2019年浙江省高中數(shù)學競賽試題參考解答與評分標準

1、2019年浙江省高中數(shù)學競賽試題參考解答與評分標準說明：本試卷分為 A 卷和 B 卷：A 卷由本試卷的 22題組成，即 10 道選擇題，7 道填空題、3 道解答題和 2 道附加題；B 卷由本試卷的前 20 題組成，即 10 道選 擇題，7道填空題和 3 道解答題。一、選擇題（本大題共有 10 小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號 填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5 分，共 50 分）5兀 3J1.已知才, ,，則1 - sin2 - . 1 sin 2門門可化簡為（D ）42A. 2sin rB.2sin vC.-2cos rD.2 cos解答：因為日,，所以寸1si

2、n 2 日一 J1 + sin 2 日=cos日一sinG cos+sin&42=2 co。正確答案為 Do2.如果復數(shù) a 2i 1 i 的模為 4,則實數(shù) a 的值為（C ）A.2 B.2 2C.-2D.-2.2 解答：由題意得-、2a1 2 3 4*4=4= a=2。正確答案為 Co3.設 A，B 為兩個互不相同的集合，命題 P：xAB，命題 q：xA或xB， 則p 是 q 的（B ）A.充分且必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分且非必要條件解答：P 是 q 的充分非必要條件。正確答案為Bo24.過橢圓八1的右焦點 F2作傾斜角為45弦 AB,則AB為（C ）1

3、一5 x 啟 05.函數(shù) f（x）=5，則該函數(shù)為（ A ）5x-1 x0A.單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)、偶函數(shù)A.2、63解答：橢圓的右焦點為1，0），則弦 AB 為y=x-1,代入橢圓方程得23x 4x = 0 = x =0,x2.2(X1-X2)正確答案為Co解答：由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A6.設有一立體的三視圖如下，則該立體體積為（2222311正視圖5兀A. 4+-2B. 4+2側(cè)視圖JIC. 4+2D. 4+二解答：該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，其中重疊了一部分（以該幾何體的體積為2 2 1 34。正確答案為 A。227 某程序框

4、圖如右圖所示，現(xiàn)將輸出（x, y）值依次記為：（%, %）,&2?。?川,仏皿）川I;若程序運行中輸出的一個數(shù)組是（x,-10）,則數(shù)組中的x=（ B ）A. 64B. 32C. 16D. 8答案 經(jīng)計算x =32。正確答案為 Bo8.在平面區(qū)域1（x, y） |x匸1,| y匸1上恒有ax-2by_2，則動點P（a,b）所形成平面區(qū)域的面積為（ A ）A. 4B.8 C. 16 D. 32解答：平面區(qū)域：（x, y） | x|_1,| y仁的四個邊界點（一 1， 1）,（1，1），（1， 1），（1，1）滿足ax 2by蘭2，即有a 2b _2,a -2b _2, -a -2b _2

5、, -a 2b _2由此計算動點P（a, b）所形成平面區(qū)域的面積為 4。正確答案為 A9.已知函專），所解答： 問題等價于函數(shù)皿仁)與直線在； ， -上有兩個交點, 所以 m 的取值范圍為丄丄，1。正確答案為 CO0丿10. 已知a -1,1，則 x2(a-4)x 4-2a 0 的解為(C )A.x 3或x：2B.x 2或x : 1C.x 3或x : 1D.1：x：3解答：不等式的左端看成 a 的一次函數(shù)，f (a)二(x -2)a - (x2-4x 4) 由 f(-1)=x2-5x 6 0, f(1) = x2-3x2 0 二 x：1 或x 3。正確答案為 CO二、填空題(本大題共有 7

6、小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7 分,共 49 分)11. 函數(shù)f(x)=2sinTJcosx的最小正周期為4兀。2解答：最小正周期為 4 二O12. 已知等差數(shù)列!an前 15 項的和 05=30，則 a+a8+a15=_ 6_.解答：由05二30=印 7d = 2，而a a8y5= 3(a7d)二6。13. 向量 a=(1,sin0)，, =(COS6J3)，矢R，則的取值范圍為_1，3_O14. 直三棱柱 ABC-ABIG，底面ABC是正三角形，P, E 分別為 BBi, CG 上的動點(含端點)，D 為 BC 邊上的中點，且PD _ PE。則直線AP,PE的夾角為90。解答：

7、因為平面 ABC 丄平面 BCC1B1，AD 丄 BC,所以 ADL 平面 BCC1B1，所以AD 丄 PE 又 PEPD, PE!平面 APD 所以 PEPD 即夾角為90。A1A 21B訂 C ，j=.(1-cos71)2(si 3)2= .5 - 2(cos：-、3si nJ二5-4sin(石-巧，其最大值為 3,最小值為 1，取值范圍為口，3。15._設x, y為實數(shù)，則2max (x2+ y2) =_ 4_。5x2*y2二0 x解答：5x24y2=10 x 二 4y2=10 x 5x2_0 二 0_x_24(x2y2) =10 x-x2= 25(5x)2空 25-32= x2y2空

8、416. 馬路上有編號為 1, 2, 3，2019 的 2019 只路燈，為節(jié)約用電要求關閉其中的 300 只燈，但不能同時關閉相鄰兩只，也不能關閉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法共有C37W_ 中。(用組合數(shù)符號表示)解答：問題等價于在 1711 只路燈中插入 300 只暗燈，所以共有 C 眾種關燈方法。17. 設x, y,z為整數(shù)，且 x + y + z = 3, x3+ y3+ z3= 3，貝 U x2+ y2+z2=_3 或 57_解答：將z =3xy代入x3y3z3 得到xy =3(x y) -9 ，因為x, y都是整數(shù)，所以x + yx 1x4 x“2,x“8,前兩個方程組無解；后

9、兩個方程組解得xy = 2 xy = 5 xy = 1 xy = 16x=y = z=1;x = y = 4,z_ -5。所以 x2y2z2=3 或 57。三、解答題(本大題共 3 小題，每小題 17 分，共計 51 分)18. 設a蘭2，求 y=(x-2)x 在a, 2上的最大值和最小值。解答：當 x E0,y = -(x-1)21,當x 0,y = (x -1)2-1,-5 分由此可知max=0。- 10 分當仁a乞2,ymin=a2-2a;當1 - 2一a：1, ymin= -1；當ad- 2, ymin二-a2- 2a。- 17 分19.給定兩個數(shù)列；.Xn ,滿足 Xo= yo=1

10、,XnX（n _ 1）,2 + Xn_!2yn%（n _1）。證明對于任意的自然數(shù) n,都存在自然數(shù) jn，使得1 2ynl所以丄T =2n勺=Xn11刃由12=125二yoyn所以取jn=2n-1即可。2220. 已知橢圓務=1，過其左焦點 F1作一條直線交橢圓于 A，B 兩點，D（a,0）545 2150k225k -400得X1X22，X1X2216 25k16 25k10 分設“(-25,y3),N251y4)。由 M、A、D 共線y3=(3a25)Y1，同理4二(3a25)y2。解答：由已知得到：+Xnd）=. 1為等比數(shù)列，首項為2,公比為 2，Xn又由已知，yn 1(yn1)2Y

11、-ynJ=(yYnyn占21yn-22-117 分為 F1右側(cè)一點，連 AD、BD 分別交橢圓左準線于M,N。若以 MN 為直徑的圓恰好過 F1，求 a 的值。25解答：廿3,。）,左準線方程為x盲AB方呈為y 二 k(x 3)(k 為斜率)設 AX yJ,B(X2,y2)，由y 二 k(x 3)x2y2=12516(1 6x2) +1k5(x+蠱七 4000yn。XnXn丄“丄仁2(1Xn又RM =(-16, y3),RN =(-16山山),),由已知得 RM _ FiN= F1M=0, 得33Y3Y4 =256 而(3a 25) yy,而河4亠，即99(aX1)(a X2)256k2(3a

12、 25)22562 一16 25k9(a-X1)(a -X2)9，整理得(1 k2)(16a2-400) =0= a = 5,又 a-3,所以 a = 5- 17分四、附加題（本大題共 2 小題，每小題 25 分，共計 50 分）JT21.在銳角三角形 ABC 中，A，設在其內(nèi)部同時滿足PA乞PB和PA乞PC的3點 P 的全體形成的區(qū)域 G 的面積為三角形 ABC 面積的-。證明三角形 ABC 為3等邊三角形。做O氐丄AB于E,OF丄AC卄,OM丄BC于M則 G 為四10 分1由已知.BOC =120,則.OBC =30：則 OM=R(R 為ABC 外接圓半徑)23作 AD _BC 于 D,則

13、 AD _AO OM R21 3RSABCBC =3SOBC,等號成立當且僅當 A、0、M 共線，即厶ABC為等邊三角形。2Y1- k (X13)(x2 3)-2256k216 25k解答：做ABC的外接圓0,OC所以S.0BC13S.ABC25 分22.設 a,b,c R ，且a b3。求證:a b b c c a 3,2+a+b 2+b+c 2+c+a 2并指明等號成立的條件。a b b c c a-+-+-(.a bc b i, a c)66 + 2(a + b + c)6 a b 2 b c 2 c a證明:na2由柯西不等式-L-i二b( ai)2i 4n、bi得到(1)- 1O 分(1)式右邊的分子=2(a b c) 2(、，a b. c b, c b. a c . a c、，c