八年級上學期期末復(fù)習試卷(代數(shù)幾何壓軸題)

1、班級： 姓名：_座號：_ 密 封 線 正興學校20152016學年八年級上學期期末復(fù)習清北班數(shù)學科試題（幾何壓軸題） 1定義：三邊長和面積都是整數(shù)的三角形稱為“整數(shù)三角形”數(shù)學學習小組的同學從32根等長的火柴棒（每根長度記為1個單位）中取出若干根，首尾依次相接組成三角形，進行探究活動小亮用12根火柴棒，擺成如圖所示的“整數(shù)三角形”；小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”；小輝受到小亮、小穎的啟發(fā)，分別擺出三個不同的等腰“整數(shù)三角形”（1）請你畫出小穎和小輝擺出的“整數(shù)三角形”的示意圖；（2）你能否也從中取出若干根，按下列要求擺出“整數(shù)三角形”，如果能，請畫出示意圖；如果不能，請說

2、明理由擺出等邊“整數(shù)三角形”；擺出一個非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整數(shù)三角形”【解答】解：（1）小穎擺出如圖1所示的“整數(shù)三角形”：小輝擺出如圖2所示三個不同的等腰“整數(shù)三角形”：（2）不能擺出等邊“整數(shù)三角形”理由如下：設(shè)等邊三角形的邊長為a，則等邊三角形面積為因為，若邊長a為整數(shù)，那么面積一定非整數(shù)所以不存在等邊“整數(shù)三角形”；能擺出如圖3所示一個非特殊“整數(shù)三角形”：2（2008江西）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處；（1）求證：BE=BF；（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關(guān)系，并給予證明【解答】

3、（1）證明：由題意得BF=BF，BFE=BFE，在矩形ABCD中，ADBC，BEF=BFE，BFE=B'EF，BF=BE，BE=BF；（2）答：a，b，c三者關(guān)系不唯一，有兩種可能情況：（）a，b，c三者存在的關(guān)系是a2+b2=c2證明：連接BE，由（1）知BE=BF=c，BE=BE，四邊形BEBF是平行四邊形，BE=c在ABE中，A=90°，AE2+AB2=BE2，AE=a，AB=b，a2+b2=c2；（）a，b，c三者存在的關(guān)系是a+bc證明：連接BE，則BE=BE由（1）知BE=BF=c，BE=c，在ABE中，AE+ABBE，a+bc3（2007鄂爾多斯）我們給出如下定

4、義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到DBE，連接AD，DC，DCB=30°求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形（1）解：正方形、長方形、直角梯形（任選兩個均可）（2）解：答案如圖所示M（3，4）

5、或M（4，3）（3）證明：連接EC，ABCDBE，AC=DE，BC=BE，CBE=60°，EC=BC=BE，BCE=60°，DCB=30°，DCE=90°，DC2+EC2=DE2，DC2+BC2=AC2即四邊形ABCD是勾股四邊形、4（2013莆田模擬）閱讀下面材料，并解決問題：（I）如圖4，等邊ABC內(nèi)有一點P若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5則APB=150°，由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到ACP處，此時ACPABP這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求

6、出APB的度數(shù)（II）（拓展運用）已知ABC三邊長a，b，c滿足（1）試判斷ABC的形狀等腰直角三角形（2）如圖1，以點A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，直接出點B，C的坐標B（12，0），C（6，6）；（3）如圖2，過點C作MCN=45°交AB于點M，N請證明AM2+BN2=MN2；（4）在（3）的條件下，若點N的坐標是（8，0），則點M的坐標為（3，0）；此時MN=5并求直線CM的解析式（5）如圖3，當點M，N分布在點B異側(cè)時則（3）中的結(jié)論還成立嗎？解：（）ABC是等邊三角形，BAC=60°，ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到ACP處，ACPABP，PA=PA=3，P

7、B=PC=4，PAP=BAC=60°，APP是等邊三角形，APP=60°，PP=PA=3，在PPC中，PP2+PC2=32+42=25=PC2，PPC=90°，APB=APC=APP+PPC=60°+90°=150°，APB=150°；故答案是：150°，ABP；（）（1）整理得，|a6|+（c12）2+=0，由非負數(shù)的性質(zhì)得，a6=0，c12=0，b6=0，解得a=b=6，c=12，a2+b2=（6）2+（6）2=144=c2，ABC是直角三角形，又a=b，ABC是等腰直角三角形；（2）AB=c=12，點B（12

8、，0），過點C作CDx軸于D，則AD=CD=AB=×12=6，點C的坐標為（6，6）；（3）如圖，把ACM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BCM，連接MN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM=BM、CM=CM、CAM=CBM=45°，ACM=BCM，MBN=ABC+CBN=45°+45°=90°，MCN=45°，MCN=BCN+BCM=BCN+ACM=90°MCN=90°45°=45°，MCN=MCN，在MCN和MCN中，MCNMCN（SAS），MN=MN，在RtMNB中，BM2+BN2=MN2，AM2+

9、BN2=MN2；（4）設(shè)AM=x，點N的坐標是（8，0），AN=8，BN=128=4，MN=8x，由（3）的結(jié)論，x2+42=（8x）2，解得x=3，AM=3，MN=83=5，點M的坐標（3，0）；設(shè)直線CM的解析式為y=kx+b，點C（6，6），M（3，0），解得，設(shè)直線CM的解析式為y=2x6；（5）如圖，ABC是等腰直角三角形，CAB=CBA=45°，把BCN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ACN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AN=BN，CN=CN，CAN=CBN=135°，MAN=135°45°=90°，點N在y軸上，MCN=45°，

10、MCN=90°45°=45°，MCN=MCN，在MCN和MCN中，MCNMCN（SAS），MN=MN，在RtAMN中，AM2+AN2=MN2，AM2+BN2=MN25. 如圖，RtABC中，ACB=90°，AC=BC=4cm，CD=1cm，若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著ABA的方向運動，至A點結(jié)束，設(shè)E點的運動時間為t秒，連接DE，當BDE是直角三角形時，t的值為 秒。【答案】或或或?！窘馕觥縍tABC中，ACB=90°，AC=BC=4cm，ABC=45°，AB=（cm）。BC=4cm，CD=1cm，BD=3cm。若DEB

11、=90°，則BE=BD=（cm）。6如圖，在x軸上有五個點，它們的橫坐標依次為1，2，3，4，5分別過這些點作x軸的垂線與三條直線y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a0若圖中陰影部分的面積是75a，則a為解：將8條直線共15個交點求出（不計與坐標系的，很簡單，直接寫） p1（1，a），p2（2，2a），p3（3，3a），p4 （4，4a），p5 （5，5a）； q1（1，（a+1），q5（5，5（a+1）； r1（1，（a+2）r5（5，5（a+2） （p1離原點最近，r5離原點最遠）用梯形公式求出各陰影部分面積并求和（底為縱坐標之差，高為1）S1=r1q1=；S

12、2=（q1p1+q2p2）×1=；S3=（r2q2+r3q3）×1）=（2（a+2）2（a+1）+（3（a+2）3（a+1）=，同理可得S4=，S5= （仿S3一樣計算）S=S1+S2+S3+S4+S5=+=12.5，S=75a，75a=12.5，a=7（2011咸寧）在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度（1）實驗操作：在平面直角坐標系中描出點P從點O出發(fā)，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應(yīng)點的坐標填寫在表格中：P從點O出發(fā)平移次數(shù)可能到達的點的坐標1次（0，2），（1，0）2次3次（2）觀察發(fā)現(xiàn)：任一次平移，點

13、P可能到達的點在我們學過的一種函數(shù)的圖象上，如：平移1次后在函數(shù)y=2x+2的圖象上；平移2次后在函數(shù)y=2x+4的圖象上由此我們知道，平移n次后在函數(shù)y=2x+2n的圖象上（請?zhí)顚懴鄳?yīng)的解析式）（3）探索運用：點P從點O出發(fā)經(jīng)過n次平移后，到達直線y=x上的點Q，且平移的路徑長不小于50，不超過56，求點Q的坐標解：（1）如圖所示：P從點O出發(fā)平移次數(shù)可能到達的點的坐標1次2次（0，4），（1，2），（2，0）3次（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）（2）設(shè)過（0，2），（1，0）點的函數(shù)解析式為：y=kx+b（k0），則，解得，故第一次平移后的函數(shù)解析式為：y=2x+2；答案依次

14、為：y=2x+2；y=2x+4；y=2x+2n（3）設(shè)點Q的坐標為（x，y），依題意，解這個方程組，得到點Q的坐標為平移的路徑長為x+y，505637.5n42點Q的坐標為正整數(shù)，n是3的倍數(shù)，n可以取39、42，點Q的坐標為（26，26），（28，28）8（2011江西模擬）課題學習探究：（1）在圖1中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F(xiàn)若A（1，0），B（3，0），則E點坐標為 ；若C（2，2），D（2，1），則F點坐標為 ；（2）在圖2中，已知線段AB的端點坐標為A（a，b），B（c，d），求出圖中AB中點D的坐標（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示），并給出求解過程歸納：無論線段AB處

15、于直角坐標系中的哪個位置，當其端點坐標為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y） 時，x= ，y= （不必證明）運用：在圖2中，y=|x1|的圖象x軸交于P點一次函數(shù)y=kx+1與y=|x1|的圖象交點為A，B求出交點A，B的坐標（用k表示）；若D為AB中點，且PD垂直于AB時，請利用上面的結(jié)論求出k的值解：探究（1）（1，0）；（2，）；（2）過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A，D，B，則AABBDD過A、B分別作直線DD'的垂線，垂足分別為H、GAH=BG，又AH=AD；BG=DBAD=DBxa=cx，即D點的橫坐標是同理又HD=DG，dy=yb，可得D點的

16、縱坐標是AB中點D的坐標為（，）運用，k=09（2013江蘇模擬）一、閱讀理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若C為直角，則a2+b2=c2；（2）若C為銳角，則a2+b2與c2的關(guān)系為：a2+b2c2證明：如圖過A作ADBC于D，則BD=BCCD=aCD在ABD中：AD2=AB2BD2在ACD中：AD2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（aCD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20，所以：a2+b2c2（3）若C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的關(guān)系二、探究問題：在ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若ABC是鈍角三角形，求

17、第三邊c的取值范圍解：（3）如圖過A作ADBC于D，則BD=BC+CD=a+CD在ABD中：AD2=AB2BD2在ACD中：AD2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（a+CD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20所以：a2+b2c2二、當C為鈍角時，根據(jù)公式：ca+b可得，5c7；當B為鈍角時，根據(jù)公式：bac可得，1c10大家在學完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法學有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高為h，M是底邊BC上的任意一點，M到腰AB、AC

18、的距離分別為h1、h2（1）請你結(jié)合圖形來證明：h1+h2=h；（2）當點M在BC延長線上時，h1、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)論不必證明；（3）利用以上結(jié)論解答，如圖在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y=x+3，l2：y=3x+3，若l2上的一點M到l1的距離是求點M的坐標【解答】（1）證明：連接AM，由題意得h1=ME，h2=MF，h=BD，SABC=SABM+SAMC，SABM=×AB×ME=×AB×h1，SAMC=×AC×MF=×AC×h2，又SABC=×AC×

19、BD=×AC×h，AB=AC，×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，h1+h2=h（2）解：如圖所示：h1h2=h（3）解：在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=4，所以A（4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）AB=5，AC=5，所以AB=AC，即ABC為等腰三角形（）當點M在BC邊上時，由h1+h2=h得：+My=OB，My=3=，把它代入y=3x+3中求得：Mx=，所以此時M（，）（）當點M在CB延長線上時，由h1h2=h得：My=OB，My=3+=，把它代入y=3x+3中求得：Mx=，所以此

20、時M（，）綜合（）、（）知：點M的坐標為M（，）或（，）11（2013秋寧波期末）如圖1，一次函數(shù)y=2x+4與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，一次函數(shù)圖象與坐標軸圍成的ABO，我們稱它為此一次函數(shù)的坐標三角形把坐標三角形面積分成相等的二部分的直線叫做坐標三角形的等積線（1）求此一次函數(shù)的坐標三角形周長以及分別過點A、B的等積線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，我們把第一個坐標三角形ABO記為第一代坐標三角形第一代坐標三角形的等積線BA1，AB1記為第一對等積線，它們交于點O1，四邊形A1OB1O1稱為第一個坐標四邊形求點O1的坐標和坐標四邊形A1OB1O1面積；（3）如圖3第一對等積線與坐標軸構(gòu)成

21、了第二代坐標三角形BA1OAOB1分別過點A，B作一條平分BA1O，AOB1面積的第二對等積線BA2，AB2，相交于點O2，如此進行下去，請直接寫出On的坐標和第n個坐標四邊形面積（用n表示）解：（1）令y=0，則2x+4=0，解得，x=2，令x=0，則y=4，點A（2，0），B（0，4），OA=2，OB=4，由勾股定理得，AB=2，所以，周長為6+2，AB1、BA1是等積線，A1（1，0），B1（0，2），等積線的函數(shù)表達式：y=4x+4，y=x+2；（2）聯(lián)立，解得，O1（，），坐標四邊形A1OB1O1面積=SAOB1SAA1O1，=×2×2×（21）

22、5;，=2，=；（3）由題意得，OAn=，OBn=，所以，等積線BAn的解析式為：y=2n+1x+4，ABn的解析式為：y=x+，聯(lián)立解得，點On（，），坐標四邊形面積=SAOBnSAAnOn，=×2××（2）×，=，=，=12已知直線y=x+4與x軸和y軸分別交與B、A兩點，另一直線經(jīng)過點B和點D（11，6）（1）求AB、BD的長度，并證明ABD是直角三角形；（2）在x軸上找點C，使ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求出C點坐標；（3）一動點P速度為1個單位/秒，沿ABD運動到D點停止，另有一動點Q從D點出發(fā)，以相同的速度沿DBA運動到A點停止，兩點同

23、時出發(fā)，PQ的長度為y（單位長），運動時間為t（秒），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式解：（1）令x=0，y=4，令y=0，則x+4=0，解得x=3，所以，A（0，4），B（3，0），由勾股定理得，AB=5，BD=10，過點D作DHy軸于H，DH=11，AH=2，由勾股定理得，AD=，AB2=25，BD2=100，AB2+BD2=AD2，ABD是直角三角形；（2）設(shè)OC長為x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11x）2+62，解得x=，所以，C（，0）；（3）設(shè)t秒時相遇，由題意得，t+t=5+10，解得t=7.5，點P在AB上時，0t5，PB=5t，BQ=10t，PQ=，點P、Q都在BD上重

24、合前，5t7.5，PQ=5+10tt=152t，重合后，7.5t10，PQ=t+t510=2t15，點Q在AB上時，10t15，PB=t5，BQ=t10，PQ=13（2013荊州）如圖，某個體戶購進一批時令水果，20天銷售完畢他將本次銷售情況進行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額；（3）若日銷售量不低于24千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過程中“最佳銷售期”共有多少天

25、？在此期間銷售單價最高為多少元？解：（1）分兩種情況：當0x15時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為y=k1x，直線y=k1x過點（15，30），15k1=30，解得k1=2，y=2x（0x15）；當15x20時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為y=k2x+b，點（15，30），（20，0）在y=k2x+b的圖象上，解得：，y=6x+120（15x20）；綜上，可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=；（2）第10天和第15天在第10天和第20天之間，當10x20時，設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)解析式為p=mx+n，點（10，10），（20，8）在p=mx+n的圖

26、象上，解得：，p=x+12（10x20），當x=10時，p=10，y=2×10=20，銷售金額為：10×20=200（元），當x=15時，p=×15+12=9，y=30，銷售金額為：9×30=270（元）故第10天和第15天的銷售金額分別為200元，270元；（3）若日銷售量不低于24千克，則y24當0x15時，y=2x，解不等式：2x24，得，x12；當15x20時，y=6x+120，解不等式：6x+12024，得x16，12x16，“最佳銷售期”共有：1612+1=5（天）；p=x+12（10x20），0，p隨x的增大而減小，當12x16時，x取12

27、時，p有最大值，此時p=×12+12=9.6（元/千克）答：此次銷售過程中“最佳銷售期”共有5天，在此期間銷售單價最高為9.6元14（2007嘉興）如圖，已知A（8，0），B（0，6），兩個動點P、Q同時在OAB的邊上按逆時針方向（OABO）運動，開始時點P在點B位置，點Q在點O位置，點P的運動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒1個單位（1）在前3秒內(nèi)，求OPQ的最大面積；（2）在前10秒內(nèi)，求P、Q兩點之間的最小距離，并求此時點P、Q的坐標；（3）在前15秒內(nèi)，探究PQ平行于OAB一邊的情況，并求平行時點P、Q的坐標解：（1）A（8，0），B（0，6），OB=6，OA=8，AB=10在前3秒內(nèi)，點P在OB上，點Q在OA上，設(shè)經(jīng)過t秒，點P，Q位置如圖則OP=62t，OQ=tOPQ的面積A=OPOQ=t（3t），（2分）當t=時，Smax=（2分）（2）在前10秒內(nèi)，點P從B開始，經(jīng)過點O，點A，最后到達AB上，經(jīng)過的總路程為20；點Q從O開始，經(jīng)過點A，最后也到達AB上，經(jīng)過的總路程為10其中P，Q兩點在某一位置重合，最小距離為0設(shè)在某一位置重合，最小距離為0設(shè)經(jīng)過t秒，點Q被點P“追及”（兩點重合），則2t=t+6，t=6在前10秒內(nèi)，P，Q兩點的最小距離為0，點P，Q的相應(yīng)坐標