線性矩陣不等式4

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容保性能控制保性能控制時滯系統(tǒng)簡介時滯系統(tǒng)簡介魯棒跟蹤問題魯棒跟蹤問題基于基于LMI的保性能控制的保性能控制xA+ A xB+wB u+ DyCx 12tABMFEE1,M E2E tF Ttt FFI不確定參數(shù)矩陣不確定參數(shù)矩陣和和是反映不確定性結(jié)構(gòu)的常數(shù)矩陣，是反映不確定性結(jié)構(gòu)的常數(shù)矩陣，是時變的不確定矩陣，且滿足是時變的不確定矩陣，且滿足。 考慮如下線性不確定系統(tǒng)考慮如下線性不確定系統(tǒng)（5-1） ttuKx 12txx+ DwABKMFEE KA=x+ DwyCx設(shè)計狀態(tài)反饋控制律設(shè)計狀態(tài)反饋控制律閉環(huán)系統(tǒng)可寫為閉環(huán)系統(tǒng)可寫為 12tA= ABKMFEE K（5-3）（5-

2、2）保性能控制的目的控制目的控制目的針對系統(tǒng)針對系統(tǒng)(5-1)，保性能控制目的是設(shè)計控制律，保性能控制目的是設(shè)計控制律(5-2)使得閉環(huán)系統(tǒng)使得閉環(huán)系統(tǒng)(5-3)在任意非零初始值下狀態(tài)都能趨在任意非零初始值下狀態(tài)都能趨于穩(wěn)定，為此定義一個性能指標(biāo)：于穩(wěn)定，為此定義一個性能指標(biāo)： TT0CJttttdtxQxuRu其中：其中：Q為給定的對稱半正定實矩陣，為給定的對稱半正定實矩陣，R為給定的對為給定的對稱正定實矩陣。稱正定實矩陣。(5-4)Guaranteed Cost(保代價保代價)保性能控制的設(shè)計思想保性能控制的設(shè)計思想設(shè)計思想設(shè)計思想*CJ*CCJJ*CJ考慮閉環(huán)系統(tǒng)考慮閉環(huán)系統(tǒng)(5-3)和

3、性能指標(biāo)和性能指標(biāo)(5-4)，如果存在控制器，如果存在控制器(5-2)和正數(shù)和正數(shù)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且閉環(huán)性能指標(biāo)值滿足系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且閉環(huán)性能指標(biāo)值滿足稱為系統(tǒng)稱為系統(tǒng)(5-3)的一個的一個保性能控制器保性能控制器。，使得對所有允許的不確定性，閉環(huán)，使得對所有允許的不確定性，閉環(huán)則則稱為系統(tǒng)稱為系統(tǒng)(5-3)的一個的一個性能上界性能上界，控制器，控制器(5-2)魯棒保性能控制器設(shè)計為設(shè)計不確定系統(tǒng)為設(shè)計不確定系統(tǒng)(5-1)的魯棒保性能控制器，先給出的魯棒保性能控制器，先給出如下假設(shè)：如下假設(shè)： tw TTT.ttttwwxC Cx假設(shè)假設(shè)5.1：干擾：干擾有界，且在其連續(xù)區(qū)域內(nèi)滿足有界，

4、且在其連續(xù)區(qū)域內(nèi)滿足假設(shè)要合理且容易滿足假設(shè)要合理且容易滿足定理定理5-1 針對給定的性能指標(biāo)針對給定的性能指標(biāo)(5-4) ,如果對所有滿足如果對所有滿足FTF I的實矩陣的實矩陣F，若存在對稱正定實矩陣若存在對稱正定實矩陣P0,實矩實矩陣陣K以及標(biāo)量以及標(biāo)量0,使得如下矩陣不等式成立使得如下矩陣不等式成立則則u(t)=Kx(t)為閉環(huán)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)(5-3)的魯棒保性能控制律的魯棒保性能控制律,相相應(yīng)的一個系統(tǒng)性能上界應(yīng)的一個系統(tǒng)性能上界*00.TCJ xPxTTTT0A PPAQK RKC CPDD PI(5-5) TVxx Px TTTTTVxxA PPA xw D Pxx PDw證明證

5、明：定義閉環(huán)系統(tǒng)的：定義閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為函數(shù)為則有則有 若要證明若要證明 0VxTTTTTTT xA PPA xw D Pxx PDwxQK RK xTTTTTTTxA PPA xw D Pxx PDwxQK RK x0TTTTTTTxA PPA xw D Pxx PDwxQK RK x0TTT0A PPAQK RKPDD PT0 xxwwTTT00A PPAQK RKPDD PS-procedure（S-過程）過程） 存在對稱矩陣存在對稱矩陣P0, ,使得對滿足使得對滿足wTw xTCTCx的所的所有有x 0和和w，若要，若要TTT00 xxA PPAPBwwB P 成立，當(dāng)

6、且僅當(dāng)存在標(biāo)量成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量0和對稱矩陣和對稱矩陣P0, ,使得使得TTT0A PPA+ C CPBB PITTT00A PPAQK RKPDD P若要證明若要證明則根據(jù)則根據(jù)S-過程，只需證，當(dāng)假設(shè)過程，只需證，當(dāng)假設(shè)5.1滿足時，存在標(biāo)量滿足時，存在標(biāo)量0和對稱矩陣和對稱矩陣P0,使得使得TTTT0A PPAQK RK + C CPDD PI即得定理成立的條件。即得定理成立的條件。TTTTTTT xA PPA xw D Pxx PDwxQK RK x TTTTV xxQK RK x =x Qxu Ru 0Vx，即閉環(huán)系統(tǒng)，即閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定。( )0CVdtJx -即閉環(huán)系

7、統(tǒng)是可保性能的。即閉環(huán)系統(tǒng)是可保性能的。 T00000CVVVVVJxxxxxx Px=*T00CCJJx Px定理得證。定理得證。(5-6)(5-7)對式對式(5-6)從從0到到積分，得積分，得 定理定理5-2 針對給定的性能指標(biāo)針對給定的性能指標(biāo)(5-4) ,如果對所有滿足如果對所有滿足FTF I的實矩陣的實矩陣F，若存在對稱正定實矩陣若存在對稱正定實矩陣P0,實矩實矩陣陣K以及標(biāo)量以及標(biāo)量, ,0,使得如下使得如下LMI成立成立則則u(t)=WV-1x(t)為閉環(huán)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)(5-3)的魯棒保性能控制律的魯棒保性能控制律,相應(yīng)的一個系統(tǒng)性能上界相應(yīng)的一個系統(tǒng)性能上界*T10000.TC

8、JxPxxVxTTTTT1 21 212*000AVVABWW BDDMMQ V + R W + EVE WICVI 證明：由定理證明：由定理5.1 ，知，知TTTT0A PPAQK RKC CPDD PI11, ,diagPIXP 12tA= ABKMFEE K對上式分別左乘和右乘矩陣對上式分別左乘和右乘矩陣將將代入代入由引理由引理3.1，引入引入標(biāo)量標(biāo)量，消去時變不確定參數(shù)陣，消去時變不確定參數(shù)陣F(t)不等式兩邊數(shù)乘不等式兩邊數(shù)乘,消去消去-1 ,記記1,jjVX WK V應(yīng)用應(yīng)用Schur 補(bǔ)補(bǔ),即得定理即得定理5.2成立。成立。時滯系統(tǒng)簡介時滯系統(tǒng)簡介時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性時滯現(xiàn)象普遍存在

9、，是近幾年研究的熱點時滯現(xiàn)象普遍存在，是近幾年研究的熱點時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性-ddtxAxA xd0表示滯后時表示滯后時間間時滯獨立的穩(wěn)定性：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與時滯時滯獨立的穩(wěn)定性：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與時滯d無關(guān)無關(guān)時滯依賴的穩(wěn)定性：系統(tǒng)穩(wěn)定性與時滯相關(guān)時滯依賴的穩(wěn)定性：系統(tǒng)穩(wěn)定性與時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件較保守穩(wěn)定性條件較保守*dd時系統(tǒng)穩(wěn)定時系統(tǒng)穩(wěn)定先分析時滯獨立穩(wěn)定性先分析時滯獨立穩(wěn)定性, ,若不成功若不成功, ,再分析時滯依賴穩(wěn)定性再分析時滯依賴穩(wěn)定性(6-1)時滯獨立的穩(wěn)定性條件定理定理6-1 針對系統(tǒng)針對系統(tǒng)(6-1) , 若存在對稱正定實矩陣若存在對稱正定實矩陣P和和S,使得使得則系

10、統(tǒng)則系統(tǒng)(6-1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。是漸進(jìn)穩(wěn)定的。TT0ddA PPASPAA PS證明證明：定義：定義Lyapunov函數(shù)如下函數(shù)如下 TTtttdVdttxSxxPxxtV xtV x其中：其中：,0tt+d xx則則，P和和S是對稱正定陣，是對稱正定陣，正定。正定。 TTTT22dttttt -dttt -dt -VdxPAxxPA xxSxxSxx關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是：關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是： TTTddttt -dt -dxA PPASPAASxPxx定理得證。定理得證。時滯獨立系統(tǒng)的時滯獨立系統(tǒng)的特定李氏函數(shù)特定李氏函數(shù)2TTTa ba ab b12TTTa ba Xab X b12TTTaMb

11、baMbX aMbb X b數(shù)學(xué)補(bǔ)充1122TTTTTTTa baMbX aMbb X bb MbXXMaaM XM XI XXMIbb 時滯依賴的穩(wěn)定性條件定理定理6-2 如果如果存在對稱正定實矩陣存在對稱正定實矩陣P、Q、V和實和實矩矩陣陣W以及標(biāo)量以及標(biāo)量 ,使得如下矩陣不等式成立使得如下矩陣不等式成立則對所有的滯后時間則對所有的滯后時間0,ddTTTTT*0*00ddddddddA+ APP A+ AW AA WA WQVA AVA AVW + PV0d 系統(tǒng)系統(tǒng)(6-1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證明：定義證明：定義Lyapunov函數(shù)如下函數(shù)如下123ttttVVVVxx+x+x

12、 T1tVttxxPx其中：其中： 0TT2ttdddtVd d xxAXA x T3ttt dVdxxQx時滯依賴系統(tǒng)的時滯依賴系統(tǒng)的特定李氏函數(shù)特定李氏函數(shù) TTTTTTT122ddddttttxAXA xxAXMPx+xP M X + I XXxPAM + I Pxx tt dt -t -d =dxxx TT122ttddt-ddVtttddtxxP A+ AxxPA x1tVx由于由于 -tddt-ddttttddA+ Axx-xAAxA x tt dt -d =t -dxxx 關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是：關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是：定義定義 ,dabt A xPx，可得，可得22TTb aa b利用數(shù)學(xué)

13、補(bǔ)充第四式利用數(shù)學(xué)補(bǔ)充第四式將上式代入到將上式代入到1tdVdtx中，可得中，可得 1TTT1TTTT2tddttdddt-dt ddVdttdttddxxA+ AP + P A+ AP M X + I XXM + I P xxPM XAx+xAXA x2tVx TTTT2ttddddt ddVdttddtxxAXA xxAXA x TT3tdVttt -dt -ddtxxQxxQx3tVx和和關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是：關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是： 0TT2ttdddtVd d xxAXA x T3ttt dVdxxQx因此因此 123TT2T1TTTTTTT1112T12222tttttdddddt-dddd

14、dVVVVdtdtdtdttdttttttt -dt -dttt -dt -ddxxxxxA+ AP + P A+ AW+ P VW + PxxW A+ xA VA x+xQxxQxxxXXxxXXx因此因此T2T111TTTTTTT122TT2ddddddddddddddd W = XMP, V = XXA+ AP + P A+ AW+ P VW + PA A VA A+Q+W AA W+ A A VA AAAWXQVAXAA定理得證。定理得證?；诨贚MI的跟蹤控制問題的跟蹤控制問題定義定義所謂跟蹤問題，就是討論系統(tǒng)在滿足什么條件下可所謂跟蹤問題，就是討論系統(tǒng)在滿足什么條件下可找到適當(dāng)?shù)?/p>

15、控制律來實現(xiàn)找到適當(dāng)?shù)目刂坡蓙韺崿F(xiàn)y(t)跟蹤跟蹤yr(t)的目標(biāo)，滿足的目標(biāo)，滿足lim( )( )0rty ty t控制方案控制方案rxxe通常考慮增廣系統(tǒng)，若系統(tǒng)維數(shù)超過通常考慮增廣系統(tǒng)，若系統(tǒng)維數(shù)超過3時，優(yōu)勢不明顯時，優(yōu)勢不明顯.研究思路缺陷之處缺陷之處：必須考慮增廣系統(tǒng)，系統(tǒng)階數(shù)成倍增：必須考慮增廣系統(tǒng)，系統(tǒng)階數(shù)成倍增長，可能引發(fā)長，可能引發(fā)LMI不可解等問題的出現(xiàn)；不可解等問題的出現(xiàn)；結(jié)論結(jié)論：不適合高維數(shù)系統(tǒng)控制器的設(shè)計；：不適合高維數(shù)系統(tǒng)控制器的設(shè)計；方案方案：引入前饋，避免增廣。：引入前饋，避免增廣。魯棒跟蹤控制器的設(shè)計魯棒跟蹤控制器的設(shè)計考慮如下線性不確定系統(tǒng)考慮如下線性

16、不確定系統(tǒng) ,tttttttxAxBuyxxC 系統(tǒng)的不確定系統(tǒng)的不確定參考信號參考信號 rty由下述參考模型生成由下述參考模型生成 00rrrrrttxA xxx rrrttyC x定義誤差變量定義誤差變量設(shè)計目標(biāo)是在設(shè)計目標(biāo)是在 rrrt eyyCxC x tu的作用下有的作用下有 limlim0rttttteyy假設(shè)存在實常數(shù)矩陣假設(shè)存在實常數(shù)矩陣G，使得，使得 rttuHxu 設(shè)計如下控制律設(shè)計如下控制律 rttxGxx 并定義并定義 rttyyy ,uxy 其中其中為偏離理想跟蹤的控制、狀態(tài)、及為偏離理想跟蹤的控制、狀態(tài)、及輸出偏差。輸出偏差。 rttxGxx rxxGx rrrrr

17、rrrrxxGxAxBuGA xA GxxB HxuGA xAGBHGAxA xB u+ ruHxu rxGxx ryyy rrrrrrrryyyCxC xC GxxC xCGCxC x ryyy ruHxu rxGxx ryyy ryyy ,rrttxAGBHGAxA xB u+x rryCGCxC x 0y 假設(shè)假設(shè)7-1 存在實常數(shù)矩陣存在實常數(shù)矩陣n n ，使得，使得 ,tttxx 不確定范數(shù)有界不確定范數(shù)有界定理定理7-1 若假設(shè)若假設(shè)7-1成立，存在實矩陣成立，存在實矩陣G,H滿足滿足 rAGBHGArCGC且針對給定的常數(shù)且針對給定的常數(shù)0 ,存在對稱正定實矩陣存在對稱正定實矩陣

18、P，實矩陣實矩陣K,使得如下不等式成立使得如下不等式成立TT22101ABKPP ABKPPI 則則 uKx為被控系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制律為被控系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制律 ，且，且y(t)漸進(jìn)跟蹤漸進(jìn)跟蹤yr(t)。證明證明rAGBHGArCGC ,rrttxAGBHGAxA xB u+x rryCGCxC x 此時有此時有若存在實矩陣若存在實矩陣G,H滿足滿足 ,ttxA xB uxyC x 思路：若思路：若0,0則有xy 設(shè)計狀態(tài)反饋控制器設(shè)計狀態(tài)反饋控制器uKx ,ttA+ Bxxx 則閉環(huán)系統(tǒng)可描述為則閉環(huán)系統(tǒng)可描述為A若存在對稱正定實矩陣若存在對稱正定實矩陣P，選取如下，選取如下Lyapunov函數(shù)函數(shù) 22T011,tV tdx P x+xx V t對時間的導(dǎo)數(shù)為對時間的導(dǎo)數(shù)為 22TT22TTTTTT2211,112,1,1V tttttttttttttx P x+x P x+xxxA PPAx+x Pxx+xA PPAPxxxxPI 0V t t 0,0ttxy 0rttyy rty由定理條件成立，可得由定理條件成立，可得，即有當(dāng)，即有當(dāng)時，時，即，即實現(xiàn)對參考輸出實現(xiàn)對參考輸出的漸進(jìn)跟蹤。定理得證。的漸進(jìn)跟蹤。定理得證。 ，從而，從而 rttxGxx 得得由由rxxGx rrrrrttttuHxu= HxKx=