三角形全等之手拉手模型、倍長(zhǎng)中線(xiàn)、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)35562

1、一、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn) 結(jié)論：（1）ABD AEC （2）+BOC=180° （3）OA平分BOC變形： 例1.如圖在直線(xiàn)的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）(2)(3) 與之間的夾角為(4)(5)(6) 平分(7)變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）（2）（3） 與之間的夾角為（4） 與的交點(diǎn)設(shè)為,平分變式精練2：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）(2）(3） 與之間的夾角為(4） 與的交點(diǎn)設(shè)為,平分例2：如圖，兩個(gè)正方形與,連結(jié),二者相交于點(diǎn)問(wèn)：（1）是否成立？（2） 是否與相

2、等？（3） 與之間的夾角為多少度？（4） 是否平分？例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形與，連結(jié),二者相交于點(diǎn)問(wèn)：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？例4：兩個(gè)等腰三角形與，其中,連結(jié)與，問(wèn)：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？二、倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)考點(diǎn)說(shuō)明：凡是出現(xiàn)中線(xiàn)或類(lèi)似中線(xiàn)的線(xiàn)段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線(xiàn)段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。【例1】 已知：中，是中線(xiàn)求證：【練1】在中，則邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)的取值范圍是什么？【練2】如圖所示，在的邊上取兩點(diǎn)、，使，連接、，求證：

3、【例2】 如圖，已知在中，是邊上的中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求證：【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于，求證：【練2】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線(xiàn)【練3】如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【例3】 已知為的中線(xiàn)，的平分線(xiàn)分別交于、交于求證：【練1】在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿(mǎn)足若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)【練2】在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且（1）若，以線(xiàn)段、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果，求證【例4】 如圖所示，在中，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接

4、、，求證【練1】已知中，為的延長(zhǎng)線(xiàn)，且，為的邊上的中線(xiàn)求證：全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短：人教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類(lèi)問(wèn)題的一種特殊方1. 如圖所示，中，AD平分交BC于D。求證：AB=AC+CD。如圖所示，在中，的角平分線(xiàn)AD、CE相交于點(diǎn)O。求證：AE+CD=AC。2. 如圖所示，已知，P為BN上一點(diǎn)，且于D，AB+BC=2BD，求證：。3. 如圖所示，在中，AB=AC，CE垂直于BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E。求證：BD=2CE。5如圖所示，在中，AD為的平分線(xiàn)，=30，于E點(diǎn)，求證：AC-AB=2BE。6.如圖所

5、示，已知/CD，的平分線(xiàn)恰好交于AD上一點(diǎn)E，求證：BC=AB+CD。7.如圖，E是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，垂足為C、D。求證：（1）OC=OD； （2）DF=CF。7三、截長(zhǎng)補(bǔ)短問(wèn)題1：垂直平分線(xiàn)（性質(zhì)）定理是_問(wèn)題2：角平分線(xiàn)（性質(zhì)）定理是_問(wèn)題3：等腰三角形的兩個(gè)底角_，簡(jiǎn)稱(chēng)_；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也_，簡(jiǎn)稱(chēng)_問(wèn)題4：當(dāng)見(jiàn)到線(xiàn)段的_考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移_、轉(zhuǎn)移_，然后和_重新組合解決問(wèn)題三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短（一）一、單選題(共4道，每道25分)1.已知，如圖，BM平分ABC，P為BM上一點(diǎn)，PDBC于點(diǎn)D，BD=AB+CD求證：BAP+BCP=180°

6、;請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：；1=2；A=BEP；AP=PE；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 2.已知，如圖，BM平分ABC，點(diǎn)P為BM上一點(diǎn)，PDBC于點(diǎn)D，BD=AB+DC求證：BAP+BCP=180°請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長(zhǎng)BA，過(guò)點(diǎn)P作PEBA于點(diǎn)E；延長(zhǎng)BA到E，使AE=DC，連接PE；延長(zhǎng)BA到E，使DC=AE；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 3.已知，如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，AD平分CDE，BAE=2CAD，求證：BC+DE=CD請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=

7、CB，連接AF；在DC上截取DF=DE，連接AF；在DC上截取DF=DE；AE=AF；AF=AE，4=3；4=3；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 4.已知，如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BAE=2CAD，ABC+AED=180°，求證：BC+DE=CD請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長(zhǎng)DE到F，使EF=BC，連接AF；延長(zhǎng)DE到F，使BC=EF；延長(zhǎng)DE到F，連接AF；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )A. B. C. D. 第11頁(yè)共19頁(yè)四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長(zhǎng)補(bǔ)短專(zhuān)題問(wèn)題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件)問(wèn)題二：

8、旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？【例1】如圖，P是正ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若將PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到PBA ，則PBP的度數(shù)是( ) A45°B60° C90° D120° 【例2】如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于A，連接BD、CF，求證：BDCF并求出DOH的度數(shù)?！纠?】如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)ADFAE 。求證：BEDFAE。1題干中出現(xiàn)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)成的全等2圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系的全等形找到并利用3題干中沒(méi)提到旋轉(zhuǎn)，圖形中也沒(méi)有旋轉(zhuǎn)關(guān)系存在通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！【例4】已知：如圖：正方形ABCD中，MAN45°，MAN的兩邊分別交CB、DC于點(diǎn)

9、M、N。求證：BMDNMN?！纠?】如圖，正方形ABCD中，EAF45°，連接對(duì)角線(xiàn)BD交AE于M，交AF于N，證明：DN2BM2MN2 【例6】如圖，已知OAB和OCD是等邊三角形，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，AC和BO交于點(diǎn)F，連結(jié)BC。求AEB的大小。 【例7】如圖所示：ABC中，ACB90°，ACBC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AP3，CP2， BP1，求BPC的度數(shù)。本課總結(jié)問(wèn)題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件) 1圖中有相等的邊(等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形) 2這些相等的邊中存在共端點(diǎn)。3如果旋轉(zhuǎn)(將一條邊和另一條邊重合)，會(huì)

10、出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、被分割的特殊角。問(wèn)題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線(xiàn)模型：1大角夾半角2手拉手(尋找旋轉(zhuǎn)) 3被分割的特殊角測(cè)試題1如圖，P是正內(nèi)的一點(diǎn)，且BP是ABC的角平分線(xiàn)，若將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到，則的度數(shù)是( )A45°B60°C90°D120° 2如圖：ABC中，ABAC，BC為最大邊，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，BDCE，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BFCD，則下列正確的是( )ADFDE BDCDFCECEAD不確定3如圖，四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，ADDC，則下列正確的是( )ABD2AB

11、2BC2 BBD2AB2BC2CBD2AB2BC2 D不確定4已知中，于，AE為角平分線(xiàn)交CD于F，則圖中的直角三角形有( )A7個(gè)B6個(gè)C5個(gè)D4個(gè)5如圖，DAAB，EAAC，ADAB，AEAC，則下列正確的是( )ABCD6如圖，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)(不與A、C重合)，PEBC與點(diǎn)E，PFCD與點(diǎn)F，若四邊形PECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BE、DF，則下列一定正確的是( )ABPDPBBE2EC2BC2CBPDFDBEDF7如圖，等腰直角ADB與等腰直角AEC共點(diǎn)于，連結(jié)、，則下列一定正確的是( )ABEDCBADCECBECEDBECE8如圖，等邊三角形與等邊三角形

12、共點(diǎn)于，連接、，則的度數(shù)為( ) A45°B60° C90° D120° 9如圖，在四邊形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且。則下列一定正確的是( )A BC D10在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，則BAEDCF為( )A45°B60° C90°D120°五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個(gè)三角形中的線(xiàn)段或角相等. 在證明線(xiàn)段或角相等時(shí)，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個(gè)可能全等的三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等，最后得出結(jié)論下面介紹尋找全等三角形的幾種方法，供同學(xué)們參考一、利用公共

13、角例 1 如圖 1，AB AC, AE AF. 求證: B C.分析：要證明B C，只需證明BOECOF 或ABFACE. 而由圖形可知A 是公共角，又由已知條件 AB AC, AE AF,所以ABFACE，于是問(wèn)題獲證二、利用對(duì)頂角（題目中的隱含條件）例 2 如圖 2，B、E、F、D 在同一直線(xiàn)上，AB CD，BE DF，AE CF，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O求證： AO CO分析：要證明 AO CO，只需證明AOECOF 或AOBCOD 即可根據(jù)現(xiàn)有條件都無(wú)法直接證明而由已知條件 AB CD，BE DF, AE CF 可直接證明ABECDF，則 有AEBCFD，進(jìn)而有AEO CFO,再

14、 利 用 對(duì) 頂 角 相 等，即可 證 明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例 3 如圖 3，AB CD，AC BD求證：B C分析：設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) O，此時(shí)B 與C 分別在AOB和DOC 中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接證明這兩個(gè)三角形全等的，需添加輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造另一對(duì)全等三角形此時(shí)可以連接 AD，那么 AD是ABD 和DCA 的公共邊，這樣可以證明ABDDCA四、利用相等線(xiàn)段中的公共部分例 4 如圖 4，E、F 是平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC 上的兩點(diǎn)，AF CE. 求證：BEDF.分析：要證明 BEDF, 只需證明BEC DFA，此時(shí)可以轉(zhuǎn)換為證明AEB CFD,

15、進(jìn)而證明AEBCFD.五、利用等角中的公共部分例 5 如圖 5，已知E 30°，AB AD，AC AE，BAEDAC求C 的度數(shù)分析：已知E 30°，要求C，可考慮證明ABCADE,由BAE DAC,結(jié)合圖形可知BAC DAE，于是問(wèn)題獲解六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)：同角或等角的余角相等例 6 如圖 6，已知DCE 90°，DAC 90°，BEAC 于B, 且 DC EC, 能否找出與 AB+AD 相等的線(xiàn)段，并說(shuō)明理由分析：由于 AC AB+BC，可以猜想 AC AB+AD，或 BE AB+AD，此時(shí)只需證明 AD BC 即可而事實(shí)上，用同角的余角

16、相等可得到DCA E，從而證明ADCBCE，問(wèn)題獲證例7，如圖71，在正方形ABCD中，M,N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若BON=90°，求證：DNC CMB.變式：如圖72，在等邊ABC中，M,N分別是AC,AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若BON=60°，求證:ANCCMB七、利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）構(gòu)造全等三角形考點(diǎn)一：利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等例8，如圖8，點(diǎn)P是ABC的平分線(xiàn)BN上一點(diǎn)，PE垂直AB所在的直線(xiàn)與E,PF垂直BC所在的直線(xiàn)于F,PAB+PCB=180°。求證PA=PC.考點(diǎn)二：利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形所謂截長(zhǎng)法是指在較長(zhǎng)得到線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段等于較短線(xiàn)段，而補(bǔ)短法是指延長(zhǎng)較短的線(xiàn)段等于較長(zhǎng)的線(xiàn)段，通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短可把分散的條件相對(duì)集中，以便構(gòu)造全等三角形。例9，如圖9，在ABC中，C2B，12. 求證：AB=AC+CD. 分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在AB