二次函數(shù)與相似三角形

1、讓我們一起為了孩子的進(jìn)步而努力！納思書院Nice Education 教師姓名朱曙光學(xué)科數(shù)學(xué)上課時間學(xué)生姓名年級學(xué)校課題名稱二次函數(shù)與相似三角形教學(xué)目標(biāo)1、 強(qiáng)化二次函數(shù)與相似三角形的知識應(yīng)用2、 提高綜合知識的應(yīng)用能力教學(xué)重點 難點了解二次函數(shù)與相似三角形的題型及解題技巧課前檢查作業(yè)完成情況：優(yōu) 良 中 差教學(xué)過程一、引入例題如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP

2、與OAB相似？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點時應(yīng)以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況二、解題方法及切入點 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)

3、先設(shè)所求點的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 三、例題講解練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？分析總結(jié)：練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知

4、折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED分析總結(jié)：練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標(biāo)為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點的坐標(biāo)；

5、若不存在，請說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標(biāo)的取值范圍O分析總結(jié)：練習(xí)4 如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標(biāo)；否則，請說明理由分析總結(jié)：練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點的坐標(biāo)分別為，（1）求過點的直線的函數(shù)表達(dá)

6、式；點，（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由ACOBxy分析總結(jié)：四、課堂小結(jié)二次函數(shù)為背景即在平面直角坐標(biāo)系中，通常是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在求點的坐標(biāo)過程中需要用到相似三角形的一些性質(zhì)，如何利用條件找到合適相似三角形是需要重點突破的難點。其實破解難點以后不難發(fā)現(xiàn)，若是直角三角形相似無非是如圖1-1的幾種基本型。若是非直角三角形有如圖1-2的幾種基本型。 利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建議方程求解都是常用的方法。五、課后鞏固1、已知

7、拋物線的頂點為A(2，1)，且經(jīng)過原點O，與x軸的另一交點為B。(1)求拋物線的解析式；(2)若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標(biāo)；AABBOOxxyy圖圖(3)連接OA、AB，如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。2、已知拋物線經(jīng)過點A（5，0）、B（6，-6）和原點.xyF-2-4-6ACEPDB521246G（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若過點B的直線與拋物線相交于點C（2，m），請求出OBC的面積S的值.（3）過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D

8、，在拋物線對稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E. 直線PF與直線DC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 3、如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上求點M，使MOB的面積是AOB面積的3倍；（3）連結(jié)OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使OBN與OAB相似？若存在，求出N點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由yxOAB 參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過

9、原點，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 圖2設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A點,顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP

10、中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似. 練習(xí)1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時，即為點，所以得要使，則有，即解之得，當(dāng)時，即為點，當(dāng)時，所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標(biāo)為（3）在中，因為所以當(dāng)點的坐標(biāo)為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，又因為，所以練習(xí)2解：（1）與相似。Oxy圖1CBED312A理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則

11、AD=4t。圖2OxyCBEDPMGlNAF由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標(biāo)為（0，8），點E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似在中，令，則由，解得yxBEAOCD令，得設(shè)過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為要使或，已有

12、，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點的坐標(biāo)為將點的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點的坐標(biāo)為將點的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點的坐標(biāo)為，并代入，得解得（不合題意，舍去）xBEAOCP·點的坐標(biāo)為此時，銳

13、角又二次函數(shù)的對稱軸為，點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角；當(dāng)時，銳角練習(xí)四圖1CPByA解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACMG軸于點G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設(shè)M點的橫坐標(biāo)為，則M 點M在軸左側(cè)時，則GM圖2CByPA() 當(dāng)AMG PCA時，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)MAG PCA時有=即 解得：（舍去） GM圖3CByPAM 點M在軸右側(cè)時，則 () 當(dāng)AMG PCA時有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當(dāng)M