高考講壇極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略與探究

1、 .wd.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略及探究 所謂極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱性。假設(shè)函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于,兩點(diǎn)，那么的中點(diǎn)為，而往往.如下列圖所示.極值點(diǎn)沒(méi)有偏移此類問(wèn)題在近幾年高考及各種?？?，作為熱點(diǎn)以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對(duì)待此類問(wèn)題經(jīng)常是束手無(wú)策。而且此類問(wèn)題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)的又該如何解決，參數(shù)如何來(lái)處理？是否有更方便的方法來(lái)解決？其實(shí)，處理的手段有很多，方法也就有很多，我們先來(lái)看看此類問(wèn)題的根本特征，再?gòu)膸讉€(gè)典型問(wèn)題來(lái)逐一探索！【問(wèn)題特征】

2、【處理策略】1、 不含參數(shù)的問(wèn)題.例1.2010天津理函數(shù) ，如果，且 ，證明：【解析】法一：，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，時(shí)， 函數(shù)在處取得極大值，且,如下圖.由，不妨設(shè)，那么必有，構(gòu)造函數(shù)，那么，所以在上單調(diào)遞增，也即對(duì)恒成立.由，那么，所以，即，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，即證法二：欲證，即證，由法一知，故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故只需證，又因?yàn)?，故也即證，構(gòu)造函數(shù)，那么等價(jià)于證明對(duì)恒成立.由，那么在上單調(diào)遞增，所以，即已證明對(duì)恒成立，故原不等式亦成立.法三：由，得，化簡(jiǎn)得，不妨設(shè)，由法一知，.令，那么，代入式，得，反解出，那么，故要證：，即證：，又因?yàn)?，等價(jià)于證明：，構(gòu)造函數(shù)，

3、那么，故在上單調(diào)遞增，從而也在上單調(diào)遞增，即證式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中式，兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)，得，也即，從而，令，那么欲證：，等價(jià)于證明：，構(gòu)造，那么，又令，那么，由于對(duì)恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，由洛比塔法那么知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】以上四種方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁?，方法一、二利用?gòu)造新的函數(shù)來(lái)到達(dá)消元的目的，方法三、四那么是利用構(gòu)造新的變?cè)瑢蓚€(gè)舊的變?cè)紦Q成新變?cè)獊?lái)表示，從而到達(dá)消元的目的.2、 含參數(shù)的問(wèn)題.例2.函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【解析】思路1：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程的

4、兩個(gè)實(shí)根，從而這一問(wèn)題與例1完全等價(jià)，例1的四種方法全都可以用；思路2：也可以利用參數(shù)這個(gè)媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 所以， 由得：，要證明，只要證明， 由得：，即， 即證：， 不妨設(shè)，記，那么， 因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得在遞增，所以，因此原不等式獲證.【點(diǎn)評(píng)】含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)母咨?，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切方法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù)。例3.函數(shù)，為常數(shù)，假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試證明：【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無(wú)參數(shù)問(wèn)題：，是方程的兩

5、根，也是方程的兩根，那么是，設(shè)，那么，從而，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例1，下略.法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)： 不妨設(shè)，欲證明，即證.，即證，原命題等價(jià)于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，那么，反解出：，故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.例4.設(shè)函數(shù)，其圖像與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：.【解析】由，易知：的取值范圍為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略；法二：將舊變?cè)D(zhuǎn)換成新變?cè)簝墒较鄿p得：，記，那么，設(shè)，那么，所以在上單調(diào)遞減，故,而，所以，又是上的遞增函數(shù)，且，.容易想到，但卻是錯(cuò)解的過(guò)程：欲證：，即要證：，

6、亦要證，也即證：，很自然會(huì)想到：對(duì)兩式相乘得：，即證：.考慮用根本不等式，也即只要證：.由于.當(dāng)取將得到，從而.而二元一次不等式對(duì)任意不恒成立，故此法錯(cuò)誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失??？?jī)墒较鄿p的思想根底是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路? 【解決】此題及很多類似的問(wèn)題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù)滿足如下條件：（1） 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，即得到羅爾中值定理.上述問(wèn)題即對(duì)應(yīng)于羅爾中值定理，設(shè)函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，因此，由于，顯然與，與不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過(guò)程中范圍發(fā)生了改變.例

7、5.11年，遼寧理函數(shù)I討論的單調(diào)性；II設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；III假設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【解析】I易得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.II法一：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明，方法上同，略；法二：構(gòu)造以為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，那么，由，解得，當(dāng)時(shí)，而， 所以，故當(dāng)時(shí)，.III由I知，只有當(dāng)時(shí)，且的最大值，函數(shù)才會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，那么，故，由II得：，又由在上單調(diào)遞減，所以，于是，由I知，.【問(wèn)題的進(jìn)一步探究】對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：此式記為對(duì)數(shù)平均不等式取等條件：當(dāng)且僅

8、當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)時(shí)，.不失一般性，可設(shè).證明如下：I先證：不等式構(gòu)造函數(shù)，那么.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；II再證：不等式構(gòu)造函數(shù)，那么.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合III知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.前面例題用對(duì)數(shù)平均不等式解決例1.2010天津理函數(shù) ，如果，且 ，證明：【解析】法五：由前述方法四，可得，利用對(duì)數(shù)平均不等式得：，即證：，秒證.說(shuō)明：由于例2，例3最終可等價(jià)轉(zhuǎn)化成例1的形式，故此處對(duì)數(shù)平均不等式的方法省略.例4.設(shè)函數(shù)，其圖像與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式兩邊取以

9、為底的對(duì)數(shù)，得，化簡(jiǎn)得：，由對(duì)數(shù)平均不等式知：，即，故要證，而顯然成立，故原問(wèn)題得證.例5.11年，遼寧理函數(shù)I討論的單調(diào)性；II設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；III假設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【解析】III略，III由故要證.根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證.【挑戰(zhàn)今年高考?jí)狠S題】2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證明：.【解析】由，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么必須.法一：構(gòu)造局部對(duì)稱函數(shù)不妨設(shè)，由單調(diào)性知，所以，又在單調(diào)遞減，故要證：，等價(jià)于證明：，又，且，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證，此處略.法二：參變別離再構(gòu)造差量函數(shù)由得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：設(shè)，那么那么，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，那么，故單調(diào)遞增，有因此，對(duì)于任意的，由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，那么必有令，那么有而，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：法三：參變別離再構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)由法二，得，構(gòu)造，利用單調(diào)性可證，此處略.法四：構(gòu)造加強(qiáng)函數(shù)【分析說(shuō)明】由于原函數(shù)的不對(duì)稱，故希望構(gòu)造一個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，易證原不等式