高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版后答案習(xí)題全陳策提mai供

1、習(xí)題七1. 在空間直角坐標(biāo)系中，定出下列各點(diǎn)的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：點(diǎn)A在第卦限；點(diǎn)B在第卦限；點(diǎn)C在第卦限；點(diǎn)D在xOy面上；點(diǎn)E在yOz面上；點(diǎn)F在x軸上.2. xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的點(diǎn)，z=0;在yOz面上的點(diǎn)，x=0;在zOx面上的點(diǎn)，y=0.3. x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？答：x軸上的點(diǎn)，y=z=0;y軸上的點(diǎn)，x=z=0;z軸上的點(diǎn)，x=y=0.4. 求下列各對(duì)點(diǎn)之間的距離：（1

2、） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；（3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.解：（1）(2) (3) (4) .5. 求點(diǎn)（4，-3，5）到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.解：點(diǎn)(4，-3，5)到x軸，y軸，z軸的垂足分別為（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故 .6. 在z軸上，求與兩點(diǎn)A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距離的點(diǎn).解：設(shè)此點(diǎn)為M（0，0，z），則解得 即所求點(diǎn)為M（0，0，）.7. 試證：以三點(diǎn)A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）為頂點(diǎn)的三角

3、形是等腰直角三角形.證明：因?yàn)閨AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故ABC為等腰直角三角形.8. 驗(yàn)證：.證明：利用三角形法則得證.見圖7-1 圖7-19. 設(shè)試用a, b, c表示解：10. 把ABC的BC邊分成五等份，設(shè)分點(diǎn)依次為D1，D2，D3，D4，再把各分點(diǎn)與A連接，試以，表示向量,和.解：11. 設(shè)向量的模是4，它與投影軸的夾角是60，求這向量在該軸上的投影.解：設(shè)M的投影為，則12. 一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)B（2，-1，7），它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4，-4和7，求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A(x, y, z)，則解

4、得x=-2, y=3, z=0故A的坐標(biāo)為A(-2, 3, 0).13. 一向量的起點(diǎn)是P1（4，0，5），終點(diǎn)是P2（7，1，3），試求：（1） 在各坐標(biāo)軸上的投影； （2） 的模；（3） 的方向余弦； （4） 方向的單位向量.解：（1） (2) (3) .(4) .14. 三個(gè)力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn). 求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分別用單位向量來表達(dá)向量a, b, c.解：1

5、6. 設(shè)m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.解：設(shè)則有 求得. 設(shè)在面上的投影向量為則有 則 則 求得 又則 從而求得或18. 已知兩點(diǎn)M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），點(diǎn)M在線段M1M2上，且，求向徑的坐標(biāo).解：設(shè)向徑=x, y, z因?yàn)?，所以，?.19. 已知點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，0，12）的距離是7，的方向余弦是，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P的坐標(biāo)為（

6、x, y, z）, 得又故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，3，6）或P（）.20. 已知a, b的夾角，且，計(jì)算：(1) ab; (2) (3a-2b)(a + 2b).解：（1）ab =(2) 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),計(jì)算：（1）ab; (2) (2a-3b)(a + b)； （3）解：（1）(2) (3) 22. 已知四點(diǎn)A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：=3，-2，-6，=6，2，323. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解: (a+3b

7、)(7a-5b) = (a-4b)(7a-2b) = 由及可得：又，所以,故.24. 設(shè)a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,ab,且a+b=2,4, -2a-b=-6,10,14又(a+b)(a-b)= 2(-6)+410+(-2)14=0故(a+b)(a-b).25. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求：(1) ab; (2) 2a7b;(3) 7b2a; (4) aa.解：（1） (2) (3) (4) .26. 已知向量a和b互相垂直，且.計(jì)算：(

8、1) |(ab)(ab)|；(2) |(3ab)(a2b)|.（1）(2) 27. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.28. 一平行四邊形以向量a =(2,1,1)和b=(1,2,1)為鄰邊，求其對(duì)角線夾角的正弦.解：兩對(duì)角線向量為，因?yàn)?所以 .即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.29. 已知三點(diǎn)A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，證明：.證明：中點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為故 .30.（1）解: 則 若共面，則有后與是垂直的. 從而 反之亦成立. （2） 由行列式性

9、質(zhì)可得: 故31. 四面體的頂點(diǎn)在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面體的表面積.解：設(shè)四頂點(diǎn)依次取為A, B, C, D.則由A，B，D三點(diǎn)所確定三角形的面積為.同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為.故四面體的表面積.32.解：設(shè)四面體的底為，從點(diǎn)到底面的高為，則 ， 而 又所在的平面方程為: 則 故33. 已知三點(diǎn)A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，證：此三點(diǎn)共線.證明：,顯然則故A，B，C三點(diǎn)共線.34. 一動(dòng)點(diǎn)與M0(1,1,1)連成的向量與向量n=(2,3,-4)垂直，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)因,故.即

10、2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.35. 求通過下列兩已知點(diǎn)的直線方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）兩點(diǎn)所確立的一個(gè)向量為s=3-1，1+2，-1-1=2，3，-2故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 或 （2）直線方向向量可取為s=1-3，0+1，-3-0=-2，1，-3故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 或 36. 求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.解：所給直線的方向向量為 另取x0=0代入直線一般方程可解得y0=7,z0=17于是直線過點(diǎn)（0，7，17），因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:且直線的

11、參數(shù)方程為：37. 求過點(diǎn)(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n=3,-2,6，又過點(diǎn)(4,1,-2)故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.38. 求過點(diǎn)M0(1,7,-3)，且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為故平面方程為：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=039. 設(shè)平面過點(diǎn)(1,2,-1)，而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面方程.解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定

12、為又(1,2,-1)在平面上，則有得b=2.故所求平面方程為40. 求過(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知代入三已知點(diǎn)，有化簡(jiǎn)得x-3y-2z=0即為所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并畫出其圖形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x y =0;(5) 2x-3y+4z=0.解：(1) y =0表示xOz坐標(biāo)面（如圖7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3) 圖7-2 圖7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和

13、y =-2的平面.(如圖7-4)(4) x y=0表示過z軸的平面（如圖7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示過原點(diǎn)的平面（如圖7-6）. 圖7-4 圖7-5 圖7-642. 通過兩點(diǎn)（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n=A,B,C已知平面法向量為n1=1,1,-1過已知兩點(diǎn)的向量l=1,1,1由題知nn1=0, nl=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程為x-y=0.43. 決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2z=9適合下列條件：（1）經(jīng)過點(diǎn)（5，-4，6）

14、； （2） 與平面2x-3y+z=0成的角.解：（1） 因平面過點(diǎn)（5，-4，6）故有 5-4k-26=9得k=-4.（2） 兩平面的法向量分別為n1=1,k,-2 n2=2,-3,1且解得44. 確定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1=2,l,3, n2=m,-6,-1(2) n1=3, -5, l , n2=1,3,245. 通過點(diǎn)（1，-1，1）作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=

15、0其法向量n=A,B,Cn1=1,-1,1, n2=2,1,1又（1，1，1）在所求平面上，故AB+C+D=0，得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1=3,-1,7, n2=1,-1,2.故則47. 求下列直線與平面的交點(diǎn)：(1) , 2x+3y+z-1=0;(2) , x+2y-2z+6=0.解：（1）直線參數(shù)方程為代入平面方程得t=1故交點(diǎn)為（2，-3，6）.（2） 直線參數(shù)方程為代入平面方程解得t=0.故交點(diǎn)為（-2，1，3）.48. 求下列直線的夾角：（1） 和 ；（2） 和 解：（1）兩直線的方

16、向向量分別為：s1=5, -3,33, -2,1=3,4, -1s2=2,2, -13,8,1=10, -5,10由s1s2=310+4(-5)+( -1) 10=0知s1s2從而兩直線垂直，夾角為.(2) 直線的方向向量為s1=4, -12,3,直線的方程可變?yōu)?可求得其方向向量s2=0,2, -11,0,0=0, -1, -2,于是49. 求滿足下列各組條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)（2，-3，4），且與平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）過點(diǎn)（0，2，4），且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）過點(diǎn)（-1，2，1），且與直線平行.解：（1）可取直線的方向向量為s=3，-1，2故

17、過點(diǎn)（2，-3，4）的直線方程為（2）所求直線平行兩已知平面，且兩平面的法向量n1與n2不平行，故所求直線平行于兩平面的交線，于是直線方向向量故過點(diǎn)（0，2，4）的直線方程為（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為s=2，-1，3故過點(diǎn)（-1，2，1）的直線方程為.50. 試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含. 因?yàn)橹本€的方向向量為s=-2，-7，3平面的法向量n=4，-2，-2，所以于是直線與平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)M0（-3，-4，0）代入平面方程有.故直線不在平面上.(2)

18、因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.(3) 直線在平面上，因?yàn)?而直線上的點(diǎn)（2，-2，3）在平面上.51. 求過點(diǎn)（1，-2，1），且垂直于直線的平面方程.解：直線的方向向量為,取平面法向量為1，2，3，故所求平面方程為即x+2y+3z=0.52. 求過點(diǎn)（1，-2，3）和兩平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過兩平面的交線的平面束方程為其中為待定常數(shù)，又因?yàn)樗笃矫孢^點(diǎn)（1，-2，3）故解得=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053. 求點(diǎn)（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過點(diǎn)（-1，2，0）作垂直于已知

19、平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平面的法向量，即s=n=1，2，-1所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0得于是所求點(diǎn)（-1，2，0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)54. 求點(diǎn)（3，-1，2）到直線的距離.解：過點(diǎn)（3，-1，2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量即故過已知點(diǎn)的平面方程為y+z=1.聯(lián)立方程組解得即為平面與直線的垂足于是點(diǎn)到直線的距離為55. 求點(diǎn)（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過點(diǎn)（1，2，1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s=n=1，2，2所以垂線的參數(shù)方程為將其

20、代入平面方程得.故垂足為，且與點(diǎn)（1，2，1）的距離為即為點(diǎn)到平面的距離.56. 建立以點(diǎn)（1，3，-2）為中心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：球的半徑為設(shè)(x,y,z)為球面上任一點(diǎn)，則(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.57. 一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)（2，0，-3）的距離與離點(diǎn)（4，-6，6）的距離之比為3，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)，由題意知化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：（1）; （2）;（3）;

21、（4）;（5）; （6）.解：（1）母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.（2）母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8. 圖7-7 圖7-8（3）母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.（4）母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10. 圖7-9 圖7-10（5）母線平行于z軸的兩平面，如圖7-11. （6）z軸，如圖7-12. 圖7-11 圖7-1259. 指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）.解：（1）半軸分別為1，2，3的橢球面，如圖7-13. (2) 頂點(diǎn)在（0，0，-9）的橢圓拋物面，如圖7-14. 圖7-13 圖7-14(3) 以x軸為中心軸的

22、雙葉雙曲面，如圖7-15. (4) 單葉雙曲面，如圖7-16. 圖7-15 圖7-16(5) 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓錐面，其中心軸是z軸，如圖7-17. 圖7-17 60. 作出下列曲面所圍成的立體的圖形：(1) x2+y2+z2=a2與z=0,z= (a0); (2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分別如圖7-18，7-19，7-20，7-21所示. 圖7-18 圖7-19 圖7-20 圖7-2161.

23、求下列曲面和直線的交點(diǎn)：(1) 與;(2) 與.解：（1）直線的參數(shù)方程為代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4，-2），（6，-2，2）.(2) 直線的參數(shù)方程為代入曲面方程可解得t=1,得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3，2）.62. 設(shè)有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3，且位于距離xOy平面5個(gè)單位的平面上，試建立這個(gè)圓的方程.解：設(shè)（x，y，z）為圓上任一點(diǎn)，依題意有即為所求圓的方程.63. 試考察曲面在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.(1) 平面x=2; (2) 平面y=0;(3) 平面y=5; (4) 平面z=2.解：（1）截線方程為其形狀為x=2平面上的雙曲線.（2）截

24、線方程為為xOz面上的一個(gè)橢圓.(3) 截線方程為為平面y=5上的一個(gè)橢圓.(4) 截線方程為為平面z=2上的兩條直線.64. 求曲線x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為65. 建立曲線x2+y2=z, z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即.故曲線在xOy平面上的投影方程為習(xí)題八1. 判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)集和邊界：(1) (x, y)|x0;(2) (x, y)|1x2

25、+y24;(3) (x, y)|yx2;(4) (x, y)|(x-1)2+y21(x, y)|(x+1)2+y21.解：(1)開集、無界集，聚點(diǎn)集：R2，邊界：(x, y)|x=0.(2)既非開集又非閉集，有界集,聚點(diǎn)集：(x, y)|1x2+y24，邊界：(x, y)|x2+y2=1(x, y)| x2+y2=4.(3)開集、區(qū)域、無界集，聚點(diǎn)集：(x, y)|yx2，邊界：(x, y)| y=x2.(4)閉集、有界集，聚點(diǎn)集即是其本身，邊界：(x, y)|(x-1)2+y2=1(x, y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan,試求.解：3. 已知,試

26、求解：f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.4. 求下列各函數(shù)的定義域：解：5. 求下列各極限：解：(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)O(0，0)處是否連續(xù)：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函數(shù)在O(0,0)處連續(xù).(2)故O(0,0)是z的間斷點(diǎn).(3)若P(x,y) 沿直線y=x趨于(0，0)點(diǎn)，則,若點(diǎn)P(x,y) 沿直線y=-x趨于(0，0)點(diǎn)，則故不存在.故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).7. 指出下列函數(shù)在向外間斷：(1) f

27、 (x,y)=;(2) f (x,y)=;(3) f (x,y)=ln(1x2y2);(4)f (x,y)=解：(1)因?yàn)楫?dāng)y=-x時(shí)，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點(diǎn)處間斷，而在其余點(diǎn)處均連續(xù).(2)因?yàn)楫?dāng)y2=2x時(shí)，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(3)因?yàn)楫?dāng)x2+y2=1時(shí)，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(4)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)沿直線y=x趨于O(0,0)時(shí).故(0，0)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).8. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)z = x2y+;(2)s =;(3)z

28、= xln;(4)z = lntan;(5)z = (1+xy)y;(6)u = zxy;(7)u = arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)兩邊取對(duì)數(shù)得故 (6)(7)(8)9.已知，求證：.證明： .由對(duì)稱性知 .于是 .10.設(shè)，求證：.證明： ,由z關(guān)于x,y的對(duì)稱性得故 11.設(shè)f (x,y) = x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：則.12.求曲線在點(diǎn)（2，4，5）處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設(shè)切線與正向x軸的傾角為,則tan=1. 故=.13.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)z = x4+ y4-4x2y2;(2)z = ar

29、ctan;(3)z = yx;(4)z = .解：(1)由x,y的對(duì)稱性知(2)，(3)(4)14.設(shè)f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求解：15.設(shè)z = x ln ( x y)，求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：(1);(2);(3);(4).解：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)和自變量增量的條件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似計(jì)算：(1) (1.02)3(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)設(shè)f(x,y)=x3y2，則故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xy

30、dx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，則(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)設(shè)f(x,y)=,則故取,則(3)設(shè)f(x,y)=xy,則df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長(zhǎng)a=10cm，另一邊長(zhǎng)b=24cm, 當(dāng)a邊增加4mm，而b邊縮小1mm時(shí)，求對(duì)角線長(zhǎng)的變化.解：設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為l，則當(dāng)x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時(shí)，(cm)故矩形的對(duì)角線長(zhǎng)約增加0

31、.062cm.20.解：因?yàn)閳A錐體的體積為 而 時(shí)， 21.解：設(shè)水池的長(zhǎng)寬深分別為 則有: 精確值為： 近似值為: 22. 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全導(dǎo)數(shù)：(1)求,；(2)z, xuv,yuv, 求,；(3), yx3, 求;(4) ux2y2z2, x, y, z, 求.解：（1）(2)(3)(4).23. 設(shè)f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)24.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證明:故25. 設(shè)，其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證：.證明： ,26. ,其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，求解：由對(duì)稱性知，27. 設(shè)f具有二階偏導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1

32、)(2)(3)解：(1),(2)(3)28. 試證：利用變量替換,可將方程化簡(jiǎn)為 .證明：設(shè)故29. 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1)，求;(2)，求；(3)，求;(4)，求.解：(1)解法1 用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，設(shè)F(x,y)=siny+ex-xy2,則 故 .解法2 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得故 (2)設(shè)(3)方程兩邊求全微分，得則 故 (4)設(shè),則 30. 設(shè)F(x, y, z)=0可以確定函數(shù)x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y),證明：.證明：31. 設(shè)確定了函數(shù)z = z(x,y),其中F可微，求.解：32. 求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：

33、(1) 求：(2) 求： (3) 其中f,g具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)，求(4) 求解：(1)原方程組變?yōu)榉匠虄蛇厡?duì)x求導(dǎo)，得當(dāng) (2)設(shè)故 (3)設(shè)則 故 (4)是已知函數(shù)的反函數(shù)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得整理得 解得 方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)得整理得 解得 33. 設(shè)，試求解：由方程組可確定反函數(shù)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得 所以 方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得解得 所以 .*34. 求函數(shù)在(2，-1)點(diǎn)的泰勒公式.解：故*35. 將函數(shù)在(1,1)點(diǎn)展到泰勒公式的二次項(xiàng).解：習(xí)題九1. 求下曲線在給定點(diǎn)的切線和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點(diǎn);(2)x2+y2+

34、z2=6,x+y+z=0,點(diǎn)M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,點(diǎn)M0(x0,y0,z0).解：曲線在點(diǎn)的切向量為當(dāng)時(shí)， 切線方程為.法平面方程為即 .（2）聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y(x),z=z(x)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得 在點(diǎn)M0（1，-2，1）處，所以切向量為1，0，-1.故切線方程為法平面方程為1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得于是 曲線在點(diǎn)（x0,y0,z0）處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.2. t (0 t 2)為何值時(shí)，曲線L：x = t-sint, y=1-c

35、ost, z = 4sin在相應(yīng)點(diǎn)的切線垂直于平面，并求相應(yīng)的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且,故解得，相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.且故切線方程為法平面方程為即 .3. 證明：螺旋線x = acost, y = asint, z = bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。4. 指出曲面z = xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z =6,并求出該點(diǎn)的法線方程與切平面方程。解：zx=y, zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且，故有解得x=2,y=-1,此時(shí)，z=-2.即（2,-1

36、,-2）處曲面的法線垂直于平面，且在該點(diǎn)處的法線方程為.切平面方程為-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即 x-2y+z-2=0.5. 求下列曲面在給定點(diǎn)的切平面和法線方程：(1)z = x2+y2,點(diǎn)M0(1,2,5);(2)z = arctan,點(diǎn)M0(1,1,);解：（1）故曲面在點(diǎn)M0(1,2,5)的切平面方程為z -5=2(x-1)+4(y-2).即 2x+4y-z=5.法線方程為（2）故曲面在點(diǎn)M0(1,1,)的切平面方程為z-=- (x-1)+(y-1).法線方程為.6. 證明：曲面xyz = a3上任一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體體積一定。證明：設(shè) F(x,y,z)=

37、xyz-a3.因?yàn)?Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切平面方程為y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x軸，y軸，z軸上的截距分別為3x0,3y0,3z0.因各坐標(biāo)軸相互垂直，所以切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體的體積為它為一定值。7.解：平面與曲面在的切平面的法向量為 從而平面的方程為： 又的方向向量為 由求得 在上取一點(diǎn)，不妨取求得 由于在平面上，代入平面方程中可求得.8. 求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(diǎn)（1，1,2）處沿方向角為的方向?qū)?shù)。解：9. 求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)（5,1,2）處沿從點(diǎn)A（5,1,

38、2）到B（9，4，14）的方向?qū)?shù)。解：的方向余弦為故10. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。解：設(shè)x軸正向到橢圓內(nèi)法線方向l的轉(zhuǎn)角為，它是第三象限的角，因?yàn)樗栽邳c(diǎn)處切線斜率為法線斜率為.于是11.研究下列函數(shù)的極值：(1) z = x3+y33(x2+y2);(2) z = e2x(x+y2+2y);(3) z = (6xx2)(4yy2);(4) z = (x2+y2);(5) z = xy(axy),a0.解：（1）解方程組得駐點(diǎn)為（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x6, zxy=0, zyy=6y6在點(diǎn)（0，0）處，A=6，B=0，C=-6，B

39、2AC=360，且A0，所以(0,2)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（2，0）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=360，所以(2,0)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（2，2）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=360,所以函數(shù)有極小值z(mì)(2,2)=-8.(2)解方程組得駐點(diǎn)為.在點(diǎn)處,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e20,所以函數(shù)有極小值.(3) 解方程組得駐點(diǎn)為（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=2(4y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6xx2)在點(diǎn)（3，2）處，A=8，B=0，C=18，B2AC=8180,且A0，所以(0,0)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)

40、（0，4）處，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(0,4)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（6，0）處，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(6,0)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（6，4）處，A=0，B=24，C=0，B2AC0，所以(6,4)不是極值點(diǎn).(4)解方程組得駐點(diǎn)P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在點(diǎn)P0處有z=0，而當(dāng)（x,y）(0,0)時(shí)，恒有z0，故函數(shù)z在點(diǎn)P0處取得極小值z(mì)=0.再討論函數(shù)z=ue-u由，令得u=1,當(dāng)u1時(shí)，；當(dāng)u1或x2+y21,均有.故函數(shù)z在點(diǎn)（x0,y0）取得極大值z(mì)=e-1(5)解方程組得駐點(diǎn)為 zxx=-2y, zxy=a-2

41、x-2y, zyy=-2x.故z的黑塞矩陣為 于是 易知H（P1）不定，故P1不是z的極值點(diǎn)，H（P2）當(dāng)a0時(shí)負(fù)定，故此時(shí)P2是z的極大值點(diǎn)，且.12. 設(shè)2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，確定函數(shù)z=z(x,y)，研究其極值。解：由已知方程分別對(duì)x,y求導(dǎo)，解得令解得,將它們代入原方程，解得.從而得駐點(diǎn).在點(diǎn)（-2，0）處，B2-AC0，因此函數(shù)有極小值z(mì)=1.在點(diǎn)處，B2-AC0，函數(shù)有極大值.13. 在平面xOy上求一點(diǎn)，使它到x=0, y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P(x,y)，P點(diǎn)到x=0的距離為|x|,到y(tǒng)=0的距離為|y|，到直線x

42、+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點(diǎn),因?qū)嶋H問題存在最小值，故點(diǎn)即為所求。14. 求旋轉(zhuǎn)拋物面z = x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設(shè)P（x,y,z）為拋物面上任一點(diǎn).則點(diǎn)P到平面的距離的平方為,即求其在條件z= x2+y2下的最值。設(shè)F（x,y,z）=解方程組得故所求最短距離為15. 拋物面z = x2+y2被平面x+y+z =1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離。解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為P（x,y,z），則|OP|2=x2+y2+z2.因P點(diǎn)在拋物面及平面上，所以約束條件為z=x2+y2， x+y+z=1設(shè)F（x,y,z）= x2+y2+z2+1(z-x

43、2-y2)+2(x+y+z-1)解方程組得 由題意知，距離|OP|有最大值和最小值，且.所以原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)距離是，最短距離是.16. 在第I卦限內(nèi)作橢球面的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。解：令橢球面上任一點(diǎn)的切平面方程為即 切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為，因此切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值，也即求xyz的最大值問題。設(shè) ,解方程組得.故切點(diǎn)為，此時(shí)最小體積為*17. 設(shè)空間有n個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為,試在xOy面上找一點(diǎn)，使此點(diǎn)與這n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P（x,y,0），則此點(diǎn)與n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和為解方程組得駐點(diǎn)又在

44、點(diǎn)處Sxx=2n=A, Sxy=0=B, Syy=2n=CB2-AC=-4n20取得最小值.故在點(diǎn)處，S取得最小值.即所求點(diǎn)為.*18. 已知過去幾年產(chǎn)量和利潤(rùn)的數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)量x(件)4047557090100利潤(rùn)y(元)323443547285試求產(chǎn)量和利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到120千件時(shí)工廠的利潤(rùn)。解：在直角坐標(biāo)系下描點(diǎn)，從圖可以看出，這些點(diǎn)大致接近一條直線，因此可設(shè)f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程組把(xi,yi)代入方程組，得解得 a=0.884, b=-5.894即 y=0.884x-5.894,當(dāng)x=120時(shí)，y=100.186(元).習(xí)題十1. 根據(jù)二重積分性質(zhì)

45、，比較與的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）為頂點(diǎn)的三角形；（2）D表示矩形區(qū)域.解：（1）區(qū)域D如圖10-1所示，由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間，顯然有圖10-1從而 故有 所以 （2）區(qū)域D如圖10-2所示.顯然，當(dāng)時(shí)，有.圖10-2從而 ln(x+y)1故有 所以 2. 根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有, 因而 .從而 故 即而 （為區(qū)域D的面積），由=4得 .(2) 因?yàn)?，從而?即而所以（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故 即 而 所以 3. 根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：（1）（2）解：（1）在幾何上表示以D為底，以z軸為軸，以（0，0，a）為頂點(diǎn)的圓錐的體積，所以（2）在幾何上表示以原點(diǎn)（0，0，0