第8章 能量法

1、第八章 能量法當(dāng)作用于彈性體的外力由零逐漸增至最終值時，彈性體的變形也由零逐漸增大到最終值，在此過程中，外力將完成一定量的功。若不考慮能量以熱或其它形式的損耗，根據(jù)能量守恒原理，外力功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的應(yīng)變能（變形能）?；趹?yīng)變能概念的能量法是求解結(jié)構(gòu)變形和位移的快捷和有效的方法，也是結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。圖8.18.1 桿件的應(yīng)變能 克拉貝隆原理圖8.1a所示梁的載荷由零緩慢地增加到F，F(xiàn)力作用點的位移相應(yīng)地由零逐漸增至，可以用積分求出外力所做的功W。在線彈性范圍內(nèi)，變形與載荷成正比，所以外力功等于圖8.1b中陰影部分（三角形）的面積，即 （8-1）若將上式中的F理解為廣義力（力或力偶），理解為廣

2、義位移（線位移或角位移），也稱之為F的相應(yīng)位移，則上式對軸向拉壓，扭轉(zhuǎn)等基本變形也適用。若不計其他能量的耗散，根據(jù)能量守衡，梁中的應(yīng)變能U與外力功W在數(shù)值上相等，即 （8-1a）應(yīng)變能是一個狀態(tài)量，其大小只取決于載荷和變形的終值，與加載的途徑，先后次序等無關(guān)。一般地，設(shè)彈性體上的一組廣義力按比例由零增至各自的終值、，在線彈性條件下，其相應(yīng)位移也由零按同一比例增大到各自的終值、，則存儲在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能的大小為 （8-2）上式是法國力學(xué)家Clapeyron于1866年提出的計算應(yīng)變能的公式，稱為克拉貝隆原理。應(yīng)變能可以用外力功來計算，但主要是通過內(nèi)力做功來計算。對于軸向受拉桿件中的微段（圖8.2

3、a），其微伸長為 軸力在微段上作的功轉(zhuǎn)化為微段的應(yīng)變能，即整個桿件的應(yīng)變能為 （8-3）若軸力為常量，且等于外力F，則有 （8-4）上式表明，不論是由外力功、還是由內(nèi)力外來計算應(yīng)變能，其結(jié)果是一樣的。圖8.2對于圖8.2b、c所示圓軸的扭轉(zhuǎn)變形、梁的平面彎曲變形，分別有 （8-5） （8-6） （8-7） （8-8）對于較細(xì)長的梁，剪切應(yīng)變能與彎曲和扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能相比十分微小，可以忽略不計。用外力功來計算應(yīng)變能，需要計算各力的相應(yīng)位移，一般比較復(fù)雜，而用內(nèi)力功來進行計算，可以避免這個困難。從式（8-4）、（8-6）和（8-8）中可看出，應(yīng)變能是內(nèi)力（）或變形（）的齊二次函數(shù)，所以應(yīng)變能一般是不能疊

4、加的。但如果構(gòu)件上的一種載荷在另一種載荷引起的位移上不做功，則兩者同時作用時的應(yīng)變能等于此兩種載荷單獨作用時的應(yīng)變能之和。設(shè)圓截面桿同時受軸向拉（壓）、扭轉(zhuǎn)和彎曲載荷的作用，桿件各橫截面上的內(nèi)力（略去剪力影響）有：軸力、扭矩和彎矩。在小變形條件下，桿件的各基本變形可認(rèn)為是互不耦合的，即每一種內(nèi)力只在與之相應(yīng)的變形上做功，所以整個桿件的應(yīng)變能可寫為 （8-9）例8.1 圖示懸臂梁AB，在自由端A有一橫力F和一力偶矩作用，EI是常數(shù)。求梁的應(yīng)變能。例8.1圖 解：首先用外力功計算應(yīng)變能?？刹楦戒汣得到梁A端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為, （a，b）在這里、的方向與對應(yīng)載荷的方向一致時，其符號為正，反之為負(fù)。

5、將以上兩式代入式（8-2），可求得梁的應(yīng)變能為 （c）再按內(nèi)力功來計算應(yīng)變能，但不計剪力作的功。梁的彎矩方程為代入式（8-8），得 （d）兩種算法的結(jié)果一致。注意到上式中有關(guān)于F和m的交叉乘積項，說明應(yīng)變能的計算一般是不能疊加的。例8.2 如圖所示由n圈彈簧絲組成的密繞圈螺旋彈簧，沿彈簧軸線承受壓力F作用。設(shè)彈簧的平均直徑為D，彈簧絲的直徑為d，剪切彈性模量為G。試計算彈簧的軸向變形。解：如圖，可由平衡條件求出彈簧絲的橫截面上的剪力及扭矩T，其值分別為， 在軸向壓力F的作用下，彈簧沿載荷作用方向縮短。分析表明，影響彈簧變形的主要內(nèi)力是扭矩（略去剪力）。由于是密繞螺旋彈簧，簧絲的總長度近似為，簧

6、絲截面的極慣性矩，則由式（8-6）可知，彈簧的應(yīng)變能（略去剪力影響）為 設(shè)彈簧的軸向變形為，由于外力功在數(shù)值上等于彈簧的應(yīng)變能（式（8-1），有 于是可求得軸向變形例題8.3圖例題8.2圖 （8-10）例8.3 原為水平位置的桿系如圖a所示，試計算在鉛垂力F作用下的應(yīng)變能。已知兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A，材料均為線彈性，彈性模量為E。解：桿系中的兩桿在荷載由零增至某一值F時，各伸長，使施力點A發(fā)生了位移至。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，設(shè)兩桿的軸力均為，兩桿伸長量及伸長后的長度均為， （a, b）由圖a的幾何關(guān)系并結(jié)合式（a）和（b），可得 （c）在上式的第三步中，略去了高階微量。由平衡條件，可求

7、得兩桿的軸力為 （d）由于角很小，故有以下關(guān)系 （e）由式（c）、（d）和（e），可得力與位移的關(guān)系為 （f）間的非線性關(guān)系曲線如圖b所示。從以上分析可見，兩桿的材料雖為線彈性，但位移與載荷F之間的關(guān)系卻是非線性的。像這種非線性彈性問題，稱為幾何非線性問題。若材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系呈非線性，稱為材料或物理非線性問題。值得注意的是，對于幾何非線性問題，由于非線性關(guān)系只反映在外力與相應(yīng)位移之間，所以，在計算載荷由零增至F時兩桿內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能，只能用式（8-1）中的積分式（一般式）通過外力功來計算。將式（f）代入式（8-1），經(jīng)積分后得 （h）8.2 卡氏定理 互等定理一、卡氏第二定理在例8.1中，

8、若將應(yīng)變能對外力求一次偏導(dǎo)數(shù)，分別有， 圖8.3其中、稱為為F和的相應(yīng)位移，注意到任一（廣義）力的相應(yīng)位移并不只由該力所引起的。以上的結(jié)果具有一般性，即線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對于任一獨立廣義外力的偏導(dǎo)數(shù)，等于該力的相應(yīng)（廣義）位移。即 （8-11）這就是著名的卡氏第二定理，是意大利的結(jié)構(gòu)工程師Castigliano于1873年提出的。下面以作用有n個集中力的簡支梁為例（圖8.3），證明該定理。對于圖8.3a所示的線彈性結(jié)構(gòu)（梁），由克拉貝隆原理（式（8-2）知其應(yīng)變能為給第i個力一微小增量：，其他力保持不變；同時各力相應(yīng)位移也會因此有微小的變化（圖8.3b），則外力功（數(shù)值上等于梁的應(yīng)變能）也會有

9、微小的增量，注意到在梁上各力的相應(yīng)位移發(fā)生微小變化時，各力（除外）都已是全值作用在梁上，由外力功計算此時梁的應(yīng)變能 （a）上式中最后一步應(yīng)用了克拉貝隆原理。在略去高階微量之后，應(yīng)變能的增量為 （b）若只考慮梁的最終變形，根據(jù)克拉貝隆原理（式（8-2），梁的應(yīng)變能為 （c）由式（a）和式（c），可得將上面的結(jié)果代入到式（b），有 （d）若將應(yīng)變能寫成外力的函數(shù) （e）給定微小的，其他力保持不變，則應(yīng)變能的微小增量又可表示為 （f）比較式（d）和式（f），可得式（8-11），即證明了卡氏第二定理。從以上過程可知，卡氏第二定理只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。二、卡氏第一定理對任意可變形固體，其應(yīng)變能也可寫成位移

10、的函數(shù) （g）若給第i個力的相應(yīng)位移以微小的增量，且設(shè)其他力及相應(yīng)位移均保持不變，在此過程中僅有力做功，則外力功（在數(shù)值上等于應(yīng)變能）的微小變化可表示為 （h）由式（g），應(yīng)變能的微小增量又可表示為 （i）比較式（h）和式（i），可得卡氏第一定理 （8-12）上式表明，應(yīng)變能對某一廣義外力的相應(yīng)位移的變化率，就等于該力。如在例8.3中將所得的應(yīng)變能求對位移的偏導(dǎo)數(shù)，即得外力三、互等定理將例題8.1的位移表達(dá)式改寫成如下形式, 其中，。圖8.4將上式中稱為影響系數(shù)或柔度系數(shù)，它的第一個下標(biāo)指明位移的發(fā)生點及方向；第二個下標(biāo)指明引起該位移所施加的單位力。如表示由（即單位力）在作用點引起的沿方向的位

11、移。上面的關(guān)系也具有普遍性，即，以下將證明之。考慮圖8.4所示的梁，先加后加，計算外力功。加后，1點沿方向的位移是，則做功；然后再加，2點沿方向的新增位移是（已有位移是），所以做功。由引起的、在作用點（1點）沿方向的新增位移是（已有位移是），而此時已是全值作用在梁上，故又要做功，則外力功由三部分組成若只考慮結(jié)構(gòu)變形后的最終狀態(tài)（圖b），力的相應(yīng)位移是（即梁上截面1總的撓度），力的相應(yīng)位移是（即梁上截面2總的撓度），根據(jù)克拉貝隆原理，外力功為比較以上兩式，可得 （8-13） 上式稱為功的互等定理，即結(jié)構(gòu)的第一力系在第二力系所引起的彈性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的彈性位移上所做的

12、功。在上式中消去公因子F1F2，得到 或 （8-14）上式稱為位移互等定理。功的互等定理和位移互等定理是兩個重要的定理，在固體力學(xué)和結(jié)構(gòu)分析中有重要作用，注意它們只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。在本章8.6節(jié)里，利用位移互等定理可以簡化高次超靜定問題的求解工作。例8.4 利用卡氏第二定理求圖8.8所示托架在鉛垂力F的作用下B點的水平位移和鉛垂位移。桿1和2的拉壓剛度均為EA。 例8.4圖解：由于B點的水平方向沒有受外力，直接用卡氏定理求解似乎不行。但對于此類問題，可在結(jié)構(gòu)上需要求位移的點及方向上設(shè)一虛外力，寫出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，再運用卡氏定理求出位移，最后在位移表達(dá)式中令所設(shè)虛力為零即可。因此為求B點水平位移

13、，在B點設(shè)一水平虛外力。由截面法求得桿1和桿2的軸力分別為，注意到，由式（8-4）求得結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U為 根據(jù)卡氏第二定理，得負(fù)號表示位移與所設(shè)虛力方向相反。例8.5 圖a所示置于水平平面內(nèi)、四分之一圓弧小曲率圓截面，在桿端A受鉛垂向下的力F作用，圓弧的半徑為R，桿的EI和均為常數(shù)，試求F的相應(yīng)位移。 例8.5圖解：曲桿（梁）軸線的曲率半徑與截面高度之比大于5的，稱為小曲率桿。對小曲率桿，計算方式與直梁類似，用卡氏第二定理求解時，只是將式（8-9）對長度的積分換成對圓弧段的積分，且有圓弧微段。桿任一橫截面B的位置用表示，并作輔助線，用平衡條件分別求出截面上的彎矩和扭矩（圖b）由卡氏第二定理，可求

14、出力F的相應(yīng)位移 例8.6圖a所示簡支梁在力F的作用下，截面B的轉(zhuǎn)角為。求同一簡支梁（圖b）在力偶m作用下，截面C的撓度。例8.6圖解：根據(jù)功的互等定理（式（8-13），有查附錄C得圖a所示梁截面B的轉(zhuǎn)角為（Q）由此得圖8.58.3 虛功原理 與外力保持平衡的內(nèi)力，稱為可能內(nèi)力。滿足位移邊界條件和變形連續(xù)條件的位移，稱為可能位移。對于靜定結(jié)構(gòu)，可能內(nèi)力就是真實內(nèi)力，但對于超靜定結(jié)構(gòu)，可能內(nèi)力有無限多種，其中只有同時滿足變形協(xié)調(diào)條件的內(nèi)力，才是真實內(nèi)力?，F(xiàn)以圖8.5所示懸臂梁的平面彎曲為例，導(dǎo)出可變形固體的虛功原理。首先給處于平衡的梁（圖8.5）一個假想的、充分小的可能位移，即虛位移（撓度），由

15、于它充分小，可以認(rèn)為對梁的真實內(nèi)力和沒有影響；同時虛撓度還必須滿足梁的約束（支承）邊界條件和變形連續(xù)性條件，且是x的連續(xù)函數(shù)。與推導(dǎo)剛體力學(xué)的虛功原理類似，從微段梁dx的平衡方程出發(fā)，將其等號兩邊乘以虛位移，然后遍積整個梁，即 （a）其意義是對于整個梁，平衡力系（內(nèi)力和外力）在虛位移上所做的總虛功為零。利用梁的平衡方程和虛位移應(yīng)滿足的協(xié)調(diào)條件或等關(guān)系，將上式左端中的第一個積分施行分部積分，即 （b）為了化簡式（b），還必須考慮梁兩端的邊界條件：在梁的自由端（），內(nèi)力應(yīng)滿足靜力邊界條件（平衡條件）， 在梁的固定端（），虛位移應(yīng)滿足位移邊界條件（幾何約束條件）， 結(jié)合以上邊界條件整理式（b），有

16、（c）將式（c）代入到式（a），得 （d）上式左端中的第一項是分部力q在虛撓度上所做的虛功，第二項是集中力F在梁自由端虛撓度上所做的虛功，合記為外力虛功式（d）的右端表示內(nèi)力M在虛變形（梁微段的虛相對轉(zhuǎn)角）上所做的虛功之和（不計剪力虛功，下同），記為內(nèi)力虛功（或稱虛應(yīng)變能）則式（d）又可寫為 （8-15）這就是可變形固體的虛功原理。它表明：在外力作用下處于平衡的梁（結(jié)構(gòu)），任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所作的虛功，等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛功。以能量守恒的觀點來看，虛功原理也可理解為外力虛功全部轉(zhuǎn)化為梁的虛應(yīng)變能。以上的推導(dǎo)過程，并未涉及到梁的物理關(guān)系，即應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，故虛功原理

17、不僅適用于線彈性體，而且適用于一般可變形固體，只要求虛位移是結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的、且充分小的位移。虛功原理不僅對單個桿件成立，可以證明它對桿系結(jié)構(gòu)或其他復(fù)雜結(jié)構(gòu)都成立（證明略）。若梁同時承受多種（拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)）類型的載荷，外力虛功一般可表示為 （e）而總的內(nèi)力虛功可表示為 （f）將以上兩式代入到式（8-15），有 （8-16）8.4 單位力法 圖乘法利用虛功原理可以建立求桿件或桿系結(jié)構(gòu)某點位移的一般方法單位力法。如前所述，滿足桿件的約束條件和變形連續(xù)條件的微小位移，包括實際外力（或外部作用）產(chǎn)生的位移，都可以作為虛位移（可能位移）。欲求桿件上某一點沿某一方向的實際位移，假想在該點處施加一個相應(yīng)的

18、單位力，桿件因單位力而產(chǎn)生的內(nèi)力記為、和。以實際載荷所引起的位移作為虛位移，則單位力在上作外力虛功而、和在虛變形（實際上是真實變形）、和上作內(nèi)力虛功，由虛功原理（式（8-16）可得 （8-17）上式建立了求解桿件某點位移的新方法，稱為單位力法。對于線彈性桿件，將式（8-3）、（8-5）和（8-7）代入上式，有 （8-18）上式又稱為莫爾定理，其中的積分稱為莫爾積分。應(yīng)用單位力法求位移時，必須弄清式（8-17）和（8-18）中各個量所代表的含義。、和以及、和是與實際載荷對應(yīng)的位移、變形和內(nèi)力；、和是在結(jié)構(gòu)上只作用單位力而引起的內(nèi)力。當(dāng)然位移和單位力都是廣義的。當(dāng)由單位力法求出的為正時，表示與單位

19、力的方向（或轉(zhuǎn)向）相同；為負(fù)表示兩者的方向相反。例題8.7圖例8.7 圖示矩形截面的懸臂梁，在自由端受橫力F作用。材料的物理關(guān)系為，c是材料常數(shù)。試計算其自由端的撓度和應(yīng)變能。解：本題利用單位力法求解。設(shè)梁中性層的曲率為，有， （a）根據(jù)平面假設(shè)，由可得梁橫截面上y處的縱向正應(yīng)變和正應(yīng)力分別為 （b）梁任一橫截面上的彎矩為 ，可依截面上的靜力關(guān)系求得曲率，即 （c）在梁的自由端作用一向上的單位力，將梁任一橫截面上的、及式（a）和（c）代入到式（8-17），求得自由端的撓度 由上式解出代入到式（8-1）中的積分式，用外力功計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能例8.8 平面直角剛架兩段的EI和EA分別相等（圖a），試

20、求C點的垂直位移。例8.8圖 解：用卡氏第二定理分析剛架時，要約定剛架彎矩的正負(fù)號。在本例中，約定使剛架內(nèi)側(cè)受壓的彎矩為正，受拉為負(fù)。在C點的垂直方向（待求位移的方向）加一單位力（圖b），寫出剛架兩段的實際彎矩、軸力（無扭矩）以及單位力引起的彎矩和軸力： ， ， ， ， 代入式（8-18），得 結(jié)果為正，表明的方向與所加單位力的方向一致，即向下。如果b=a，且兩桿都為圓截面（直徑為d）上式變?yōu)槔ㄌ栔械牡谝豁検怯捎趶澢鸬奈灰?，第二項是由于桿件軸向變形引起的位移，通常第二項遠(yuǎn)小于第一項（因為），所以在求剛架的位移時，一般都可略去軸力的影響。例8.9 圖a所示四分之一圓弧小曲率圓截面曲桿，圓弧的

21、半徑為R，EI和為常數(shù)，試求B截面的豎直位移和轉(zhuǎn)角。例8.9圖 解：對小曲率桿，仍可用式（8-18）求位移，只是將式中的dx換成微弧段ds。略去軸力和剪力的影響，注意到本例曲桿不受扭，莫爾定理（式（8-18）可寫成 為求，只需在B點加向下（亦可向上）的單位力（圖b），并約定使曲率增大的彎矩為正，則曲桿上任意橫截面（以度量）上的彎矩為，代入到式（a），注意，可求得 所得結(jié)果為正，表示的方向與所設(shè)單位力的方向相同，即實際向下。為求，只在B點加逆時轉(zhuǎn)向的單位力偶（圖c），任意截面上的彎矩為（它使曲梁的曲率變小，故為負(fù)）。利用式（a）得 （P）負(fù)號表示與所設(shè)單位力偶的轉(zhuǎn)向相反，即實際為順時轉(zhuǎn)向。單位力

22、的彎矩圖（或扭矩圖、軸力圖）一般都是直線型的，利用這一特點可以簡化莫爾積分的計算。以彎曲變形為例，設(shè)梁彎曲剛度EI為常數(shù)，于是 （a）將M圖的面積和形心坐標(biāo)分別記為和（圖8.6），將表示成直線 （b）代入到式（a）中的積分，有 （c）圖8.6其中。因此莫爾積分可寫成 （8-19）這種利用有關(guān)圖形的乘法運算來計算積分的方法，稱為圖乘法或圖形互乘法。應(yīng)當(dāng)注意：式（8-19）中的和都是代數(shù)量，若M圖和圖都畫在梁或剛架的同側(cè)，則乘積為正，反之為負(fù)；若M圖不光滑（不連續(xù)）、或圖是折線、或梁的EI發(fā)生變化，則必須分段應(yīng)用圖乘法求解。在應(yīng)用圖乘法計算位移時，要用到各種形狀的彎矩圖的幾何性質(zhì)，表8-1列出了幾

23、種常用圖形的面積和形心位置。表8-1幾種常用圖形的面積和形心位置三角形二次拋物線n次拋物線圖形面積形心 位置例8.10 求圖示變截面懸臂梁自由端的撓度。例8.10圖 解：先畫出圖（圖c）；然后畫出在懸臂梁自由端加向下的單位力所對應(yīng)的圖（圖d）。由于梁的AC和CB段的剛度不同，所以要分段計算。在AC段內(nèi)圖是一梯形，將其分解為一個矩形和一個三角形。在圖c上標(biāo)出與三塊圖（從左到右）的面積及其形心對應(yīng)的的值（圖d），即由式（8-17），于是有例8.11 直角剛架如圖a所示，其EI為常數(shù)。求截面C的轉(zhuǎn)角和豎直位移。例8.11圖解：剛架的彎矩圖，一般畫在剛架的受拉側(cè)。畫出結(jié)構(gòu)的M圖（圖b），BC、AB兩段

24、的面積為和；為求，只在C點加單位力偶并畫出圖（圖c）；為求，只在C點加單位力并畫出圖（圖d）；并在兩個圖上標(biāo)出與和形心對應(yīng)的值。如果M圖和圖都在桿件的同側(cè)，則它們的圖乘結(jié)果為正。將圖b和圖c相乘得到截面C的轉(zhuǎn)角 （P）將圖b和圖d相乘，注意到這兩個彎矩圖分別在剛架的外、內(nèi)側(cè)，得截面C的豎直位移例8.12求圖中所示簡支梁跨中C的撓度。解：此例中圖為兩段斜直線，可分段應(yīng)用圖乘法，然后相加。注意到內(nèi)力圖的對稱性，有例8.12圖 8.5 超靜定問題 力法正則方程前面幾章都討論了超靜定問題的解法，本節(jié)將以例題討論用能量方法解決該問題，主要介紹力法。例8.12 如圖a所示的一次超靜定梁， EI為常數(shù)，試求

25、B端的約束反力。例題8.12圖 解：首先選擇B支座為多余約束，將其去掉并加上相應(yīng)的約束反力得靜定基（基本結(jié)構(gòu)），如圖b所示的懸臂梁。靜定基的選擇是任意的，例如也可取簡支梁為本例的靜定基（圖c）。在靜定基上作用有外載F和代替支座B的約束反力（下標(biāo)“1”表示只有一個未知力）。因B點撓度為零，所以變形協(xié)調(diào)方程為： 其中，表示單獨作用在靜定基上時，B點沿方向的位移（撓度）；表示只有外載作用在靜定基上時，B點沿方向的位移。引入影響系數(shù)，即，代入上式，得 （8-20）這種以未知力（）為求解對象的方法，稱為力法。上式為求解一次超靜定結(jié)構(gòu)的通用方程，稱為力法正則方程。式中的和可利用單位力法或圖乘法等方法先計算

26、出來，再由以上方程解出未知力。畫出只作用在靜定基上的彎矩圖（圖d），面積為，形心處的值為，用圖乘法求出將外力F作用在靜定基上的圖（圖e）與圖（圖d）相乘求出代入正則方程（8-20），求得支座B的約束反力為 例8.13圖例8.13簡支梁AB，其跨中作用有橫力F，因剛度不足，用圖示三桿加強。已知梁的彎曲剛度為EI，各桿的拉壓剛度均為EA，且。試求梁跨中截面C的撓度。解：顯然本題為1次（內(nèi)力）超靜定。設(shè)以桿1 為多余桿，將其切開，以其軸力（即未知拉力）代替，得靜定基如圖b所示。其力法正則方程為 （a）其物理意義為桿1在切口處的軸向相對位移應(yīng)為零。因為結(jié)構(gòu)中有梁和桿，且各桿的軸力是常值，則上式中的系數(shù)

27、為 在靜定基只作用單位力時（即圖b中），畫出圖（圖c）并求得在靜定基只作用外力F時（即圖b中），畫出圖（圖d）并求得由此，并注意到，求得， 根據(jù)圖乘法，將圖自乘、圖與圖互乘分別得到將它們代入到式（a），并注意到（題意），求解正則方程，得（拉）將圖c的倍與圖d疊加后，得到梁的M圖（圖e）。為求截面C的撓度，只需在靜定基上加單位力（圖f），此時梁的圖如圖c所示，且各桿的軸力均為零。將M圖（圖e）和圖（圖c）相乘得截面C的撓度，即例8.14圖例8.14 圖a是一平面封閉框架，其彎曲剛度為EI，試作其彎矩圖。解：封閉框架受面內(nèi)力系作用時，任一橫截面上有未知的彎矩、剪力和軸力，所以這種封閉系統(tǒng)一般是三次

28、超靜定。沿水平中線AB截開框架（圖b），注意到框架結(jié)構(gòu)及載荷關(guān)于水平中線AB對稱（此類問題稱為對稱問題或?qū)ΨQ系統(tǒng)），所以對稱軸上截面A、B的剪力，由平衡條件求出軸力，該結(jié)構(gòu)的多余內(nèi)力只有一個，即未知彎矩。靜定基如圖c所示。力法正則方程為在靜定基只作用單位力時（即圖c中），畫出圖（圖d）；在靜定基只作用外力F時（即圖c中），畫出圖（圖e）。、依圖乘法，將圖自乘、圖與圖互乘分別得到 代入正則方程，求得 負(fù)號表示與所設(shè)的方向相反。疊加后，框架的彎矩為，圖f是結(jié)構(gòu)上半部分的彎矩圖，下半部分與之對稱。若，則。依上題同樣的方法，也可求得AB兩截面的水平相對位移（請讀者完成計算過程） （靠攏）如果是n次超靜

29、定結(jié)構(gòu)，有n個未知內(nèi)力（或約束反力），力法正則方程為一n階方程組 （8-21）其中系數(shù)和可由單位力法或圖乘法等方法求出，其間利用位移互等定理，不必對每個都進行計算，可減少部分工作量。解方程（8-21）就可以求出全部的未知力。8.6 沖擊應(yīng)力沖擊應(yīng)力是結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊載荷而產(chǎn)生的應(yīng)力。沖擊載荷是與時間有關(guān)的載荷，但作用在結(jié)構(gòu)上的時間非常短促。例如下落的重物對結(jié)構(gòu)的沖擊；河里流動的浮冰對橋墩或船體的撞擊；傳動軸緊急制動時，飛輪的慣性對軸的作用等，都屬于沖擊載荷。精確的分析沖擊問題比較困難，本節(jié)將以能量的觀點對沖擊應(yīng)力進行初步分析。下面以例題研究彈性體受重物撞擊時的應(yīng)力。為了簡化計算，作如下的三個假定：

30、（1）將撞擊物視為剛體，忽略彈性體的重量，撞擊后兩者連成一體；（2）撞擊時應(yīng)力立即就傳播到彈性體的各個部分；（3）撞擊時只考慮動能和勢能的轉(zhuǎn)化，不計其他形式的能量耗散。例8.15圖a、b分別表示不同支承方式的鋼梁，有重量均為P的物體自高度H自由下落至梁AB的跨中C點，已知支撐彈簧（圖b）的剛度系數(shù)，鋼梁的慣性矩，截面系數(shù)（模量），彈性模量E=200GPa，試求兩種情況下鋼梁的沖擊應(yīng)力。解：設(shè)重物與梁撞擊后其速度迅速變?yōu)榱?，梁的變形保持為線彈性。這時，彈性體所受的沖擊載荷及相應(yīng)動位移（梁C截面的動撓度）均達(dá)到最大值（圖a），根據(jù)能量守恒，撞擊物A下落時的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為撞擊后梁的應(yīng)變能（彈性勢

31、能）U，即例8.15圖 （8-22）在簡支梁AB跨中作用的沖擊力（圖a），可由相應(yīng)位移（動撓度）表示之（查附錄C） 代入到式（8-22），有 或 （a）將梁受靜載荷P作用下的靜變形（梁截面C的靜撓度） 代入到上式，有 （b）解以上方程，求得梁截面C的沖擊動位移（動撓度） （8-23）其中 （8-24）稱為動載系數(shù)。而沖擊載荷、沖擊應(yīng)力分別為 （8-25）將本題的已知數(shù)值代入，求得截面C的靜撓度和動載系數(shù)分別為 靜載下鋼梁的最大彎曲正應(yīng)力為 由式（8-25）求得梁的最大沖擊應(yīng)力為 對于圖b，梁截面C的靜撓度應(yīng)包括彈簧引起的靜變形，其值和動載系數(shù)分別為 靜載下圖b所示梁的最大彎曲應(yīng)力與圖a的相同，

32、所以最大沖擊應(yīng)力為 由此可以看出，圖b采用彈簧支座，使得系統(tǒng)的剛度減小，靜位移增大，從而使動載系數(shù)減小，這是一種減小沖擊應(yīng)力的有效方法。若（即在突加載荷的情況下），則式（8-24）變?yōu)?由此可知，當(dāng)載荷突然作用時，彈性體的應(yīng)力和變形比同一靜載時的應(yīng)力和變形均增大一倍。若重量為P的物體以速度v從水平方向撞擊彈性體，根據(jù)能量守恒，撞擊時重物的動能全部轉(zhuǎn)化為撞擊后彈性體的應(yīng)變能，即上式中的第二個等式是考慮了式（8-21）和（8-23），g是重力加速度。由上式可得 （8-26）上式中彈性體的靜位移是其受撞點、在水平作用力（大小等于P）下的相應(yīng)位移。例8.16 如圖所示圓截面軸AB，B端裝有飛輪，軸與飛

33、輪以角速度等速轉(zhuǎn)動，飛輪對旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軸的直徑為d。試計算當(dāng)軸的A端突然被剎住時軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。軸的轉(zhuǎn)動慣量與飛輪的變形均忽略不計。 解：當(dāng)A端突然被剎住時，飛輪因慣性繼續(xù)轉(zhuǎn)動一角度后轉(zhuǎn)速才變?yōu)榱恪Ｋ?，根?jù)能量守恒定律，飛輪減少的動能等于軸在轉(zhuǎn)速為零時的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能，即式中，代表轉(zhuǎn)速為零時飛輪作用在軸上的扭轉(zhuǎn)力偶矩，即慣性力偶矩。由上式得 例8.16圖所以，軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為 除了沖擊問題，能量法還用于求結(jié)構(gòu)的近似解（略）和壓桿的臨界載荷（見9.6節(jié)）等。思 考 題8-1 不論是用外力功，還是用內(nèi)力功來計算應(yīng)變能時，為什么都有系數(shù)“1/2”？虛功原理（8-16）或單位力法的公式（8-18）中為什么沒有系數(shù)“1/2”？8-2 用卡氏第二定理求結(jié)構(gòu)的變形有什么局限性？該定理成立的條件是什么？由該定理能否導(dǎo)出單位載荷法的公式？8-3 對第六章的應(yīng)變能密度進行體積積分，所求應(yīng)變能是否與本章的結(jié)果相同？舉例說明。8-4 若梁某一段的M圖和圖均為斜直線，應(yīng)用圖乘法時，可否將兩者的位置對換？8-5求解超靜定結(jié)構(gòu)某點的位移，在確定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力后，可以在靜定基上求對應(yīng)點的位移，為什么可以這樣做？習(xí) 題習(xí)題8-1圖8-1 圖示各圓截面桿，材料的彈性系數(shù)E都相同，試計算各桿的應(yīng)變能。習(xí)題8-1圖習(xí)題8-2圖8-2 試計算圖示各結(jié)構(gòu)的應(yīng)