五年真題匯編 第十章：計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布

1、五年高考真題分類匯編：計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布五年高考真題分類匯編：計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列列一一.選擇題選擇題1 （2013福建高考理）滿足 a，b1,0,1,2，且關(guān)于 x 的方程 ax22xb0 有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為 ()A14 B13 C12 D10【解析】選 B本題考查集合、方程的根、計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的綜合能力因為 a，b1,0,1,2，可分為兩類：當(dāng) a0 時，b 可能為1 或 1 或 0 或 2，即b 有 4 種不同的選法；當(dāng) a0 時，依題意得 44ab0，所以 ab1.當(dāng) a1 時，b 有 4 種不同的選法，當(dāng) a1 時，b

2、可能為1 或 0 或 1，即 b 有 3 種不同的選法，當(dāng)a2 時，b 可能為1 或 0，即 b 有 2 種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，(a，b)的個數(shù)共有 443213.2 （2013遼寧高考理）使n(nN)的展開式中含有常數(shù)項的最小的 n 為 ()(3x1x x)A4 B5 C6 D7【解析】選 B本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和簡單的計算問題，求解過程中注意展開式的通項公式應(yīng)用的準(zhǔn)確性由二項式定理得，Tr1C (3x)nrrC 3nrxn r，令r n(1x x)r n52n r0，當(dāng) r2 時，n5，此時 n 最小523 （2013新課標(biāo)高考理）設(shè) m 為正整數(shù)，(xy)2m展開式的

3、二項式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為 b，若 13a7b，則 m ()A5 B6 C.7 D.8【解析】選 B本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，意在考查考生對二項式系數(shù)的性質(zhì)的運用和計算能力根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知：(xy)2m的二項式系數(shù)最大有一項，Ca，(xy)m2m2m1的二項式系數(shù)最大有兩項，CCb.又 13a7b，所以m2m1m12m113C7C，將各選項中 m 的取值逐個代入驗證，知 m6 滿足等式，所以選擇 B.m2mm2m14.（2013新課標(biāo) II 高考理）已知(1x)(1x)5的展開式中 x2的系數(shù)為 5，則 ()A4 B.3 C2 D1【解析】選 D本

4、題涉及二項式定理、計數(shù)原理的知識，意在考查考生的分析能力與基本運算能力展開式中含 x2的系數(shù)為 C aC 5，解得 a1，故選 D. 2 51 55 （2013陜西高考理）設(shè)函數(shù) f(x)Error!則當(dāng) x0 時，f(f(x)表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為 ()A20B20 C15 D15【解析】選 A本題考查分段函數(shù)和二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程的理解依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得 f(f(x)f()6，Tr1C (1)rxr3，x(1x x)r 6則常數(shù)項為 C (1)320.3 36 （2013陜西高考理）如圖，在矩形區(qū)域 ABCD 的 A，C 兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信

5、號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域 ADE 和扇形區(qū)域 CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是 ()A1 B. 1 C2 D.4224【解析】選 A本題考查幾何概型的求解方法，涉及對立事件求解概率以及矩形和扇形面積的計算由題意知，兩個四分之一圓補成半圓其面積為 12 ，矩形面積為 2，則122所求概率為1 .22247.（2013江西高考理）5展開式中的常數(shù)項為 ()(x22x3)A80 B80 C40 D40【解析】選 C本題考查二項式定理，意在考查考生的運算能力Tr1C (x2)r 55rrC (2)rx105r，令 105r0，得

6、 r2，故常數(shù)項為 C (2)240.(2x3)r 52 58.（2013廣東高考理）已知離散型隨機變量 X 的分布列為X123P35310110則 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X) ()A. B2 C. D33252【解析】選 A本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，考查考生的識記能力E(X)1 23 .353101101510329 （2013山東高考理）用 0,1，9 十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 ()A243 B252 C261 D279【解析】選 B本題考查分步乘法計數(shù)原理的基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力能夠組成三位數(shù)的個數(shù)是 910

7、10900，能夠組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是 998648，故能夠組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是 900648252.10 （2013大綱卷高考理）(1x)8(1y)4的展開式中 x2y2的系數(shù)是 ()A56 B84 C112 D168【解析】選 D本題考查二項式定理及通項公式在(1x)8展開式中含 x2的項為C x228x2，(1y)4展開式中含 y2的項為 C y26y2，所以 x2y2的系數(shù)為 286168，故2 82 4選 D.11 （2013湖北高考理）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為 125 個同樣大小的小正方體經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為 X，

8、則 X 的均值E(X) ()A. B. C. D.1261256516812575【解析】選 B本題考查正方體中的概率和期望問題，意在考查考生的空間想象能力P(X0)，P(X1)，P(X2)，271255412536125P(X3)，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)0181252712523 ，故選 B.541253612581251501256512 （2013四川高考理）從 1,3,5,7,9 這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的個數(shù)是 ()A9 B10 C18 D20【解析】選 C本題考查對數(shù)運算、排列組合等基本知

9、識和基本技能，意在考查考生分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力lg alg blg ，lg 有多少個不同值，只要看 不同值ababab的個數(shù)，所以共有 A 220218 個不同值2 513 （2013四川高考理）節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以 4 秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是()A. B. C. D.14123478【解析】選 C本題考查不等式表示的平面區(qū)域、幾何概型等知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時考查考生導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的運算能

10、力設(shè)第一串彩燈亮的時刻為x，第二串彩燈亮的時刻為 y，則Error!要使兩串彩燈亮的時刻相差不超過 2 秒，則Error!如圖，不等式組Error!所表示的圖形面積為 16，不等式組Error!所表示的六邊形 OABCDE 的面積為 16412，由幾何概型的公式可得 P .12163414 （2013安徽高考文）若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 ()A. B. C. D.232535910【解析】選 D本題主要考查古典概型的概率計算，意在考查考生的運算能力和對基本概念的理解事件“甲或乙被錄用”的對立事件是“甲和乙都未被錄用”

11、，從五位學(xué)生中選三人的基本事件個數(shù)為 10， “甲和乙都未被錄用”只有 1 種情況，根據(jù)古典概型和對立事件的概率公式可得，甲或乙被錄用的概率 P1.11091015 （2013大綱卷高考文）(x2)8的展開式中 x6的系數(shù)是 ()A28 B56 C112 D224【解析】選 C本題主要考查二項式定理由二項式展開式的通項公式 Tr1C anrbr，r n得含 x6的項是 T21C x8222，所以含 x6的項的系數(shù)為 22C 112. 2 82 816 （2013湖南高考文）已知事件“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 P，使APB 的最大邊是 AB”發(fā)生的概率為 ，則 ()12ADAB

12、A. B. C. D.12143274【解析】選 D本題主要考查幾何概型與三角形的最大角的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力由已知，點 P 的分界點恰好是邊 CD 的四等分點，由勾股定理可得 AB22AD2，解得2，即.(34AB)(ADAB)716ADAB7417 （2013新課標(biāo)高考文）從 1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù)，則取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2 的概率是 ()A. B. C. D.12131416【解析】選 B本題主要考查列舉法解古典概型問題的基本能力，難度較小從 1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù)有以下六種情況：(1,2)，(1,

13、3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，滿足取出的 2個數(shù)之差的絕對值為 2 的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是 .261318 （2013江西高考文）集合 A2,3，B1,2,3，從 A，B 中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于 4 的概率是 ()A. B. C. D.23121316【解析】選 C本題主要考查隨機事件、列舉法、古典概型的概率計算，考查分析、解決實際問題的能力從 A，B 中各任意取一個數(shù)記為(x，y)，則有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 6 個基本事件而這兩數(shù)之和為 4 的有(2,2)，(3,1)，共 2 個基本事

14、件又從 A，B 中各任意取一個數(shù)的可能性相同，故所求的概率為 .261319 （2012重慶高考理）()8的展開式中常數(shù)項為 ()x12 xA. B. C. D1053516358354【解析】選 B 二項展開式的通項 Tr1C ()8r()rC ( )rx4r，當(dāng) 4r0 時，r 8x12 xr 812r4，所以展開式中的常數(shù)項為 C ( )4.4 81235820 （2012廣東高考理）從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0 的概率是 ()A. B. C. D.49132919【解析】選 D 由個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)分別為一奇一偶若個位數(shù)為奇數(shù)時，這

15、樣的兩位數(shù)共有 C C 20 個；若個位數(shù)為偶數(shù)時，這樣的兩位數(shù)共有1 5 1 4C C 25 個；于是，個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)共有 202545 個其中，個1 5 1 5位數(shù)是 0 的有 C 15 個于是，所求概率為 .1 55451921 （2012山東高考理）現(xiàn)有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各 4張從中任取 3 張，要求這 3 張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多 1 張，不同取法的種數(shù)為 ()A232 B252 C472 D484【解析】選 C 若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選 3 張，若都不同色則有C C C 64 種，若 2 張同色，

16、則有 C C C C 144 種；若紅色卡片有 1 張，1 41 41 42 31 22 41 4剩余 2 張不同色，則有 C C C C 192 種，剩余 2 張同色，則有 C C C 721 42 31 41 41 41 32 4種，所以共有 6414419272472 種不同的取法22 （2012四川高考理）(1x)7的展開式中 x2的系數(shù)是 ()A42 B35 C28 D21【解析】選 D 依題意可知，二項式(1x)7的展開式中 x2的系數(shù)等于 C 1521.2 723 （2012四川高考理）方程 ayb2x2c 中的 a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c 互不相同在所有這些

17、方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有 ()A60 條 B62 條 C71 條 D80 條【解析】選 B 顯然方程 ayb2x2c 表示拋物線時，有 ab0，故該方程等價于yx2 .b2aca(1)當(dāng) c0 時，從3，2,1,2,3中任取 2 個數(shù)作為 a，b 的值，有 A 20 種不同的方法，2 5當(dāng) a 一定，b 的取值互為相反數(shù)時，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有 4312 條，所以此時不同的拋物線共有 A 614 條；2 5(2)當(dāng) c0 時，從3，2,1,2,3中任取 3 個數(shù)作為 a，b，c 的值有 A 60 種不同的方法，3 5當(dāng) a，c 的值一定，而 b 的值互為相反數(shù)時，對應(yīng)

18、的拋物線相同，這樣的拋物線共有4A 24 條，所以此時不同的拋物線有 A 1248 條2 33 5綜上所述，滿足題意的不同的拋物線有 144862 條24.（2012遼寧高考理）一排 9 個座位坐了 3 個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為 ()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!【解析】選 C 利用“捆綁法”求解滿足題意的坐法種數(shù)為 A (A )3(3！)4.3 33 325.（2012遼寧高考理）在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC，CB 的長，則該矩形面積小于 32 cm2的概率為 ()A. B. C. D.1613

19、2345【解析】選 C 設(shè) ACx cm，CB(12x)cm,0 x12，所以矩形面積小于 32 cm2即為x(12x)320 x4 或 8x12，故所求概率為 .8122326 （2012天津高考理）在(2x2 )5的二項展開式中，x 的系數(shù)為 ()1xA10 B10 C40 D40【解析】選 D 二項式(2x2 )5展開式的第 r1 項為 Tr1C (2x2)5r( )1xr 51xrC 25r(1)rr 5x103r，當(dāng) r3 時，含有 x，其系數(shù)為 C 22(1)340.3 527 （2012陜西高考理）兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏 3 局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸

20、贏局次的不同視為不同情形)共有 ()A10 種 B15 種 C20 種 D30 種【解析】選 C 分三種情況：恰好打 3 局，有 2 種情形；恰好打 4 局(一人前 3 局中贏 2 局，輸 1 局，第 4 局贏)，共有 2C 6 種情形；恰好打 5 局(一人前 4 局中贏 2 局，輸 2 局，第2 35 局贏)，共有 2C 12 種情形所有可能出現(xiàn)的情形共有 261220 種2 428 （2012上海高考理）設(shè) 10 x1x2x3D2 BD1D2CD10，即 D1D2.12029.（2012大綱卷高考理）將字母 a，a，b，b，c，c 排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同

21、，則不同的排列方法共有 ()A12 種 B18 種 C24 種 D36 種【解析】選 A 由分步乘法計數(shù)原理，先排第一列，有 A 種方法，再排第二列，有 2 種3 3方法，故共有 A 212 種排列方法3 330 （2012北京高考理）設(shè)不等式組Error!表示的平面區(qū)域為 D.在區(qū)域 D 內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于 2 的概率是 ()A. B. C. D.422644【解析】選 D 不等式組Error!表示坐標(biāo)平面內(nèi)的一個正方形區(qū)域，設(shè)區(qū)域內(nèi)點的坐標(biāo)為(x，y)，則隨機事件：在區(qū)域 D 內(nèi)取點，此點到坐標(biāo)原點的距離大于 2 表示的區(qū)域就是圓x2y24 的外部，即圖中的陰影部分

22、，故所求的概率為.4431 （2012北京高考理）從 0,2 中選一個數(shù)字，從 1,3,5 中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為 ()A24 B18 C12 D6【解析】選 B 若選 0，則 0 只能在十位，此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是 A ；若選 2，則 2 只2 3能在十位或百位，此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是 2A 12，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得總個數(shù)2 3為 61218.32 （2012湖北高考理）設(shè) aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，則 a ()A0 B1 C11 D12【解析】選 D 512 012a(1341)2 012a，被 13 整除余 1a，結(jié)合

23、選項可得 a12 時，512 012a 能被 13 整除33 （2012湖北高考理）如圖，在圓心角為直角的扇形 OAB 中，分別以 OA，OB 為直徑作兩個半圓在扇形 OAB 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ()A1 B. C. D.212121【解析】選 A 設(shè)扇形的半徑為 2，其面積為，其中空白區(qū)域面積為 2244( )2，因此此點取自陰影部分的概率為1 .4122234 （2012浙江高考理）若從 1,2,3，9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有 ()A60 種 B63 種 C65 種 D66 種【解析】選 D 對于 4 個數(shù)之和為偶數(shù)，可分

24、三類，即 4 個數(shù)均為偶數(shù)，2 個數(shù)為偶數(shù) 2個數(shù)為奇數(shù)，4 個數(shù)均為奇數(shù)，因此共有 C C C C 66 種4 42 4 2 54 535 （2012福建高考理）如圖所示，在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P，則點 P恰好取自陰影部分的概率為 ()A. B. C. D.14151617【解析】選 C 陰影部分的面積為(x)dx( x x2) ，故所求的概率 P1 0 x233212|1 016 .陰影部分的面積正方形OABC的面積1636 （2012安徽高考理）(x22)(1)5的展開式的常數(shù)項是 ()1x2A3 B2 C2 D3【解析】選 D (1)5的展開式的通項為 Tr1C

25、 ()5r(1)r，r0,1,2,3,4,5.當(dāng)因式1x2r 51x2(x22)中提供 x2時，則取 r4；當(dāng)因式(x22)中提供 2 時，則取 r5，所以(x22)(1)1x25的展開式的常數(shù)項是 523.37 （2012安徽高考理）6 位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品已知 6 位同學(xué)之間共進(jìn)行了 13 次交換，則收到 4 份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為 ()A1 或 3 B1 或 4 C2 或 3 D2 或 4【解析】選 D 不妨設(shè) 6 位同學(xué)分別為 A，B，C，D，E，F(xiàn)，列舉交換紀(jì)念品的所有情況為 AB，AC，AD，AE，AF

26、，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有 15種因為 6 位同學(xué)之間共進(jìn)行了 13 次交換，即缺少以上交換中的 2 種第一類，某人少交換 2 次，如 DF，EF 沒有交換，則 A，B，C 交換 5 次，D，E 交換 4 次，F(xiàn) 交換 3 次；第二類，4 人少交換 1 次，如 CD，EF 沒有交換，則 A，B 交換 5 次，C，D，E，F(xiàn) 交換 4次38 （2012新課標(biāo)高考理）將 2 名教師，4 名學(xué)生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2 名學(xué)生組成，不同的安排方案共有 ()A12 種 B10 種 C9 種 D8 種【解

27、析】選 A 先安排 1 名教師和 2 名學(xué)生到甲地，再將剩下的 1 名教師和 2 名學(xué)生安排到乙地，共有 C C 12 種安排方案1 2 2 439 （2012湖北高考文）如圖，在圓心角為直角的扇形 OAB 中，分別以 OA，OB 為直徑作兩個半圓，在扇形 OAB 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 （ ）A. B. C1 D.121122【解析】選 C 設(shè) OAOBr，則兩個以 為半徑的半圓的公共部分面積為 2 ( )r214r22 ( )2，兩個半圓外部的陰影部分面積為 r2 ( )2212r22r281412r22r28，所以所求概率為1 .2r282 2r2814r2240 （2

28、012四川高考文）(1x)7的展開式中 x2的系數(shù)是 ()A21 B28 C35 D42【解析】選 A 依題意得知，二項式(1x)7的展開式中 x2的系數(shù)等于 C 121.2 741 （2012四川高考文）方程 ayb2x2c 中的 a，b，c2,0,1,2,3，且 a，b，c 互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有 ()A28 條 B32 條 C36 條 D48 條【解析】選 B 依題意得，當(dāng)方程 ayb2x2c 表示拋物線時，有 yx2 ，ab0，又b2acaa，b，c2,0,1,2,3且 a，b，c 互不相同，因此相應(yīng)的數(shù)組a，b，c共有 A C 36 組，2 41 3

29、其中當(dāng) b2 與 b2 時，相應(yīng)的(a，b，c)對應(yīng)相同的拋物線的條數(shù)有 C C 4，因此滿1 21 2足題意的不同的拋物線共同有 36432 條42 （2012遼寧高考文）在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC，CB 的長，則該矩形面積大于 20 cm2的概率為 ()A. B. C. D.16132345【解析】選 C 設(shè)|AC|x cm,0 x20，則 x212x200,2x0”發(fā)生的概率為_【解析】本題考查了幾何概型與隨機模擬等知識，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力因為 0a1，由 3a10 得 0”發(fā)生的概率為13 .11312

30、3【答案】2373 （2013安徽高考理）若8的展開式中 x4的系數(shù)為 7，則實數(shù) a_.(xa3x)【解析】本題考查二項展開式的通項二項式8展開式的通項為(xa3x)Tr1C arx8 r，令 8 r4，可得 r3，故 C a37，易得 a .r 843433 812【答案】1274 （2013浙江高考理）設(shè)二項式5的展開式中常數(shù)項為 A，則 A_.(x13x)【解析】本題考查二項式定理及相關(guān)概念，考查利用二項式定理解決相關(guān)問題的能力以及考生的運算求解能力Tr1(1)rC x，令 155r0，得 r3，故常數(shù)項 A(1)r 5155r63C 10.3 5【答案】1075 （2013浙江高考理

31、）將 A，B，C，D，E，F(xiàn) 六個字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同側(cè)，則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答)【解析】本題考查對排列、組合概念的理解，排列數(shù)、組合數(shù)公式的運用，考查運算求解能力以及利用所學(xué)知識解決問題的能力 “小集團”處理，特殊元素優(yōu)先，C C A A 480.3 6 1 2 2 2 3 3【答案】48076 （2013重慶高考理）從 3 名骨科、4 名腦外科和 5 名內(nèi)科醫(yī)生中選派 5 人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有 1 人的選派方法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)【解析】本題考查排列組合問題，意在考查考生的思維能力直接法分類，3 名骨科，內(nèi)科、腦外科各

32、 1 名；3 名腦外科，骨科、內(nèi)科各 1 名；3 名內(nèi)科，骨科、腦外科各 1 名；內(nèi)科、腦外科各 2 名，骨科 1 名；骨科、內(nèi)科各 2 名，腦外科 1 名；骨科、腦外科各 2 名，內(nèi)科 1 名所以選派種數(shù)為C C C C C C C C C C C C C C C C C C 590.3 31 41 53 41 31 53 51 31 42 42 51 32 32 51 42 32 41 5【答案】59077.（2013新課標(biāo) II 高考理）從 n 個正整數(shù) 1,2，n 中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為，則 n_.114【解析】本題考查排列組合、古典概型等基本知識，

33、意在考查考生的基本運算能力與邏輯分析能力試驗基本事件總個數(shù)為 C ，而和為 5 的取法有 1,4 與 2,3 兩種取法，由古典概型概率計算2 n公式得 P，解得 n8.2C2 n114【答案】878 （2013北京高考理）將序號分別為 1,2,3,4,5 的 5 張參觀券全部分給 4 人，每人至少 1張，如果分給同一人的 2 張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是_【解析】本題考查排列組合中的分組安排問題，意在考查考生分析問題、解決問題的能力按照要求要把序號分別為 1,2,3,4,5 的 5 張參觀券分成 4 組，然后再分配給 4 人，連號的情況是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5，

34、故其方法數(shù)是 4A 96.4 4【答案】9679 （2013山東高考理）在區(qū)間3,3上隨機取一個數(shù) x，使得|x1|x2|1 成立的概率為_【解析】本題考查絕對值不等式的解法、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力當(dāng) x1 時，不等式|x1|x2|1，即(x1)(x2)31，此時無解；當(dāng)12 時，不等式|x1|x2|1，即 x1x231，解得 x2.在區(qū)間3,3上不等式|x1|x2|1 的解集為 1x3，故所求的概率為 .313313【答案】1380 （2013大綱卷高考理）6 個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答)【解析】本題考查排列組合知識法一

35、：(間接法)A A A 480.6 62 2 5 5法二：(直接法)A A 480.4 4 2 5【答案】48081 （2013四川高考理）二項式(xy)5的展開式中，含 x2y3的項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)【解析】本題考查二項式的通項，意在考查考生的運算能力因為 C 10，故含 x2的項3 5的系數(shù)是 10.【答案】1082.（2013天津高考理）6的二項展開式中的常數(shù)項為_(x1x)【解析】本題考查二項式定理的應(yīng)用，意在考查考生的運算求解能力二項式6展(x1x)開式的第 r1 項為 Tr1C x6r()rC (1)rx6 r，當(dāng) 6 r0，即 r4 時是常數(shù)r 61xr 63232項，所以

36、常數(shù)項是 C (1)415.4 6【答案】1583 （2013重慶高考文）若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為_【解析】本題主要考查古典概型，考查考生的邏輯思維能力三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共 6 種排法，其中甲、乙相鄰有 4 種排法，所以甲、乙兩人相鄰而站的概率為 .4623【答案】2384 （2013江蘇高考文）現(xiàn)有某類病毒記作 XmYn，其中正整數(shù) m，n(m7，n9)可以任意選取，則 m，n 都取到奇數(shù)的概率為_【解析】本題考查古典概型的相關(guān)知識，意在考查用枚舉法求概率基本事件總數(shù)為 N7963，其中 m，n 都為奇數(shù)的事件

37、個數(shù)為 M4520，所以所求概率 P.MN2063【答案】206385 （2013大綱卷高考文）從進(jìn)入決賽的 6 名選手中決出 1 名一等獎，2 名二等獎，3 名三等獎，則可能的決賽結(jié)果共有_種(用數(shù)字作答)【解析】本題主要考查組合、分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用第一步?jīng)Q出一等獎 1 名有 C 種1 6情況，第二步?jīng)Q出二等獎 2 名有 C 種情況，第三步?jīng)Q出三等獎 3 名有 C 種情況，故可能2 53 3的決賽結(jié)果共有 C C C 60 種情況1 6 2 5 3 3【答案】6086 （2013福建高考文）利用計算機產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機數(shù) a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_【解析】本題主要考查幾

38、何概型與隨機模擬等基礎(chǔ)知識，意在考查或然與必然思想，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力由題意，得 0a ，所以根據(jù)幾13何概型的概率計算公式，得事件“3a1E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為 ，小紅中獎的概率為 ，且兩人中獎與否互不影2325響記“這兩人的累計得分 X3”的事件為 A，則事件 A 包含有“X0” ， “X2” ， “X3”三個兩兩互斥的事件，因為 P(X0) ，P(X2) ，P(X3) ，(123) (125)1523(125)25(123)25215所以 P(A)P(X0)P(X2)P(

39、X3)，1115即這兩人的累計得分 X3 的概率為.1115(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為 X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則 X1，X2的分布列如下：X1024P194949X2036P9251225425所以 E(X1)0 2 4 ，19494983E(X2)036.9251225425125因為 E(X1)E(X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大130 （2013遼寧高考理）現(xiàn)有 10 道題，其中 6 道甲類題，4 道乙類題，張同學(xué)從中任取3 道題解答(1)求張同學(xué)至少取到 1 道乙類題的概率；(2)已知所取的 3 道題中有 2 道甲

40、類題，1 道乙類題設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是 ，35答對每道乙類題的概率都是 ，且各題答對與否相互獨立用 X 表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，45求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望解：本題主要考查概率的綜合應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望同時也考查考生分析問題以及應(yīng)用知識解決實際問題的能力(1)設(shè)事件 A“張同學(xué)所取的 3 道題至少有 1 道乙類題” ，則有 “張同學(xué)所取的 3 道題A都是甲類題” 因為 P( ) ，所以 P(A)1P( ) .AC3 6C 3 1016A56(2)X 所有的可能取值為 0,1,2,3.P(X0)C 02 ；0 2(35) (25)154125P(X1)C 11 C

41、02 ；1 2(35) (25)150 2(35) (25)4528125P(X2)C 20 C11 ；2 2(35) (25)151 2(35) (25)4557125P(X3)C 20 ；2 2(35) (25)4536125所以 X 的分布列為：X0123P4125281255712536125所以 E(X)01232.4125281255712536125131 （2013安徽高考理）某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)已知該系共有 n 位學(xué)生，每次活動均需該系 k 位學(xué)生參加(n 和 k 都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自

42、活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系 k 位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為 X.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；(2)求使 P(Xm)取得最大值的整數(shù) m.解：本題主要考查古典概型，計數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查抽象的思想，邏輯推理能力，運算求解能力，以及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力(1)因為事件 A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件 B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以 與 相互獨立由于 P(A)P(B) ，故 P( )P( )ABCk1n1Ck nknAB1 ，因此學(xué)生甲收

43、到活動通知信息的概率 P12.kn(1kn)2knk2n2(2)當(dāng) kn 時，m 只能取 n，有 P(Xm)P(Xn)1.當(dāng) kn 時，整數(shù) m 滿足 kmt，其中 t 是 2k 和 n 中的較小者由于“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給 k 位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(C )2.當(dāng) Xm 時，k n同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為 2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為 mk.由乘法計數(shù)原理知：事件Xm所含基本事件數(shù)為C CCC CC.此時k n 2kmkmknkk n mkkmknkP(Xm).Ck nC2kmkCmknkCk n2CmkkCm

44、knkCk n當(dāng) kmt 時，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)mkkmknkm1kkm1knk2(nm)(2km)m2k.k12n2假如 k2kt 成立，則當(dāng)(k1)2能被 n2 整除時，k12n2k2k2k1t.故 P(Xm)在 m2k和 m2k1處k12n2k12n2k12n2k12n2達(dá)最大值；當(dāng)(k1)2不能被 n2 整除時，P(Xm)在 m2k處達(dá)最大值(注：x表示不超過 x 的最大整數(shù))k12n2下面證明 k2kt.k12n2因為 1kn，所以 2kk0.k12n2knk21n2kk1k21n2k1n2而 2kn0，故 2kn，顯然 2k2k.k12n2nk12n2k12n

45、2k12n2因此 k2kt.k12n2132 （2013浙江高考理）設(shè)袋子中裝有 a 個紅球，b 個黃球，c 個藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個紅球得 1 分，取出一個黃球得 2 分，取出一個藍(lán)球得 3 分(1)當(dāng) a3，b2，c1 時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2 個球，記隨機變量 為取出此 2 球所得分?jǐn)?shù)之和，求 的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1 個球，記隨機變量 為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E() ，D() ，求 abc.5359解：本題主要考查相互獨立事件、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等概念及相關(guān)計算，考查抽象概括以及運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力(1)

46、由題意得 2,3,4,5,6.故 P(2) ，3 36 614P(3) ，2 3 26 613P(4)，2 3 12 26 6518P(5) ，2 2 16 619P(6).1 16 6136所以 的分布列為23456P141351819136(2)由題意知 的分布列為123Paabcbabccabc所以 E() ，aabc2babc3cabc53D()222 .(153)aabc(253)babc(353)cabc59化簡得Error!解得 a3c，b2c，故 abc321.133 （2013重慶高考理）某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有 3 個紅球與 4

47、個白球的袋中任意摸出 3 個球，再從裝有 1 個藍(lán)球與 2 個白球的袋中任意摸出 1 個球根據(jù)摸出 4 個球中紅球與藍(lán)球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍(lán)球個數(shù)獲獎金額一等獎3 紅 1 藍(lán)200 元二等獎3 紅 0 藍(lán)50 元三等獎2 紅 1 藍(lán)10 元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到 1 個紅球的概率；(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額 X 的分布列與期望 E(X)解：本題主要考查隨機變量的概率、分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查考生的閱讀理解能力以及轉(zhuǎn)化與化歸能力設(shè) Ai表示摸到 i 個紅球，Bj表示摸到 j 個藍(lán)球，則 Ai(i0,1,2,3)與Bj(

48、j0,1)獨立(1)恰好摸到 1 個紅球的概率為 P(A1).C1 3C2 4C3 71835(2)X 的所有可能值為：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1) ，C3 3C3 7131105P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0) ，C3 3C3 7232105P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1) ，C2 3C1 4C3 71312105435P(X0)1 .1105210543567綜上知 X 的分布列為X01050200P6743521051105從而有 E(X)0 10502004(元)6743521051105134 （2013新課標(biāo)

49、高考理）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗，這 4 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n.如果 n3，再從這批產(chǎn)品中任取 4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果 n4，再從這批產(chǎn)品中任取 1 件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為 ，且各件產(chǎn)品12是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為 100 元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為 X(單位：元)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望解：

50、本題主要考查獨立重復(fù)試驗和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等，意在考查考生的閱讀理解能力及運用所學(xué)概率知識解決實際問題的能力(1)設(shè)第一次取出的 4 件產(chǎn)品中恰有 3 件優(yōu)質(zhì)品為事件 A1，第一次取出的 4 件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件 A2，第二次取出的 4 件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件 B1，第二次取出的 1 件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件 B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件 A，依題意有 A(A1B1)(A2B2)，且 A1B1與 A2B2互斥，所以 P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)41611611612.364(2)X 可能的取值為

51、 400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，4161161116116P(X800) .14所以 X 的分布列為X400500800P111611614EX400500800 506.25.111611614135 （2013新課標(biāo) II 高考理）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出 1t該產(chǎn)品獲利潤 500 元，未售出的產(chǎn)品，每 1t 虧損 300 元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了 130 t 該農(nóng)產(chǎn)品以 X(單位：t,100X150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度

52、內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將 T 表示為 X 的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤 T 不少于 57 000 元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量 X100,110)則取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求 T 的數(shù)學(xué)期望解：本題考查概率、統(tǒng)計的知識，考查頻率分布直方圖以及隨機變量的分布列及其期望的基本求解方法，意在考查考生的理解能力以及基本運算能力(1)當(dāng) X100,130)時，T500X300(130X)800X39 000，當(dāng) X130,150

53、時，T50013065 000.所以TError!(2)由(1)知利潤 T 不少于 57 000 元，當(dāng)且僅當(dāng) 120X150.由直方圖知需求量 X120,150的頻率為 0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤 T 不少于 57 000 元概率的估計值為 0.7.(3)依題意可得 T 的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.136 （2013北京高考理）下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣

54、質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣重度污染某人隨機選擇 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到達(dá)該市，并停留 2 天(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè) X 是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)解：本題考查統(tǒng)計圖、古典概型、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思想和考生的數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力設(shè) Ai表示事件“此人于 3 月 i 日到達(dá)該市”(i1,2，13)根據(jù)題意，P(Ai)，且113AiAj(ij)(1)設(shè) B 為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度

55、污染” ，則 BA5A8.所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).213(2)由題意可知，X 的所有可能取值為 0,1,2，且 P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，413P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，413P(X0)1P(X1)P(X2).513所以 X 的分布列為X012P513413413故 X 的期望 EX012.5134134131213(3)從 3 月 5 日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大137 （2013陜西高考理）在一場娛樂晚會上，有 5 位民間歌手(1 至 5 號)登臺演

56、唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨立地在選票上選 3 名歌手，其中觀眾甲是 1 號歌手的歌迷，他必選 1 號，不選 2 號，另在 3 至 5 號中隨機選 2 名觀眾乙和丙對 5 位歌手的演唱沒有偏愛，因此在 1 至 5 號中隨機選 3 名歌手(1)求觀眾甲選中 3 號歌手且觀眾乙未選中 3 號歌手的概率；(2)X 表示 3 號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望解：本題考查實際生活中的古典概型和相互獨立事件的概率的計算，以及分布列和期望的計算(1)設(shè) A 表示事件“觀眾甲選中 3 號歌手” ，B 表示事件“觀眾乙選中 3 號歌手” ，則 P(A)

57、，P(B) .C1 2C2 323C2 4C3 535事件 A 與 B 相互獨立，觀眾甲選中 3 號歌手且觀眾乙未選中 3 號歌手的概率為 P(A )P(A)P( )P(A)1P(B)BB .2325415(2)設(shè) C 表示事件“觀眾丙選中 3 號歌手” ，則 P(C) .C2 4C3 535X 可能的取值為 0,1,2,3，且取這些值的概率分別為P(X0)P(A ) ，B C132525475P(X1)P( )P( B )P( C) ，A B CACA B2325251335251325352075P(X2)P(AB )P(A C)P( BC) ，CBA2335252325351335353

58、375P(X3)P(ABC) ，2335351875X 的分布列為X0123P475207533751875X 的數(shù)學(xué)期望 EX0123.475207533751875140752815138 （2013江西高考理）小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊游戲規(guī)則為：以 O 為起點，再從 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)這 8 個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為 X.若 X0 就參加學(xué)校合唱團，否則就參加學(xué)校排球隊(1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率；(2)求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望解：本題將平面向量與概率統(tǒng)計知識相交匯，創(chuàng)新味十足，屬能

59、力立意的好題，主要考查平面向量的數(shù)量積、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等相關(guān)知識(1)從 8 個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有 C 28 種，X0 時，兩向量夾角為直2 2角共有 8 種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為 P(X0) .82827(2)兩向量數(shù)量積 X 的所有可能取值為2，1,0,1，X2 時，有 2 種情形；X1 時，有8 種情形；X1 時，有 10 種情形所以 X 的分布列為：X2101P1145142727EX(2)(1)0 1 .1145142727314139.（2013山東高考理）甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝 3 局者獲得比賽的勝利，比

60、賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是 外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 .假設(shè)1223各局比賽結(jié)果互相獨立(1)分別求甲隊以 30,31,32 勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為 30 或 31，則勝利方得 3 分、對方得 0 分；若比賽結(jié)果為 32，則勝利方得 2 分、對方得 1 分求乙隊得分 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望解：本題考查相互獨立事件的概率、二項分布、離散型隨機變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力(1)記“甲隊以 30 勝利”為事件 A1， “甲隊以 31 勝利”為事件 A2， “甲隊以 32 勝利”為事件 A3，由題意知，