初中幾何證明公式及經(jīng)典例題

1、 教師: 李老師 學(xué)生: 年級(jí): 科目： 數(shù)學(xué) 時(shí)間: 2012 年 月 日 內(nèi)容： 初中幾何證明技巧（分類(lèi)）證明兩線(xiàn)段相等 1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。 2.同一三角形中等角對(duì)等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線(xiàn)或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€(xiàn)被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到線(xiàn)段兩段距離相等。 7.角平分線(xiàn)上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線(xiàn)分第二邊所成的線(xiàn)段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。 *10.圓外一點(diǎn)引圓的

2、兩條切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。 11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。 *12.兩圓的內(nèi)（外）公切線(xiàn)的長(zhǎng)相等。 13.等于同一線(xiàn)段的兩條線(xiàn)段相等。 證明兩個(gè)角相等 1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對(duì)等角。 3.等腰三角形中，底邊上的中線(xiàn)（或高）平分頂角。 4.兩條平行線(xiàn)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。 5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。 *7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。

3、8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 *9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。 10.等于同一角的兩個(gè)角相等。 證明兩條直線(xiàn)互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線(xiàn)或底邊的中線(xiàn)垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線(xiàn)若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。 3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4.鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)互相垂直。 5.一條直線(xiàn)垂直于平行線(xiàn)中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線(xiàn)相交成直角則兩直線(xiàn)垂直。 7.利用到一線(xiàn)段兩端的距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。 *11.利用半圓上的

4、圓周角是直角。 證明兩直線(xiàn)平行 1.垂直于同一直線(xiàn)的各直線(xiàn)平行。 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的兩直線(xiàn)平行。 3.平行四邊形的對(duì)邊平行。 4.三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊。 5.梯形的中位線(xiàn)平行于兩底。 6.平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。 7.一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線(xiàn)平行于第三邊。 證明線(xiàn)段的和差倍分 1.作兩條線(xiàn)段的和，證明與第三條線(xiàn)段相等。 2.在第三條線(xiàn)段上截取一段等于第一條線(xiàn)段，證明余下部分等于第二條線(xiàn)段。 3.延長(zhǎng)短線(xiàn)段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線(xiàn)段相等。 4.取長(zhǎng)線(xiàn)段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線(xiàn)段。 5.利用一些定理（三角形的中位線(xiàn)、

5、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。 證明 角的和差倍分 1.與證明線(xiàn)段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分線(xiàn)的定義。 3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 證明線(xiàn)段不等 1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。 2.垂線(xiàn)段最短。 3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。 *5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對(duì)大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等

6、，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。 2.利用內(nèi)外角平分線(xiàn)定理。 3.平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例。 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理-相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論。 6.利用比利式或等積式化得。 證明四點(diǎn)共圓*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。 *2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。 *4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。 *5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓一. 證明線(xiàn)段相等或

7、角相等兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線(xiàn)段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。 例1. 已知：如圖1所示，中，。 求證：DEDF 分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)CD 說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線(xiàn)是常用的輔助線(xiàn)；在等腰三角形中，作頂角的平分線(xiàn)或底邊上的中線(xiàn)或高是常用的輔助線(xiàn)。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線(xiàn)，又是底邊上的中線(xiàn)

8、。本題亦可延長(zhǎng)ED到G，使DGDE，連結(jié)BG，證是等腰直角三角形。例2. 已知：如圖2所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF 證明：連結(jié)AC 在和中， 在和中， 說(shuō)明：利用三角形全等證明線(xiàn)段求角相等。常須添輔助線(xiàn)，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； （2）添輔助線(xiàn)能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。二. 證明直線(xiàn)平行或垂直 在兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線(xiàn)平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線(xiàn)定理證明。證兩條直線(xiàn)垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三

9、角形“三線(xiàn)合一”來(lái)證。 例3. 如圖3所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線(xiàn)，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線(xiàn)。求證：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延長(zhǎng)AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延長(zhǎng)AK交BC于M，則CACM，AKKM。從而由三角形的中位線(xiàn)定理，知KHBC。 證明：延長(zhǎng)AH交BC于N，延長(zhǎng)AK交BC于M BH平分ABC 又BHAH BHBH 同理，CACM，AKKM 是的中位線(xiàn) 即KH/BC 說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線(xiàn)、中線(xiàn)或高線(xiàn)重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱(chēng)）而成一個(gè)等腰三角形。 例4.

10、已知：如圖4所示，ABAC，。 求證：FDED 證明一：連結(jié)AD 在和中， 說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線(xiàn)，或作頂角平分線(xiàn)是常用輔助線(xiàn)。 證明二：如圖5所示，延長(zhǎng)ED到M，使DMED，連結(jié)FE，F(xiàn)M，BM 說(shuō)明：證明兩直線(xiàn)垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線(xiàn)，見(jiàn)本題證二。 （2）找到待證三直線(xiàn)所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。 （3）證明二直線(xiàn)的夾角等于90°。三. 證明一線(xiàn)段和的問(wèn)題 （一）在較長(zhǎng)線(xiàn)段上截取一線(xiàn)段等一較短線(xiàn)段，證明其余部分等于另一較短線(xiàn)段。（截長(zhǎng)法） 例5. 已知：如圖6所示在中，BAC、B

11、CA的角平分線(xiàn)AD、CE相交于O。 求證：ACAECD 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得： 證明：在AC上截取AFAE 又 即（二）延長(zhǎng)一較短線(xiàn)段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線(xiàn)段，則兩較短線(xiàn)段成為一條線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段等于較長(zhǎng)線(xiàn)段。（補(bǔ)短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF 分析：此題若仿照例1，將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G，使BGDF。 證明：延長(zhǎng)CB至G，使BGDF 在正方形ABCD中， 又 即GAEFAE 中考題： 如圖8所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AEBD，連結(jié)

12、CE、DE。 求證：ECED 證明：作DF/AC交BE于F 是正三角形 是正三角形 又AEBD 即EFAC 題型展示： 證明幾何不等式： 例題：已知：如圖9所示，。 求證： 證明一：延長(zhǎng)AC到E，使AEAB，連結(jié)DE 在和中， 證明二：如圖10所示，在AB上截取AFAC，連結(jié)DF 則易證 說(shuō)明：在有角平分線(xiàn)條件時(shí)，常以角平分線(xiàn)為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線(xiàn)。實(shí)戰(zhàn)模擬： 1. 已知：如圖11所示，中，D是AB上一點(diǎn)，DECD于D，交BC于E，且有。求證： 2. 已知：如圖12所示，在中，CD是C的平分線(xiàn)。 求證：BCACAD 3. 已知：如圖13所示，過(guò)的頂點(diǎn)A，在A內(nèi)任引一射線(xiàn)，過(guò)B、C作此射線(xiàn)的垂線(xiàn)BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。 求證：MPMQ 4. 中，于D，求證：【試題答案】 1. 證明：取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF 又 2. 分析：本題從已知和圖形上