與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題

1、與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題監(jiān)利縣第一初級中學(xué) 劉光杰QQ 1519819521一問題的引入：在學(xué)習(xí)了作軸對稱圖形之后，人教版八年級上冊P42，有這樣一個問題在這個問題中，利用軸對稱，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，等相關(guān)的知識，得到最短線段，這一類問題也是當(dāng)今中考的熱點題型。通常會以：直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為載體。本文試圖對這一類問題進(jìn)行分類，在每一類中有若干題型，且給出了基本的解答。若掌握了下面列舉的題型，讓學(xué)生能夠明白與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題在這些載體中的表現(xiàn)形式，則能收到舉一反三，事倍功半的效果。二數(shù)學(xué)模型

2、：1.如圖，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。2.如圖，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。3.如圖，點P是MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使PAB的周長最小為方便歸類，將以上三種情況統(tǒng)稱為“兩邊之和大于第三邊型”4.如圖，點P，Q為MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。為方便歸類，將這種情況稱為“兩點之間線段最短型”5.如圖，點A是MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小6. .如圖，點A是MON內(nèi)的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線O

3、M的距離之和最小為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”三.兩邊之和大于第三邊型(一)直線類1如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC10千米，BD30千米，且CD30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？作點B關(guān)于直線CD的對稱點B'，連接AB'，交CD于點M則AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點時，費用最小如右圖，在直角AB'E中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB'

4、; = 30所以：AB' = 50總費用為：50×3 = 150萬2如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長；(2)請問點C滿足什么條件時，ACCE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式+錯誤！未定義書簽。的最小值(1)AC = ，CE = 則AC+CE = + (2)A、C、E三點共線時AC+CE最小連接AE，交BD于點C，則AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角AEF中,AF = 5

5、 EF = 12 根據(jù)勾股定理 AE = 133求代數(shù)式（0x4）的最小值如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角AEF中AF = 3 EF = 4則AE = 5所以，這個代數(shù)式的最小值是5(二)角類4兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設(shè)為點P，如在兩條公路上各設(shè)置一個加油站，請你設(shè)計一個方案，把兩個加油站設(shè)在何處，可使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.分析 這是一個實際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在AOB內(nèi)部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關(guān)于直線OA

6、和OB的對稱點P1、P2 ，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說明. 解：分別做點P關(guān)于直線OA和OB的對稱點P1、P2，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，則C、D就是建加油站的位置.若取異于C、D兩點的點，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.點評：在這里沒有詳細(xì)說明為什么在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短，請同學(xué)們思考弄明白。5如圖AOB = 45°，P是AOB內(nèi)一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求PQR

7、周長的最小值分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點Q，R，連接OP1，OP2，則OP = OP1 = OP2 = 10且P1OP2 = 90°由勾股定理得P1P2 = 10(三)三角形類6如圖，等腰RtABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為 即在AC上作一點P，使PB+PE最小作點B關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點P，則B'E = PB'+PE = PB+PEB'E的長就是PB+PE的最小值在直角B'EF中，EF = 1，B'F =

8、3根據(jù)勾股定理，B'E = 7如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_。即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小作點C關(guān)于直線AB的對稱點C'，連接DC'交AB于點E，則線段DC'的長就是EC+ED的最小值。在直角DBC'中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=8等腰ABC中，A = 20°，AB = AC = 20，M、N分別是AB、AC上的點，求BN+MN+MC的最小值分別作點C、B關(guān)于AB、AC的對稱點C、B，連接CB交AB、AC于點M、N，則BN

9、+MN+MC = BN+MN+MC = BC， BN+MN+MC的最小值就是BC的值BAC = BAC，CAB = CABBAC = 60°AC = AC，AB = AB，AC = ABAC = ABABC是等邊三角形BC = 209如圖，在等邊ABC中，AB = 6，ADBC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值因為點C關(guān)于直線AD的對稱點是點B，所以連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小，過點B作BHAC于點H，則EH = AH AE = 3 2 = 1，BH = = = 3在直角BHE中，BE = = = 2(四)正方形類10如圖，正方形A

10、BCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為_。即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小故作點D關(guān)于AC的對稱點B，連接BM，交AC于點N。則DNBN線段的長就是DN的最小值在直角中，則故DN的最小值是11如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PDPE的和最小，則這個最小值為（）A2B2C3D即在AC上求一點P，使PE+PD的值最小點D關(guān)于直線AC的對稱點是點B，連接BE交AC于點P，則BE = PB+PE = PD+PE，BE的長就是PD+PE的最小值BE = AB = 212在邊長為2的

11、正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為_（結(jié)果不取近似值）.即在AC上求一點P，使PB+PQ的值最小因為點B關(guān)于AC的對稱點是D點，所以連接DQ，與AC的交點P就是滿足條件的點DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的長就是PB+PQ的最小值在直角CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2根據(jù)勾股定理，得，DQ = 13如圖，四邊形ABCD是正方形， AB = 10cm，E為邊BC的中點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；連接AE，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值在直角ABE中，求得AE的長為5(五)矩形類14如

12、圖，若四邊形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PD的最小值；作點C關(guān)于BD的對稱點C'，過點C'，作C'BBC，交BD于點P，則C'E就是PE+PC的最小值直角BCD中，CH = 錯誤！未定義書簽。直角BCH中，BH = 8BCC'的面積為：BH×CH = 160所以 C'E×BC = 2×160 則CE' = 16(六)菱形類15如圖，若四邊形ABCD是菱形， AB=10cm，ABC=45°，E為邊BC上的一個動點，P為

13、BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；點C關(guān)于BD的對稱點是點A，過點A作AEBC，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值在等腰EAB中，求得AE的長為5(七)直角梯形類16已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，APD中邊AP上的高為（ ）A、 B、 C、 D、3作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'D，交BC于點P則A'D = PA'+PD = PA+PDA'D的長就是PA+PD的最小值SAPD = 4在直角ABP中，AB = 4，BP = 1根據(jù)勾股定理，得AP =所以A

14、P上的高為：2×= (八)圓類17已知O的直徑CD為4，AOD的度數(shù)為60°，點B是的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值即是在直線CD上作一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于CD的對稱點A'，連接A'B，交CD于點P，則A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA'，OB，則A'OB=90°，OA' = OB = 4根據(jù)勾股定理，A'B = 418如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PAPB的最小值為

15、(    )A  2   B     C  1   D  2即在MN上求一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于MN的對稱點A'，連接A'B，交MN于點P，則點P就是所要作的點A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA'、OB，則OA'B是等腰直角三角形所以 A'B = (九)一次函數(shù)類19在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當(dāng)n =_時，AC + BC的值最小

16、點C（1，n），說明點C在直線x=1上，所以作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A'，連接A'B，交直線x=1于點C，則AC+BC的值最小設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)當(dāng)x = 1時，y = -(2/5)故當(dāng)n = -(2/5)時，AC+BC的值最小20一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PCPD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo)

17、(1)由題意得：0 = 2x+b4 = b解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x+4(2)作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'D，交y軸于點P則C'D = C'P+PD = PC+PDC'D就是PC+PD的最小值連接CD，則CD = 2，CC' = 2在直角C'CD中，根據(jù)勾股定理 C'D = 2求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1當(dāng)x = 0時，y =1，則P(0，1)21如圖，一次函數(shù) y =

18、與反比例函數(shù)y = 交于點A，AMx軸于點M，SOAM = 1(1)求k的值，(2)點B為雙曲線y = 上不與A重合的一點，且B(1，n)，在x軸上求一點P，使PA+PB最小(1)由SOAM = 1知，k = 2(2)作點A關(guān)于x軸的對稱點A，連接AB，交x軸于點P，連接PA，則PA+PB最小。用待定系數(shù)法求直線AB的解析式為y = - 3x + 5，因為點P在x軸上，所以設(shè) y = 0，即0 = - 3x + 5，解得 x = 所以P( ，0)22如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對稱點A的坐標(biāo)為（2，0），請在圖中分別標(biāo)明B（

19、5，3）、C（2，5）關(guān)于直線l的對稱點B、C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B 、C ；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點P的坐標(biāo)為 （不必證明）；運用與拓廣：（3）已知兩點D（1，3）、E（1，4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標(biāo)(1)點B(5，3)、C(-2，5)關(guān)于直線l的對稱點B'(3，5)、C'(5，-2)(2)坐標(biāo)平面內(nèi)任一點P(a，b)關(guān)于直線l的對稱點P'的坐標(biāo)為(b，a)(3)作點E關(guān)于直線l的對稱點E'，連接DE'，交直線

20、l于點Q則QE+QD的值最小設(shè)直線DE'的解析式為：y = kx+b，因為D(1，-3)、E'(-4,-1)，則-3 = k+b-1 = -4k+b解得：k = - ，b = - 所以 y = - x - 當(dāng)x = y時，有x = y = - 則Q點的坐標(biāo)為(- ，- )(十)二次函數(shù)類23如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最??？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（注意

21、：本題中的結(jié)果均保留根號）(1)B(1，)(2) (3)因為點O關(guān)于對稱軸的對稱點是點A，則連接AB，交對稱軸于點C，則BOC的周長最小，當(dāng)x=-1時，y = 所以C(-1，)24如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的坐標(biāo)為 (1，- )，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C(0，- )（1）求拋物線的表達(dá)式（2）把ABC繞AB的中點E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(3)作點B關(guān)于AC的對稱點G，連接DG，交AC于點F，則FBD的周長最小因為

22、CFBD，CG = ，所以F()25如圖，拋物線yx2bx2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(1，0)（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點M(m,0)是x軸上的一個動點，當(dāng)MCMD的值最小時，求m的值(1) y =  (3)作點C關(guān)于x軸的對稱點C，連接CD，交x軸于點M，則MC+MD的值最小，求出直線CD的解析式，即可得到M點的坐標(biāo)方法點撥：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，但都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建泵站問題”的數(shù)學(xué)模型，再通過找定直線

23、的對稱點把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)換為異側(cè)線段和，利用“兩點之間線段最短”，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建泵站問題”。26如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為直線l上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)AD+CD最小時點D的坐標(biāo)；(3)以點A為圓心，以AD為半徑作圓A；證明：當(dāng)AD+CD最小時，直線BD與圓A相切；寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標(biāo)。(2)連接BC，交直線l于點D，則DA+DC = DB+DC =

24、 BC，BC的長就是AD+DC的最小值BC：y = -x + 3則直線BC與直線x = 1的交點D(1，2)，27如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點A（-1， 0）和點B（0，-5）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得ABP的周長最小請求出點P的坐標(biāo)(1) y = x2 4x - 5(2)BC：y = x - 5P(2，-3)28已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上關(guān)于y軸對稱的拋物線yax2bxc經(jīng)過A、D(3，2)、P三點，且點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上(1)求直線BC的解析式；

25、(2)求拋物線yax2bxc的解析式及點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)M是y軸上的一個動點，求PMCM的取值范圍(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，在直角ACO中 OA = 1，AC = 2根據(jù)勾股定理，得 OC = 故C(，0)設(shè)直線BC的解析式為y = kx+b，則3 = b0 = +b解得 k = - ，b = 3(2)因為拋物線關(guān)于y軸對稱，所以設(shè)拋物線的解析式為y = ax2+c，則1 = c-2 = 9a+c解得 a = - ， c = 1在直角ACO中 AC= 2 ，OA = 1，則 ACO = 30°在直角BCO中 OC = ，OB = 3，則BCO = 6

26、0°所以CA是BCO的角平分線即直線BC和x軸關(guān)于直線AC對稱因為點P關(guān)于直線AC的對稱點在軸上故點P應(yīng)在直線BC和拋物線上，則有方程組y = -+ 3y = - + 1解得 x1 = y1= 0 x2 =2 y2 = -3所以 P(，0)，或(2，-3) (3)當(dāng)點M在y軸上運動時，PM+CM沒有最大值，只有最小值，所以求PM+CM的取值范圍，就是要求PM+CM的最小值當(dāng)點P與點C重合時，即（，）點M在原點，PM+CM的值最小，PM+CM = 2所以 PM+CM 2當(dāng)點P(2，-3)時作點C關(guān)于y 軸的對稱點E，過點P作x軸的垂線，垂足為F在直角EFP中，EF = 3，PF = 3

27、根據(jù)勾股定理，得EP = 6所以PM+CM的最小值是6，則 PM+CM 629如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標(biāo)分別為A(4，0)、C(0，2)，D為OA的中點設(shè)點P是AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；（2）當(dāng)點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；（3）設(shè)點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點P運動到何處時，PDE的周長最?。壳蟪龃藭r點P的坐標(biāo)和PDE的周長；（4）設(shè)點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使CPN = 90°？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo) (1)OCPODP(2)過

28、點B作AOC的平分線的垂線于點P，點P即為所求過點P作PMBC于點M，則 PM = = 1所以點P的縱坐標(biāo)為3，又因為點P在AOC的平分線上，則P(3，3)因為拋物線過原點，故設(shè) y = ax2 + bx又拋物線經(jīng)過點P(3，3)，D(2，0)所以解得 a = 1，b = -2則拋物線的解析式為 y = x2 2x(3)點D關(guān)于AOC的平分線的對稱點是點C，連接CE交OF于點P，則PDE的周長最小拋物線的解析式為 y = x2 2x的頂點E(1，-1)，C(0，2)設(shè)直線CE的解析式為y = kx+b，則解得 k = -3，b = 2直線CE的解析式為y = -3x+2點P的坐標(biāo)滿足解得 x

29、= ,y = 所以P(，)PDE的周長即是CE + DE = + (4)存在這樣的點P，使CPN = 90°，坐標(biāo)是(，)或(2，2)30已知：拋物線y = ax2+bx+c(a0)的對稱軸為x = -1，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A(-3，0)、C(0，-2)（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得PBC的周長最小請求出點P的坐標(biāo)（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）過點D作DEPC交x軸于點E，連接PD、PE設(shè)CD的長為m，PDE的面積為S求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請

30、說明理由(1)由題意得 解得 a =，b = ，c = - 2拋物線的解析式為 y = (2)點B關(guān)于對稱軸的對稱點是點A，連接AC交對稱軸于點P，則PBC的周長最小設(shè)直線AC的解析式為 y = kx +b，因為A(-3，0)，C(0，-2)，則解得 k = ，b = -2所以直線AC的解析式為 y = x 2把x = -1代入得y = ，所以P(-1，)(3)S存在最大值DEPC，即OE = 3 - ，AE = OAOE = 方法一，連接OPS = S四邊形PDOE SOED = SPOE + SPOD SOED = + - = = 所以，當(dāng)m = 1時，S最大 = 方法二，S = SOAC

31、 SAEP SOED SPCD = = (十一)建橋選址類31如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？ 作法：設(shè)a、b的距離為r。 把點B豎直向上平移r個單位得到點B'； 連接AB'，交a于C；過C作CDb于D； 連接AC、BD。 證明：BB'CD且BB'CD， 四邊形BB'CD是平行四邊形，CB'BD ACCDDBACCB'B'BAB'B'B 在a上任取一點C'，作C'D'，連接AC'

32、、D'B，C'B' 同理可得AC'C'D'D'BAC'C'B'B'B 而AC'C'B'>A B'ACCDDB最短。本題是研究ACCDDB最短時的C、D的取法，而是定值，所以問題集中在研究ACDB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B1C處，則ACDB可轉(zhuǎn)化為ACCB'，要使ACCB'最短，顯然，A、C、B'三點要在同一條直線上。32如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短

33、？作法：(假設(shè)P'Q'就是在直線L上移動的定長線段)1)過點B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB',使它等于定長P'Q'；2)作出點A關(guān)于直線L的對稱點A'，連接A'B'，交直線L于P；3)在直線L上截取線段PQ=P'Q.則此時AP+PQ+BQ最小.略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊形PQBB'與P'Q'BB'均為平行四邊形.下面只要說明AP+BQ<AP'+BQ' 即可.點A與A'關(guān)于直線L對稱，則AP=A'

34、P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B' AP'+BQ'=A'P'+B'P'.顯然,A'B'<A'P'+B'P'；(三角形三邊關(guān)系)即AP+BQ<AP'+BQ'.33如圖，護(hù)城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD，EE，設(shè)護(hù)城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計兩座橋梁DD，EE的位置，使由A地經(jīng)過兩座橋梁后到B地的路程最

35、短？最短路程是多少？如圖，作BBa，AA b，且BB = 4，AA = 4，連接AB，交河岸于點E，D，分別過點E、D架設(shè)橋梁DD，EE，則ADDEEB是最短路線。因為四邊形ADDA、四邊形BEEB都是平行四邊形，所以BE = BE，AD = AD，因為A，B之間線段最短，所以ADDEEB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以BF = 60，AF = 80，在直角三角形ABF中，由勾股定理得，AB = 100，所以最短路線為108米34如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線y = ax2上(1)求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短

36、，求出點Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線y = ax2，記平移后點A的對應(yīng)點為A，點B的對應(yīng)點為B，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，AC+CB 最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形ABCD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由(1)直線AP的解析式為：y = - x + 則Q的坐標(biāo)為（，0）(2) 解法一：CQ = |- 2 - | = 則拋物線 y = x2向左移動個單位時，AC+BC最短拋物線的解析式為：y = （x+）2解法二：將拋物線 y = x2向左移動m個單位，

37、則A( - 4-m，8)，B(2-m，2)，點A關(guān)于x軸的對稱點是A(-4-m，-8)，直線AB的解析式為：y = x + m - 要使AC+BC最短，則點C應(yīng)在直線AB上，將點C(-2，0)的坐標(biāo)代入到直線AB的解析式，得m = 則拋物線 y = x2向左移動個單位時，AC+BC最短拋物線的解析式為：y = （x+）2(2) 拋物線向左或向右平移時，使四邊形ABCD的周長最短，因為AB + CD 是定值，只要使AD + BC最短即可當(dāng)拋物線向右移動時，因為AD > AD，BC > BC，所以AD + BC > AD + BC，則在不存在一個向右的位置，使四邊形ABCD的周長

38、最短當(dāng)拋物線向左移動時，設(shè)A(-4-a，8)，B(2-a，2)，因為CD = 2，則將點B向左平移2個單位得到點B(-a，2).點A關(guān)于x軸的對稱點是A(-4-a，-8)，直線AB的解析式為：y = x + m + 2要使AD + BD最短，點D應(yīng)在直線AB上將點D(-4，0)的坐標(biāo)代入到直線AB的解析式，得m = 故將拋物線向左平移時，否存在一個位置，使四邊形ABCD的周長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為y = （x+）2提示： 方法一，A關(guān)于x軸對稱點A，要使AC+CB最短，點C應(yīng)在直線AB上； 方法二，由（1）知，此時事實上，點Q移到點C位置，求CQ=145，即拋物線左移145單位；設(shè)拋物

39、線左移b個單位，則A（-4-b，8）、B（2-b，2）。CD=2，B左移2個單位得到B（-b，2）位置，要使AD+C B最短，只要AD+DB最短。則只有點D在直線AB上。(十二)立體圖形35桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點關(guān)于杯口的對稱點A。則BA=15厘米36一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點處尋找食物，已知點A到桶口的距離AC為12cm，點B到桶口的距離

40、BD為8cm，CD的長為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？展開圖如右圖所示，作點B關(guān)于CD的對稱點B，連接AB，交CD于點P，則螞蟻爬行路線APB為最短，且AP+PB = AB+PB，在直角AEB中，AE = CD = 12，EB = ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB = 25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm四.兩點之間線段最短型37恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客小民設(shè)計

41、了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關(guān)于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大小；（2）請你說明的值為最?。唬?）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值提示：涉及勾股定理、點對稱、設(shè)計方案。 第（3）問是“三折線”轉(zhuǎn)“直”問題 。 再思考-設(shè)計路線要根據(jù)需要設(shè)計，是P處分別往A、B兩處送呢，還是可以先送到A接著送到B。本題是對所給方案進(jìn)行分析，似乎還容易一些，若要你

42、設(shè)計方案，還需考慮一個方案路線，PAB。(1)在圖(1)中過點A作ACBQ于點C，則BC = BQ-CQ = 40-10= 30，AB= 40，在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得AC = 40，所以PQ = 40在RtBPQ中，根據(jù)勾股定理，得PB = 40所以S1= PA+PB = 10+40在圖(2)中S1 = A'B = PA+PB = = = 10(2)如圖(2)在EA'B中，有EB+EA'>A'B因為S1= EB+EA'，S2= A'B 所以S1> S2(3)如圖(3)分別作點A、B關(guān)于x軸、y軸的對稱點A'，B

43、9;，連接A'B'，交x軸、y軸于點P、Q，則四邊形PABQ的周長最小構(gòu)造如圖在RtA'B'C中，B'C = 30+30+40 = 100， A'C = 10 +40 =50所以A'B' = =5038如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當(dāng)M點在何處時，AMCM的值最??；當(dāng)M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.(2)連接AC，交BD于

44、點M，則AM+CM的值最小連接CE交BD于點M，則AM+BM+CM的值最小AM=EN，BM=NM，AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短(3)過點E作CB的延長線的垂線，垂足為F設(shè)正方形ABCD的邊長為2x則在直角BEF中，EBF=30°，所以，EF=x，根據(jù)勾股定理：BF= 在直角CEF中，根據(jù)勾股定理： CE2 = EF2 + FC2得方程： 解得：x = 所以：2x = 分析：本題在最短矩離這一問題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合考查學(xué)生幾何、代數(shù)知識的運用能力。整個過程充分顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的一般過程：認(rèn)知論證應(yīng)用

45、。本題的難點在距離最小。第一小問設(shè)計由簡單的三角形全等的證明讓學(xué)生得出邊之間的相等關(guān)系，這里隱藏著由旋轉(zhuǎn)角60°得出的等邊三角形，從而得出BM=MN；第二小問設(shè)計的是一個探究過程，讓學(xué)生綜合學(xué)習(xí)過的基本數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探索，看學(xué)生對“兩點之間，線段最短”的掌握，要求學(xué)生具備轉(zhuǎn)化能力，建模能力等；第三小問的設(shè)計主要是將所探究的結(jié)論進(jìn)行運用，拓展，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想理念。整個過程體現(xiàn)了特殊問題中的一般規(guī)律，是數(shù)學(xué)知識和問題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考壓軸題的基本模型。五.垂線段最短型39如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45°，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別

46、是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是_作點B關(guān)于AD的對稱點B'，過點B'作B'EAB于點E，交AD于點F，則線段B'E的長就是BM的最小值在等腰RtAEB'中，根據(jù)勾股定理得到，B'E = 440如圖，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值 作AB關(guān)于AC的對稱線段AB'，過點B'作B'NAB，垂足為N，交AC于點M，則B'N = MB'+MN = MB+MNB'N的長就是MB+MN的最小值則B'AN = 2

47、BAC= 60°，AB' = AB = 2，ANB'= 90°，B' = 30°。所以AN = 1在直角AB'N中，根據(jù)勾股定理B'N = 41某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計），點M表示這所中學(xué)。點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的km處。為使

48、供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請你在圖中，畫出鋪設(shè)到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值。綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？方案一點M到甲村的最小距離是MB，MB=3，點M到乙村的最小距離是MD，MD=2，所以，最小值是3+2方案二作點M關(guān)于OE的對稱點M'，連接AM

49、'，交CD于點P，則PA+PM = PA+PM' = AM'，AM'的長就是點P到A點和M點的距離之和的最小值.在RtAMM'中，用勾股定理求得AM' = 4方案三作點M關(guān)于OF的對稱點M'，過點M'作M'HOE于點H，交OF于點P、交AM于點GGM = 3，HE = 3，DE = 3，H與D重合在RtHM'M中，M'H = 2DH = 442已知拋物線y = ax2 + bx + c經(jīng)過A（- 4，3）、B（2，0）兩點，當(dāng)x = 3和x = - 3時，這條拋物線上對應(yīng)點的縱坐標(biāo)相等，經(jīng)過點C（0，-2）

50、的直線l與X軸平行，O為坐標(biāo)原點。（1）求直線AB和這條拋物線的解析式：（2）以A為圓心、AO為半徑的圓記為圓A，判斷直線l與圓A的位置關(guān)系，并說明理由（3）設(shè)直線AB上的點D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n) 是拋物線 y = ax2 + bx +c上的動點，當(dāng)PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積。(1) AB：y = + 1，拋物線：y = (2) AO= 5，點A到直線l 的距離這3+2 = 5，所以，直線l與圓A相切(3) D(-1，)，過點P作PHl，垂足為H，延長HP交x軸于點G，設(shè)P(m，n)，則yp = OP2 = OG2 + GP2 = m2 + ()2 =( )2，OP =

51、 PH = yp yH = (-2) = OP = PH要使PDO的周長最小，因為OD是定值，所以只要OP+PD最小，OP = PH，只要PH+PD最小根據(jù)“直線外一點到這條直線上訓(xùn)點的連線中，垂線段最短”，可知，當(dāng)點D、P、H三點共線時，PH+PD最小因此，當(dāng)點D、P、H三點共線時，PDO的周長最小43如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在X軸上，D在Y軸上，ABCD，AB=5，CD=3，AD=BC= ，拋物線y = - x2 + bx + c過A、B兩點。（1）直接寫出點A、B、C、D的坐標(biāo)及拋物線的解析式。（2）設(shè)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，它到x軸與y軸的距離之和為 d ，求 d 的最大值。（3）當(dāng)（2）中的M點運動到d取最大值時，記此時的點M為點N，設(shè)線段AC與y軸交于點E，F(xiàn)為線段EC上一動點，求F點到點與它到y(tǒng)軸的距離之和的最小值。(1) y = - x2 + 3x +4(2)設(shè)M(a，-a2+3a+4)，則d = a a2 + 3a + 4 = -(a - 2)2 + 8