中考數(shù)學專題：一次函數(shù)與二元一次方程組問題(解析版)

1、專題02 一次函數(shù)與二元一次方程組問題【知識點總結】一、二元一次方程與一次函數(shù)的關系若k，b表示常數(shù)且k0，則ykxb為二元一次方程，有無數(shù)個解；將其變形可得ykxb，將x，y看作自變量、因變量，則ykxb是一次函數(shù)事實上，以方程ykxb的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)ykxb的圖象相同二、用圖象法求二元一次方程組的近似解用圖象法求二元一次方程組的近似解的一般步驟：1、先把方程組中兩個二元一次方程轉化為一次函數(shù)的形式：y1k1xb1和y2k2xb2；2、建立平面直角坐標系，畫出兩個一次函數(shù)的圖象；3、寫出這兩條直線的交點的橫縱坐標，這兩個數(shù)的值就是二元一次方程組的解中的兩個數(shù)值，橫坐標是x，

2、縱坐標是y.三、利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標因此一次函數(shù)與二元一次方程組有密切聯(lián)系利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式的一般步驟如下：1、寫出函數(shù)表達式：一次函數(shù)ykxb；2、把已知條件代入，得到關于k，b的方程組；3、解方程組，求出k，b的值，寫出其表達式【針對訓練】1、在平面直角坐標系中，已知點A（x，y），點B（xmy，mxy）（其中m為常數(shù)，且m0），則稱B是點A的“m族衍生

3、點”例如：點A（1，2）的“3族衍生點”B的坐標為（132，312），即B（5，1）（1）點（2，0）的“2族衍生點”的坐標為 ；（2）若點A的“3族衍生點”B的坐標是（1，5），則點A的坐標為 ；（3）若點A（x，0）（其中x0），點A的“m族衍生點“為點B，且ABOA，求m的值；（4）若點A（x，y）的“m族衍生點”與“m族衍生點”都關于y軸對稱，則點A的位置在 解：（1）點（2，0）的“2族衍生點”的坐標為（220，220），即（2，4），故答案為（2，4）；（2）設點A坐標為（x，y），由題意可得：，點A坐標為（2，1）；（3）點A（x，0），點A的“m族衍生點“為點B（x，mx），A

4、B|mx|，ABOA，|x|mx|，m1；（4）點A（x，y），點A（x，y）的“m族衍生點”為（xmy，mxy），點A（x，y）的“m族衍生點”為（x+my，mxy），點A（x，y）的“m族衍生點”與“m族衍生點”都關于y軸對稱，x0，點A在y軸上，故答案為：y軸上2、閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖：在ABC中，ACB90，ACBC，分別過A、B向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結論：ADCCEB（1）探究問題：如果ACBC，其他條件不變，如圖，可得到結論；ADCCEB請你說明理由（2）學

5、以致用：如圖，在平面直角坐標系中，直線yx與直線CD交于點M（2，1），且兩直線夾角為，且tan，請你求出直線CD的解析式（3）拓展應用：如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC5，點E為BC邊上一個動點，連接BE，將線段AE繞點E順時針旋轉90，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連接PC，PD若DPC為直角三角形時，請你探究并直接寫出BE的長解：（1）理由：ACB90，ACDBCE90，又ADC90，ACD+DAC90，BCEDAC，且ADCBEC90，ADCCEB；（2）如圖，過點O作ONOM交直線CD于點N，分別過M、N作MEx軸NFx軸，由（1）可得：NFOOEM，點M（2，1）

6、，OE2，ME1，tan，NF3，OF，點N（，3），設直線CD表達式：ykx+b，直線CD的解析式為：yx+；（3）當CDP90時，如圖，過點P作PHBC，交BC延長線于點H，ADC+CDP180，點A，點D，點P三點共線，BAPBH90，四邊形ABHP是矩形，ABPH3，將線段AE繞點E順時針旋轉90，AEEP，AEP90，AEBPEH90，且BAE+AEB90，BAEPEH，且BH90，AEEP，ABEEHP（AAS），BEPH3，當CPD90時，如圖，過點P作PHBC，交BC延長線于點H，延長HP交AD的延長線于N，則四邊形CDNH是矩形，CDNH3，DNCH，設BEx，則EC5x，將

7、線段AE繞點E順時針旋轉90，AEEP，AEP90，AEBPEH90，且BAE+AEB90，BAEPEH，且BEHP90，AEEP，ABEEHP（AAS），PHBEx，ABEH3，PN3x，CH3（5x）x2DN，DPC90，DPN+CPH90，且CPH+PCH90，PCHDPN，且NCHP90，CPHPDH，x點P在矩形ABCD外部，x，BE，綜上所述：當BE的長為3或時，DPC為直角三角形3、如圖，在平面直角坐標系中，直線ykx+b與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點B；直線yx+6過點B和點C，且ACx軸點M從點B出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿y軸向點O運動，同時點N從點A出發(fā)以每秒3

8、個單位長度的速度沿射線AC向點C運動，當點M到達點O時，點M、N同時停止運動，設點M運動的時間為t（秒），連接MN（1）求直線ykx+b的函數(shù)表達式及點C的坐標；（2）當MNx軸時，求t的值；（3）MN與AB交于點D，連接CD，在點M、N運動過程中，線段CD的長度是否變化？如果變化，請直接寫出線段CD長度變化的范圍；如果不變化，請直接寫出線段CD的長度解：（1）ACx軸，點A（5，0），點C的橫坐標為5，對于yx+6，當x5時，y5+610，對于x0，y6，點C的坐標為（5，10），點B的坐標為（0，6），直線ykx+b與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點B（0，6），則，解得，直線ykx+

9、b的函數(shù)表達式為yx+6，綜上所述，直線ykx+b的函數(shù)表達式為yx+6，點C的坐標為（5，10）；（2）由題意得，BM2t，AN3t，OM62t，OMAN，MNx軸，四邊形MOAN為平行四邊形，OMAN，62t3t，解得，t，當MNx軸時，t；（3）線段CD的長度不變化，理由如下：過點D作EFx軸，交OB于E，交AC于F，EFx軸，BMAN，AOE90，四邊形EOAF為矩形，EFOA5，EOFA，BMAN，BDMADN，EF5，DE2，DF3，BMAN，BDEADF，OB6，EOFA，CFACFA，CD4、如圖，直線y2x+8分別交x軸，y軸于點A，B，直線yx+3交y軸于點C，兩直線相交于

10、點D（1）求點D的坐標；（2）如圖2，過點A作AEy軸交直線yx+3于點E，連接AC，BE求證：四邊形ACBE是菱形；（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在線段BC上，點G在線段AB上，連接CG，F(xiàn)G，當CGFG，且CGFABC時，求點G的坐標解：（1）根據(jù)題意可得：，解得：點D坐標（2，4）（2）直線y2x+8分別交x軸，y軸于點A，B，點B（0，8），點A（4，0），直線yx+3交y軸于點C，點C（0，3），AEy軸交直線yx+3于點E，點E（4，5）點B（0，8），點A（4，0），點C（0，3），點E（4，5），BC5，AE5，AC5，BE5，BCAEACBE，四邊形ACBE是菱形；（3

11、）BCAC，ABCCAB，CGFABC，AGFABC+BFGAGC+CGFAGCBFG，且FGCG，ABCCAB，ACGBGF（AAS）BGAC5，設點G（a，2a+8），（2a+88）2+（a0）252，a，點G在線段AB上a，點G（，82）5、如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1：yx+2與x軸交于點A，直線l2：y3x6與x軸交于點D，與l1相交于點C（1）求點D的坐標；（2）在y軸上一點E，若SACESACD，求點E的坐標；（3）直線l1上一點P（1，3），平面內(nèi)一點F，若以A、P、F為頂點的三角形與APD全等，求點F的坐標解：（1）直線l2：y3x6與x軸交于點D，令y0，則3x

12、60，x2，D（2，0）；（2）如圖1，直線l1：yx+2與x軸交于點A，令y0x+20，x2，A（2，0），由（1）知，D（2，0），AD4，聯(lián)立直線l1，l2的解析式得，解得，C（4，6），SACDAD|yC|4612，SACESACD，SACE12，直線l1與y軸的交點記作點B，B（0，2），設點E（0，m），BE|m2|，SACEBE|xCxA|m2|4+2|4|m2|12，m2或m6，點E（0，2）或（0，6）；（3）如圖2，當點F在直線l1上方時，以A、P、F為頂點的三角形與APD全等，、當APFAPD時，連接DF，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（2，0），D（2，

13、0），OBOAOD，ABODBO45，ABD90，DBl1，APFAPD，PFPD，AFAD，直線l1是線段DF的垂直平分線，點D，F(xiàn)關于直線l1對稱，DFl1，DF過點B，且點B是DF的中點，F(xiàn)（2，4），、當PAFAPD時，PFAD，APFPAD，PFAD，點D（2，0），A（2，6），點D向左平移4個單位，點P向左平移4個單位得，F(xiàn)（14，6），F(xiàn)（3，3），當點F在直線l1下方時，PAFAPD，由知，PAFAPD，PAFPAF，AFAF，PFPF，點F與點F關于直線l1對稱，F(xiàn)Fl1，DFl1，F(xiàn)FDF，而點F（2，4）先向左平移一個單位，再向下平移一個單位，D（2，0），向左平移1個

14、單位，再向下平移一個單位得F（21，01），F(xiàn)（1，1），即：點F的坐標為（3，3）或（2，4）或（1，1）6、如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（2，0），點B（4，3）（1）求直線AB的函數(shù)表達式；（2）點P是線段AB上的一點，當SAOP：SAOB2：3時，求點P的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段AB繞點A順時針旋轉120，點B落在點C處，連結CP，求APC的面積，并直接寫出點C的坐標解：（1）設直線AB的函數(shù)表達式為ykx+b，點A（2，0），點B（4，3），解得：，直線AB的函數(shù)表達式為yx+1；（2）過B作BEx軸于E，過P作PDx軸于D，PDBE，SAOP：SAOB

15、2：3，點B（4，3），BE3，PDBE，APDABE，PD2，當y2時，x2，P（2，2）；（3）點A（2，0）、點B（4，3），點P（2，2），則AP2，ABCA3，過點P作HPAC交AC的延長線于點H，則AHAP，PHAPsin60，APC的面積ACPH3；設點C（x，y），則PC2PH2+HC215+（+3）295（x+2）2+（y2）2，CA245（x2）2+y2，聯(lián)立并解得：x，y，故點C（，）7、如圖，正方形AOBC的邊長為2，點O為坐標原點，邊OB，OA分別在x軸，y軸上，點D是BC的中點，點P是線段AC上的一個點，如果將OA沿直線OP對折，使點A的對應點A恰好落在PD所在直線

16、上（1）若點P是端點，即當點P在A點時，A點的位置關系是 ，OP所在的直線是 ，當點P在C點時，A點的位置關系是 ，OP所在的直線表達式是 （2）若點P不是端點，用你所學的數(shù)學知識求出OP所在直線的表達式（3）在（2）的情況下，x軸上是否存在點Q，使DPQ的周長為最小值？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）由軸對稱的性質(zhì)可得，若點P是端點，即當點P在A點時，A點的位置關系是點A，OP所在的直線是y軸；當點P在C點時，AOCBOC45，A點的位置關系是點B，OP所在的直線表達式是yx故答案為：A，y軸；B，yx（2）連接OD，正方形AOBC的邊長為2，點D是BC的中點，由折疊

17、的性質(zhì)可知，OAOA2，OAD90AD1設點P（x，2），PAx，PC2x，CD1（x+1）2（2x）2+12解得x所以P（，2），OP所在直線的表達式是y3x（3）存在若DPQ的周長為最小，即是要PQ+DQ為最小點D關于x軸的對稱點是D（2，1），設直線PD的解析式為ykx+b，解得，直線PD的函數(shù)表達式為yx+當y0時，x點Q（，0）8、如圖1，直線yx+b分別與x軸，y軸交于A（6，0），B兩點，過點B的另一直線交x軸的負半軸于點C，且OB：OC3：1（1）求直線BC的解析式；（2）直線yaxa（a0）交AB于點E，交BC于點F，交x軸于點D，是否存在這樣的直線EF，使SBDESBDF？

18、若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點P為A點右側x軸上一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形BPQ，連接QA并延長交y軸于點K當P點運動時，K點的位置是否發(fā)生變化？若不變，求出它的坐標；如果會發(fā)生變化，請說明理由解：（1）直線yx+b分別與x軸交于A（6，0），b6，直線AB的解析式是：yx+6，B（0，6），OB6，OB：OC3：1，OC2，C（2，0）設BC的解析式是ykx+b，解得，直線BC的解析式是：y3x+6；（2）存在理由如下：如圖1中，SBDFSBDE，只需DFDE，即D為EF中點，點E為直線AB與EF的交點，點E（，）點F為直線BC與

19、EF的交點，點F（，）D為EF中點，+，a0舍去，a（3）K點的位置不發(fā)生變化理由如下：如圖2中，過點Q作CQx軸，設PAm，POBPCQBPQ90，OPB+QPC90，QPC+PQC90，OPBPQC，PBPQ，BOPPCQ（AAS），BOPC6，OPCQ6+m，ACQC6+m，QACOAK45，OAOK6，K（0，6）9、如圖，在平面直角坐標系中，直線y2x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于點C，且ABBC（1）求直線BC的解析式；（2）點P為線段AB上一點，點Q為線段BC延長線上一點，且APCQ，PQ交x軸于N，設點Q橫坐標為m，PBQ的面積為S，求S與m的函數(shù)關系

20、式（不要求寫出自變量m的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，點M在y軸負半軸上，且MPMQ，若BQM45，求直線PQ的解析式解：（1）直線y2x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，點B（0，8），點A（4，0）AO4，BO8，ABBC，BOAC，AOCO4，點C（4，0），設直線BC解析式為：ykx+b，由題意可得：解得：直線BC解析式為：y2x+8；（2）如圖1，過點P作PGAC，PEBC交AC于E，過點Q作HQAC，ABCB，BACBCA，點Q橫坐標為m，點Q（m，2m+8）HQ2m8，CHm4，APCQ，BACBCAQCH，AGPQHC90，AGPCHQ（AAS），AGHCm4，PGHQ

21、2m8，PEBC，PEAACB，EPFCQF，PEAPAE，APPE，且APCQ，PECQ，且EPFCQF，PFECFQ，PEFQCF（AAS）SPEFSQCF，PBQ的面積四邊形BCFP的面積+CFQ的面積四邊形BCFP的面積+PEF的面積四邊形PECB的面積，SSABCSPAE88（2m8）（2m8）16m2m2；（3）如圖2，連接AM，CM，過點P作PEAC，ABBC，BOAC，BO是AC的垂直平分線，AMCM，且APCQ，PMMQ，APMCQM（SSS）PAMMCQ，BQMAPM45，AMCM，ABBC，BMBM，ABMCBM（SSS）BAMBCM，BCMMCQ，且BCM+MCQ180

22、，BCMMCQPAM90，且APM45，APMAMP45，APAM，PAO+MAO90，MAO+AMO90，PAOAMO，且PEAAOM90，AMAP，APEMAO（AAS）AEOM，PEAO4，2m84，m6，Q（6，4），P（2，4）設直線PQ的解析式為：yax+c，解得：直線PQ的解析式為：yx+210、已知：在平面直角坐標系中，直線yx+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是x軸正半軸上一點，ABAC，連接BC（1）如圖1，求直線BC解析式；（2）如圖2，點P、Q分別是線段AB、BC上的點，且APBQ，連接PQ若點Q的橫坐標為t，BPQ的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量

23、取值范圍；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是線段OA上一點，連接BE，將ABE沿BE翻折，使翻折后的點A落在y軸上的點H處，點F在y軸上點H上方EHFH，連接EF并延長交BC于點G，若BGAP，連接PE，連接PG交BE于點T，求BT長解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，ABAC，AC5，C（2，0），設BC的直線解析式為ykx+b，將點B與點C代入，得，BC的直線解析式為y2x+4；（2）過點Q作MQy軸，與y軸交于點M，過點Q作QEAB，過點C作CFAB，Q點橫坐標是 t，MQt，MQOC，BQt，APBQ，APt，AB5，PB5t，在等腰三角形ABC中，ACAB5，BC2，ABCFACOB，CFOB4，EQCFEQ2t，S（5t）（0t2）；（3）如圖3，將ABE沿BE翻折，使翻折后的點A落在y軸上的點H處，AHAB5，AEEH