§3 矩陣乘積的行列式與秩_第1頁
§3 矩陣乘積的行列式與秩_第2頁
§3 矩陣乘積的行列式與秩_第3頁
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文檔簡介

1、§3 矩陣乘積的行列式與秩一、方陣的行列式1、定義：由n階方陣的元素所構(gòu)成的n階行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或.注意： 方陣與其行列式不同，前者為數(shù)表，后者為數(shù)值。2、運算律：（1） (行列式性質(zhì)1)（2） （為n階方陣，注意它與的區(qū)別）（3） （注意：對于n階方陣A、B，一般，但都有）例8、 設(shè) ， 求.解 ：（法一） 。（法二） 二 矩陣的和與積的秩命題 矩陣的運算與秩的關(guān)系滿足如下性質(zhì)（其中均為數(shù)域上的矩陣，為中的元素）：（1） 若，則rr；（2） rr；（3） rrr證明 （1）和（2）顯然成立。關(guān)于（3），由矩陣的秩的定義，只需要證明的列向量組的秩小于

2、等于的列向量組的秩加上的列向量組的秩即可。的列項量可以被和的所有列向量線性表出，于是的秩小于等于所有列向量的所組成的向量組的秩，小于等于秩的和。于是命題成立。命題 設(shè)分別為矩陣和一個矩陣，則rminrr證明 由矩陣乘法的定義，有.的列向量（記為）可表示為，（），于是每一個列向量都可以寫成的列向量組的線性組合，故rr；同理可證，rr，于是rminrr。命題 rrr.證明 記，設(shè)的列向量為，則的列向量可以表示為 . （1）設(shè)的列向量的一個極大線性無關(guān)部分組為，任取的一個列向量，存在，使得， 將（1）式代入，得到，于是是方程組的一個特解。設(shè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，由線性方程組理論知，方程的解可以表示為，其中，由，是方程的解，

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