高考講壇極值點偏移問題的處理策略與探究

1、 .wd.極值點偏移問題的處理策略及探究 所謂極值點偏移問題，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖像沒有對稱性。假設函數在處取得極值，且函數與直線交于,兩點，那么的中點為，而往往.如下列圖所示.極值點沒有偏移此類問題在近幾年高考及各種模考，作為熱點以壓軸題的形式給出，很多學生對待此類問題經常是束手無策。而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數的，而更多的題型又是含有參數的。不含參數的如何解決？含參數的又該如何解決，參數如何來處理？是否有更方便的方法來解決？其實，處理的手段有很多，方法也就有很多，我們先來看看此類問題的根本特征，再從幾個典型問題來逐一探索！【問題特征】

2、【處理策略】1、 不含參數的問題.例1.2010天津理函數 ，如果，且 ，證明：【解析】法一：，易得在上單調遞增，在上單調遞減，時，時， 函數在處取得極大值，且,如下圖.由，不妨設，那么必有，構造函數，那么，所以在上單調遞增，也即對恒成立.由，那么，所以，即，又因為，且在上單調遞減，所以，即證法二：欲證，即證，由法一知，故，又因為在上單調遞減，故只需證，又因為，故也即證，構造函數，那么等價于證明對恒成立.由，那么在上單調遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式亦成立.法三：由，得，化簡得，不妨設，由法一知，.令，那么，代入式，得，反解出，那么，故要證：，即證：，又因為，等價于證明：，構造函數，

3、那么，故在上單調遞增，從而也在上單調遞增，即證式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中式，兩邊同時取以為底的對數，得，也即，從而，令，那么欲證：，等價于證明：，構造，那么，又令，那么，由于對恒成立，故，在上單調遞增，所以，從而，故在上單調遞增，由洛比塔法那么知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉化為單變元不等式，方法一、二利用構造新的函數來到達消元的目的，方法三、四那么是利用構造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而到達消元的目的.2、 含參數的問題.例2.函數有兩個不同的零點，求證：.【解析】思路1：函數的兩個零點，等價于方程的

4、兩個實根，從而這一問題與例1完全等價，例1的四種方法全都可以用；思路2：也可以利用參數這個媒介去構造出新的函數.解答如下：因為函數有兩個零點， 所以， 由得：，要證明，只要證明， 由得：，即， 即證：， 不妨設，記，那么， 因此只要證明：，再次換元令，即證構造新函數，求導，得在遞增，所以，因此原不等式獲證.【點評】含參數的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的根底上，又多了一個參數，故思路很自然的就會想到：想盡一切方法消去參數，從而轉化成不含參數的問題去解決；或者以參數為媒介，構造出一個變元的新的函數。例3.函數，為常數，假設函數有兩個零點，試證明：【解析】法一：消參轉化成無參數問題：，是方程的兩

5、根，也是方程的兩根，那么是，設，那么，從而，此問題等價轉化成為例1，下略.法二：利用參數作為媒介，換元后構造新函數： 不妨設，欲證明，即證.，即證，原命題等價于證明，即證：，令，構造，此問題等價轉化成為例2中思路二的解答，下略.法三：直接換元構造新函數：設，那么，反解出：，故，轉化成法二，下同，略.例4.設函數，其圖像與軸交于兩點，且.證明：.【解析】由，易知：的取值范圍為，在上單調遞減，在上單調遞增.法一：利用通法構造新函數，略；法二：將舊變元轉換成新變元：兩式相減得：，記，那么，設，那么，所以在上單調遞減，故,而，所以，又是上的遞增函數，且，.容易想到，但卻是錯解的過程：欲證：，即要證：，

6、亦要證，也即證：，很自然會想到：對兩式相乘得：，即證：.考慮用根本不等式，也即只要證：.由于.當取將得到，從而.而二元一次不等式對任意不恒成立，故此法錯誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失敗？兩式相減的思想根底是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路? 【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數學背景.拉格朗日中值定理：假設函數滿足如下條件：（1） 函數在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 函數在開區(qū)間內可導，那么在內至少存在一點，使得.當時，即得到羅爾中值定理.上述問題即對應于羅爾中值定理，設函數圖像與軸交于兩點，因此，由于，顯然與，與不是充要關系，轉化的過程中范圍發(fā)生了改變.例

7、5.11年，遼寧理函數I討論的單調性；II設，證明：當時，；III假設函數的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.【解析】I易得：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.II法一：構造函數，利用函數單調性證明，方法上同，略；法二：構造以為主元的函數，設函數，那么，由，解得，當時，而， 所以，故當時，.III由I知，只有當時，且的最大值，函數才會有兩個零點，不妨設，那么，故，由II得：，又由在上單調遞減，所以，于是，由I知，.【問題的進一步探究】對數平均不等式的介紹與證明兩個正數和的對數平均定義：對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：此式記為對數平均不等式取等條件：當且僅

8、當時，等號成立.只證：當時，.不失一般性，可設.證明如下：I先證：不等式構造函數，那么.因為時，所以函數在上單調遞減，故，從而不等式成立；II再證：不等式構造函數，那么.因為時，所以函數在上單調遞增，故，從而不等式成立；綜合III知，對，都有對數平均不等式成立，當且僅當時，等號成立.前面例題用對數平均不等式解決例1.2010天津理函數 ，如果，且 ，證明：【解析】法五：由前述方法四，可得，利用對數平均不等式得：，即證：，秒證.說明：由于例2，例3最終可等價轉化成例1的形式，故此處對數平均不等式的方法省略.例4.設函數，其圖像與軸交于兩點，且.證明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式兩邊取以

9、為底的對數，得，化簡得：，由對數平均不等式知：，即，故要證，而顯然成立，故原問題得證.例5.11年，遼寧理函數I討論的單調性；II設，證明：當時，；III假設函數的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.【解析】III略，III由故要證.根據對數平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證.【挑戰(zhàn)今年高考壓軸題】2016年新課標I卷理數壓軸21題函數有兩個零點.證明：.【解析】由，得，可知在上單調遞減，在上單調遞增.要使函數有兩個零點，那么必須.法一：構造局部對稱函數不妨設，由單調性知，所以，又在單調遞減，故要證：，等價于證明：，又，且，構造函數，由單調性可證，此處略.法二：參變別離再構造差量函數由得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：設，那么那么，當時，單調遞減；當時，單調遞增設，構造代數式：設，那么，故單調遞增，有因此，對于任意的，由可知、不可能在的同一個單調區(qū)間上，不妨設，那么必有令，那么有而，在上單調遞增，因此：整理得：法三：參變別離再構造對稱函數由法二，得，構造，利用單調性可證，此處略.法四：構造加強函數【分析說明】由于原函數的不對稱，故希望構造一個關于直線對稱的函數，使得當時，當時，結合圖像，易證原不等式