三年高考高考數(shù)學試題分項解析專題導數(shù)的幾何意義理含解析

1、專題06 導數(shù)的幾何意義 考綱解讀明方向考點內(nèi)容解讀要求?？碱}型預測熱度1.導數(shù)的概念與幾何意義1.了解導數(shù)概念的實際背景2.理解導數(shù)的幾何意義選擇題、填空題2.導數(shù)的運算1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導數(shù)2.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)選擇題、解答題本部分主要是對導數(shù)概念及其運算的考查,以導數(shù)的運算公式和運算法則為基礎(chǔ),以導數(shù)的幾何意義為重點.1.導數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點的坐標,或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等.2.導數(shù)的運算

2、是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導數(shù)的應(yīng)用時與單調(diào)性、極值與最值結(jié)合出題考查.3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.2018年高考全景展示1.【2018年理新課標I卷】設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為A. B. C. D. 【答案】D點睛：該題考查的是有關(guān)曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導公式求得，借助于導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果.2【2018年全國卷理】曲線在點處的切線的斜率為，則_【答案】【解析】分析：

3、求導，利用導數(shù)的幾何意義計算即可。詳解：，則，所以，故答案為-3.點睛：本題主要考查導數(shù)的計算和導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。3【2018年理數(shù)全國卷II】曲線在點處的切線方程為_【答案】【解析】分析：先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.4.【2018年理數(shù)天津卷】已知函數(shù)，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點 處的切線平行，證明；（III）證明當時，存在直線

4、l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】()單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；()證明見解析；()證明見解析.【解析】分析：（I）由題意可得.令，解得x=0.據(jù)此可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）曲線在點處的切線斜率為.曲線在點處的切線斜率為.原問題等價于.兩邊取對數(shù)可得.（III）由題意可得兩條切線方程分別為l1：.l2：.則原問題等價于當時，存在，使得l1和l2重合.轉(zhuǎn)化為當時，關(guān)于x1的方程存在實數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，令，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，據(jù)此可證得存在實數(shù)t，使得，則題中的結(jié)論成立.詳解：（I）由已知，有.令，解得x=0.由a>1

5、，可知當x變化時，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）由，可得曲線在點處的切線斜率為.由，可得曲線在點處的切線斜率為.因為這兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.（III）曲線在點處的切線l1：.曲線在點處的切線l2：.要證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，使得l1和l2重合.即只需證明當時，方程組有解，由得，代入，得. 因此，只需證明當時，關(guān)于x1的方程存在實數(shù)解.設(shè)函數(shù)，即要證明當時，函數(shù)存在零點.，可知時，；時，單調(diào)遞減，又，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調(diào)

6、遞增，在上單調(diào)遞減. 在處取得極大值.因為，故，所以.下面證明存在實數(shù)t，使得.由（I）可得，當時，有，所以存在實數(shù)t，使得，因此，當時，存在，使得.所以，當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生

7、活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5【2018年理北京卷】設(shè)函數(shù)=（）若曲線y= f（x）在點（1，）處的切線與軸平行，求a；（）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍【答案】(1) a的值為1 (2) a的取值范圍是（，+）（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a>，則當x(，2)時，f (x)<0；當x(2，+)時，f (x)>0所以f (x)<0在x=2處取得極小值若a，則當x(0，2)時，x2<0，ax1x1<0，所以f (x)>0所以2不是f (x)的極小值點綜上可知，a的取值范圍是（，+）點

8、睛：利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解.2017年高考全景展示1.【2017山東，理20】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.【答案】（）.（）綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

9、函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是；極小值是.試題解析：（）由題意又，所以，因此 曲線在點處的切線方程為，即 .（）由題意得 ，因為，令則所以在上單調(diào)遞增.因為所以 當時，當時，(1)當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以 當時取得極小值，極小值是 ；(2)當時，由 得 ，當時，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以 當時取得極大值.極大值為，當時取到極小值，極小值是 ；當時，所以 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當時，所以 當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以 當時取得極大值，極大值是；當時取得極小值.極小值是.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

10、函數(shù)有極小值，極小值是；當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是；極小值是.【考點】1.導數(shù)的幾何意義.2.應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值.3.分類討論思想.【名師點睛】1.函數(shù)f (x)在點x0處的導數(shù)f (x0)的幾何意義是曲線yf (x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yy0f (x0)(xx0)注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同2. 本題主要考查導數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極

11、值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎(chǔ)，恰當分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.2.【2017北京，理19】已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】（）設(shè)，則.當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【考點】1.導數(shù)的幾何意義；2.利用導數(shù)求函數(shù)的最值.【名師點睛】這道導數(shù)題并不難

12、，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點是需要求二階導數(shù)，因為不能判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導數(shù)，設(shè) ，再求，一般這時就可求得函數(shù)的零點，或是恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值，從而判斷的單調(diào)性，求得最值.2016年高考全景展示1. 【2016高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】試題分析：由函數(shù)的圖象在兩點處的切線互相垂直可知，存在兩點處的切線斜率的積，即導函數(shù)值的乘積為負一.當時，有，所以在函數(shù)圖象存在兩點使條件成立，故A正確；函

13、數(shù)的導數(shù)值均非負，不符合題意，故選A.考點：1.導數(shù)的計算；2.導數(shù)的幾何意義.【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、導數(shù)的幾何意義及兩直線的位置關(guān)系，本題給出常見的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，突出了高考命題注重基礎(chǔ)的原則.解答本題，關(guān)鍵在于將直線的位置關(guān)系與直線的斜率、切點處的導數(shù)值相聯(lián)系，使問題加以轉(zhuǎn)化，利用特殊化思想解題，降低難度.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用等.2. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則PAB

14、的面積的取值范圍是( )（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由導數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點為，故選A考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍.【名師點睛】本題首先考查導數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設(shè)出切點坐標，利用切線垂直求出這兩點的關(guān)系，同時得出切線方程，從而得點坐標，由兩直線相交得出點坐標，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎(chǔ)，簡單而實用3.【2016高考新課標3理數(shù)】已知為偶函數(shù)，當時，則曲線在點處的切線方程是_【答案】考點：1、函數(shù)的奇偶性與解析式；2、導數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為4.【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（），；（2）的單調(diào)