcc21）利用輔助方程，通過(guò)查表一，知，當(dāng)242( )( )( )dFpFqFrd （3-2222122122,4()

25、(1),1()1,ApkAqcRkcrcRc 22）時(shí)，即，方程（3-1）的解為22112 ,cRcAkRc （3-21v( )ns( ,k),Ru( )ns ( ,k),2cc23）當(dāng)時(shí)，解（3-23）變?yōu)?k （3-21v( )tan( ),Ru( )tan ( ),2cc24）當(dāng)時(shí)，解（3-23）變?yōu)?k （3-21v( )sin( ),Ru( )sin ( ).2cc25）當(dāng) （3-22212221221,4()2,1()1,ApAqcRkcrcRkc 26）即，方程（3-1）的解為221122 ,1cRcAiRc k （3-21v( )dn( ,k),Ru( )dn ( ,k),2c

26、c27）且當(dāng)時(shí)，解（3-27）變?yōu)?k （3-21v( )sech( ),Ru( )sech ( ),2cc28） 當(dāng) （3-22212221221,4()(1),1(),ApAqcRkcrcRkc 29）即，方程（3-1）的解為22112,cRcARck 11 / 43 （3-21v( )ns( ,k),Ru( )ns ( ,k),2cc30）且當(dāng)時(shí)，解（3-30）變?yōu)?k (3-31)21v( )coth( ),Ru( )coth ( ),2cc當(dāng)時(shí)，解（3-30）變?yōu)?k （3-21v( )csch( ),Ru( )csch ( ).2cc32）當(dāng) （3-222212212214()21

27、()1ApkAqcRkcrcRc 33）即，方程（3-1）的解為2221121,1cRcAkRc （3-21v( )nd( ,k),Ru( )nd ( ,k),2cc34）且當(dāng)時(shí)，解（3-34）變?yōu)?k （3-21v( )cosh( ),Ru( )cosh ( ).2cc35）當(dāng) （3-22221221221,4()2,1()1,ApkAqcRkcrcRc 36）即，方程（3-1）的解為222112 1,cRcAkRc （3-21v( )sc( ,k),Ru( )sc ( ,k),2cc37）且當(dāng)時(shí)，解（3-37）變?yōu)?k （3-21v( )sinh( ),Ru( )sinh ( ),2cc3

28、8）當(dāng)時(shí)，解（3-37）變?yōu)?k （3-21v( )tan( ),Ru( )tan ( ).2cc39）當(dāng) （3-22212221221,4()2,1()1,ApAqcRkcrcRkc 40）即，方程（3-1）的解為221122,1cRcARck 13 / 43 （3-21v( )cs( ,k),Ru( )cs ( ,k),2cc41）且當(dāng)時(shí)，解（3-41）變?yōu)?k （3-21v( )csch( ),Ru( )csch ( ),2cc42）當(dāng)時(shí)，解（3-41）變?yōu)?k （3-21v( )cot( ),Ru( )cot ( ).2cc43）當(dāng) (3-44)2222122122,4()(1),1(

29、)1,ApkAqcRkcrcRc 即，方程（3-1）的解為22112 ,cRcAkRc （3-21v( )cd( ,k),Ru( )cd ( ,k),2cc45）且當(dāng)時(shí)，解（3-45）變?yōu)?k （3-21v( )cos( ),Ru( )cos ( ).2cc46）當(dāng) （3-22212221221,4()(1),1(),ApAqcRkcrcRkc 47）即，方程（3-1）的解為22112,cRcARck （3-21v( )dc( ,k),Ru( )dc ( ,k),2cc48）且當(dāng)時(shí)，解（3-48）變?yōu)?k （3-21v( )sec( ),Ru( )sec ( ).2cc49）情形二設(shè)，由(3-

30、8)得到2m(3-50) , 02210YXaYXaXa方程(3-50)變 20120 ,dqq dXq dYXX YaXaX YaX YdX dY d比較上式左右兩邊的各次冪系數(shù)得到： Y的系數(shù):0Y （3-311011()() ()()()(),32Ra X YaXXa XcXXcc51） 的系數(shù)：1Y （3-22()() (),aXaXX52）2Y的系數(shù)：15 / 43(3-53)121()() ()() (),aXaXXa XX的系數(shù)：3Y(3-54)由方程(3-52)可得出0210()2() () ()() ().aXaX Ya XXaXX 必為常數(shù)且，不失一般性，取 Xa2 0X

31、1,2Xa第一種情形：當(dāng)；時(shí)，取，代入到（3-1( )0a x ( )0 x 21aX 0X51） （3-52） 、 （3-53） 、（3-54）得 （3-1()(),aXX55） （3-01()2 () (),aXYa XX 56）求得 (為常數(shù))，將241021()()()62RaXcXXRcc2R代入（3-50）得到012();();()aXa XaX （3-242121()().62RYXcXRcc 57）令，則當(dāng)121(),(),62RpqcrRcc （3-2212(),621()(1),1,ppkcRqckcrR 58）即,方程（3-1）有解為1222()2,16(1)RccRc

32、kk （3-21v( )ns( ,k),Ru( )ns ( ,k),2cc59）且當(dāng)時(shí)，解（3-59）變?yōu)?k （3-21v( )tan( ),Ru( )tan ( ),2cc60）當(dāng)時(shí)，解（3-59）變?yōu)?k （3-21v( )sin( ),Ru( )sin ( ).2cc61）當(dāng) （3-22122(),621()21,1,ppkcRqckcrRk 62）即，方程（3-1）的解為12222()2,1621RccRkc kk （3-21v( )cn( ,k),Ru( )cn ( ,k),2cc63）且當(dāng)時(shí)，解（3-63）變?yōu)?k （3-21v( )sech( ),Ru( )sech ( ),2

33、cc64）當(dāng)時(shí)，解（3-63）變?yōu)?k （3-21v( )cos( ),Ru( )cos ( ).2cc17 / 4365）當(dāng) （3-2122()1,621()2,1,ppcRqckcrRk 66）即，方程（3-1）的解為1222()2,162RccRkck （3-21v( )dn( ,k),Ru( )dn ( ,k),2cc67）且當(dāng)時(shí)，解（3-67）變?yōu)?k （3-21v( )sech( ),Ru( )sech ( ).2cc68）當(dāng) （3-2122()1,621()(1),ppcRqckcrRk 69）即，方程（3-1）的解為1222()2,6(1)RccRkck （3-21v( )ns

34、( ,k),Ru( )ns ( ,k),2cc70）且當(dāng)時(shí)，解（3-70）變?yōu)?k (3-71)21v( )coth( ),Ru( )coth ( ),2cc當(dāng)時(shí)，解（3-70）變?yōu)?k （3-21v( )csch( ),Ru( )csch ( ).2cc72）當(dāng) （3-22122()1,621()21,ppkcRqckcrRk 73）即，方程（3-1）的解為12222()2,6(1)21RccRkckk （3-21v( )nc( ,k),Ru( )nc ( ,k),2cc74）且當(dāng)時(shí)，解（3-74）變?yōu)?k (3-75)21v( )cosh( ),Ru( )cosh ( ),2cc當(dāng)時(shí)，解（

35、3-74）變?yōu)?k （3-21v( )sech( ),Ru( )sech ( ).2cc76）當(dāng)19 / 43 （3-2212()1,621()2,1,ppkcRqckcrR 77）即，方程（3-1）的解為1222()2,16(1)2RccRckk （3-78）21v( )nd( ,k),Ru( )nd ( ,k),2cc且當(dāng)時(shí)，解（3-78）變?yōu)?k （3-21v( )cosh( ),Ru( )cosh ( ).2cc79）當(dāng) （3-2212()1,621()2,1,ppkcRqckcrR 80）即，方程（3-1）的解為1222()2,16(1)2RccRckk （3-21v( )sc( ,

36、k),Ru( )sc ( ,k),2cc81）且當(dāng)時(shí)，解（3-81）變?yōu)?k （3-21v( )sinh( ),Ru( )sinh ( ),2cc82）當(dāng)時(shí)，解（3-81）變?yōu)?k （3-21v( )tan( ),Ru( )tan ( ).2cc83）當(dāng) （3-22212()(1),621()21,1,ppkkcRqckcrR 84）即，方程（3-1）的解為12222()2,16(1)21RccRc kkk （3-21v( )sd( ,k),Ru( )sd ( ,k),2cc85）且當(dāng)時(shí)，解（3-85）變?yōu)?k （3-21v( )sinh( ),Ru( )sinh ( ),2cc86）當(dāng)時(shí)，解

37、（3-85）變?yōu)?k （3-21v( )sin( ),Ru( )sin ( ).2cc87）當(dāng)21 / 43 （3-2122()1,621()2,1,ppcRqckcrRk 88）即方程（3-1）的解為1222()2,162RccRkck （3-21v( )cs( ,k),Ru( )cs ( ,k),2cc89）且當(dāng)時(shí)，解（3-89）變?yōu)?k （3-21v( )csch( ),Ru( )csch ( ),2cc90）當(dāng)時(shí)，解（3-89）變?yōu)?k （3-21v( )cot( ),Ru( )cot ( ).2cc91）當(dāng) （3-2212(),621()(1),1,ppkcRqckcrR 92）即，

38、方程（3-1）的解為1222()2,16(1)RccRc kk （3-21v( )cd( ,k),Ru( )cd ( ,k),2cc93）且當(dāng)時(shí)，解（3-93）變?yōu)?k （3-21v( )cos( ),Ru( )cos ( ).2cc94）當(dāng) （3-21222()1,621()21,(1),ppcRqckcrRkk 95）即，方程（3-1）的解為12222()2,(1)621RccRkkck （3-21v( )ds( ,k),Ru( )ds ( ,k),2cc96）且當(dāng)時(shí)，解（3-96）變?yōu)?k （3-21v( )csch( ),Ru( )csch ( ),2cc101）23 / 43當(dāng)時(shí)，解

39、（3-96）變?yōu)?k （3-21v( )csc( ),Ru( )csc ( ).2cc102）當(dāng) （3-2122()1,621()(1),ppcRqckcrRk 103）即，方程（3-1）的解為1222()2,6(1)RccRkck （3-21v( )dc( ,k),Ru( )dc ( ,k),2cc104）且當(dāng)時(shí)，解（3-104）變?yōu)?k （3-21v( )sec( ),Ru( )sec ( ).2cc105）第二種情況，取，代入到（3-51） （3-53） （3-54）化 21aX 0X簡(jiǎn) （3-10() () ().aX YaXX106） （3-1()().aXX107） （3-01()

40、2 () ().aXYa XX 108）平衡的系數(shù)可得或；因?yàn)槿绻?1();(); ()aXa XX()0;X()1X由(3-51)推出,由(3-52)推出 , 1mX 11mX從（3-50）知兩邊的次數(shù)項(xiàng)系數(shù)是得到 022,Xm432mm矛盾與11mm當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)()1X1()2a X();XAXB，代入到（3-107）可得到211()2a XAXBXC （3-243022111()()8622111(),22aXAXABXcRBACcXBCXDc109）其中為常數(shù)，將代入到（3-105）化簡(jiǎn)并取; ;B C D01();()aXa X的系數(shù)為零得到43 , 2 , 1 , 0，iXi （3

41、-222131211()0,8325()0,8224()(),232132()0,22()0,0,AcBA BcRACB AACcccRABABCccRCADB CccBD110）解得，因此可知(2 )4;0;0;0;12ABCDc （3-421011()();( )2.RaXXcXa xXc 111）代入（3-50）得 (3-112) 211(),RYXcXc將（3-111）兩邊平方得25 / 43 (3-113)243211112()().RRYXcXcXcc滿足輔助方程，當(dāng)有2234( )( )( )dzazbzczd, ,a b c時(shí)，表三就是這個(gè)方程的解24,1bac 由（3-113

42、）可知令由此知11111;2();()RRcbcaccc 因此查表三可知，當(dāng)時(shí)，方程（3-1）的解為0,1,1c 0,0a （3-111121RR11(c)(c)ccv( )(1tanh(),22R1R1(c)(c)cRcu( )(1tanh(),8c2c 114） 111121RR11(c)(c)ccv( )(1coth(),22R1R1(c)(c)cRcu( )(1coth().8c2c （3-115）當(dāng)只需要時(shí)，即，即時(shí)，方程（3-1）的解0a 11()0Rcc1Rcc為132131132131341312113213R1(c)cR1(c) sech ()c2v( )RR11(c)(c)

43、ccR3(c)2tanh()tanh (),c22R1(c)cR1(c) sech ()Rc2u( )cRR11(c)(c)ccR32c(c)2tanh()tanh ()c22. （3-116）132131132131341312113213R1(c)cR1(c) csch ()c2v( ),RR11(c)(c)ccR3(c) +2coth()coth ()c22R1(c)cR1(c) coth ()Rc2u( )cRR11(c)(c)ccR32c(c) +2coth()coth ()c22,（3-117） （3-1111R1(c)c12R1(c)c112R1(c)c112R1(c)c11R1

44、4(c)ecv( ),RR11e(c)4(c)ccR14(c)eRcu( ).2ccRR11e(c)4(c)cc27 / 43118）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程（3-1）有解為0,0ac11,Rccc （3-12111121211111R1(c)cR1(c)sech ()c2v( ),R1(c)cRR112(c)2(c) tanh()cc2R1(c)cR1(c)sech ()Rc2u( ),2ccR1(c)cRR112(c)2(c) tanh()cc2119） （3-12111121211111R1(c)cR1(c)csch ()c2v( ),R1(c)cRR112(c)2(c)coth()cc2R1(

45、c)cR1(c)csch ()Rc2u( ).2ccR1(c)cRR112(c)2(c)coth()cc2120）4.4. 總結(jié)與展望總結(jié)與展望本文利用首次積分法求得 Drinfeld-Sokolov-Wilson 方程的精確行波解，從開(kāi)題到完成整個(gè)過(guò)程并非一帆風(fēng)順，雖然許多常見(jiàn)的非線性波動(dòng)方程均可用這種方法處理.但是大部分是很難得到首次積分，而且同一個(gè)方程可能得到的首次積分會(huì)不一樣，也就是不唯一，但是如果得到了首次積分，運(yùn)用首次積分方法可以方便、快捷地求出某些非線性演化方程的精確孤波解，與傳統(tǒng)方法較之主要的優(yōu)勢(shì)是避免了大量復(fù)雜和繁瑣的計(jì)算，提供精確和簡(jiǎn)單行波解的表達(dá)式因此首次積分法在解決某些

46、非線性方程的復(fù)雜孤波解時(shí)是一種有效并且有著巨大潛力的方法本文的研究只是初步很淺的得到一些精確解，只研究了 m=1 和 m=2 兩種情況，當(dāng) m=3 時(shí)情況就會(huì)更加復(fù)雜，首次積分的形式可能會(huì)更多，得到的精確解應(yīng)該會(huì)更多，但是由于本人的實(shí)力有限，很難得到 m=3 的首次積分，實(shí)在很遺憾，這要是首次積分的不足之處，也許在不久的將來(lái)，會(huì)有人在這一方面做出突破，得到更好的結(jié)果對(duì)于本文的工作，作者提出以下三方面的后續(xù)研究：第一：能否系統(tǒng)的歸納出那些方程可以運(yùn)用首次積分法求解會(huì)簡(jiǎn)單方便第二：關(guān)于首次積分法能否結(jié)合其他的一些輔助方程方法得到更為精確的解第三：當(dāng) m 比較大是能否有所突破使得計(jì)算推演更為簡(jiǎn)便快捷

47、29 / 43參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal. Method for solving the KdV equationJ. Phys. Rev. Lett, 1967, 19: 1095-1097.2 R. Hirota. Exact solution of the KdV equation for multiple collisious of solutions J. Phys.Rev.Lett, 1971, 27: 1192-1194.3 M.J. Ablowitz, P.A. Clarkson. Solitions, n

48、onlinear evolution equations and inverse scattering M. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1991.4W. Malfliet .Solitary wave solutions of nonlinear wave equation J.Am J Phys, 1992, 60: 650-654.5 M.L. Wang. The solitary wave solutions for a compound KdV-Burgers equationJ. Phys. Lett. A,1996, 213: 279-28

49、7.6Z.T. Fu, S.K. Liu, S.D. Liu. NewJacobi elliptic function expansion and new periodic wave solutions of nonlinear wave equation J. Phys. Lett. A, 2001, 290: 72-76.7 Z.S. Fen. On explicit exact solutions to the compound Burgers-KdV equation J. Phys. Lett. A, 2002, 293: 57-66.8Z.S. Fen. Exact solutio

50、n to an approximate sine-Gordon equation in (n+1)-dim-ensional space J. Phys. Lett. A, 2002, 302: 64-76.9Z.S. Fen, X.H. Wang. The first integral method to the two-dimensional Burge-KdV equation J. Phys. Lett. A, 2003, 308:173-178.10 M.L. Wang,Y.M. Wang,J.L. Zhang.The periodic wave solutions for two

51、syste-ms of nonlinear wave equation J. Chin.Phys,2003, 12(12): 1341-1348.11P. Boito, M. Manna, F. Pempinelli. Flora on a spectral transform of a KdV-like equation related to the Schrodinger operator in the plane J. Inverse Problems, 1987, 3(1): 25-26.12 盧殿臣，廣娟變系數(shù)(2+1)維非線性色散長(zhǎng)波方程新的類(lèi)孤子解和局域想干結(jié)構(gòu) J.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007,20(4): 777-782.13智紅燕，勇，鴻慶廣義射影 Riccati 方程方法與(2+1)維色散長(zhǎng)波方程新的精確行波解 J.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2005,25A(7): 956-964.14 先林，唐駕時(shí)(2+1)維色散長(zhǎng)波方程的行波解 J. 師大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008, 26(3)：33-36.15 D.C.Lu, C.L. Liu. A sub-ODE