考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

1、高等數(shù)學(xué)部分第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)一、極限（一）極限基本概念1、極限的定義（1）數(shù)列極限：設(shè)為一個數(shù)列，為常數(shù)，若對任意，總存在，當(dāng)時，有成立，則稱為數(shù)列的極限，記或。（2）函數(shù)當(dāng)自變量趨于無窮時的極限：設(shè)為一個函數(shù)，為一個常數(shù)，若對任意，存在，當(dāng)時，有成立，稱當(dāng)時以為極限，記為或。（3）函數(shù)當(dāng)自變量趨于有限值的極限：設(shè)為一個函數(shù)，為一個常數(shù)，若對任意，存在，當(dāng)時，有成立，稱當(dāng)時以為極限，記為或。（4）左右極限：，分別稱為函數(shù)在處的左右極限，存在都存在且相等。問題：（1）若對任意的，總存在，當(dāng)時，有，數(shù)列是否以常數(shù)為極限？（2）若數(shù)列有一個子列以常數(shù)為極限，數(shù)列是否以常數(shù)為極限？（3）若數(shù)列

2、的奇子列與偶子列都存在極限，數(shù)列是否有極限？若其奇子列和偶子列極限存在且相等，數(shù)列1 / 47的極限是否存在？2、無窮小（1）無窮小的定義：以零為極限的函數(shù)稱為無窮小。（2）無窮小的性質(zhì)1）有限個無窮小之和與積還是無窮??；2）有界函數(shù)與無窮小之積還是無窮小。特殊情況，常數(shù)與無窮小之積還是無窮??；3）極限與無窮小的關(guān)系：（3）無窮小的層次關(guān)系1）定義：2）性質(zhì)：設(shè)，且存在，則；的充分必要條件是。（4）當(dāng)時常見的等價無窮?。?）；2）；3）。（5）無窮大1）定義：2）無窮大與無窮小的關(guān)系。問題：（1）無窮多個無窮小之和是否一定是無窮??？（2）設(shè)都是無窮小，且，是否一定有？（3）有限個非無窮小之和或

3、者積是否一定不是無窮小？舉例說明。（二）極限的性質(zhì)1、極限的基本性質(zhì)（1）唯一性：數(shù)列或函數(shù)極限存在必是唯一的。（2）有界性1）若數(shù)列極限存在，則該數(shù)列一定有界，反之不對。2）函數(shù)極限的局部有界性：（3）保號性1）若函數(shù)的極限大于（或小于）零，則函數(shù)在該點的去心鄰域內(nèi)也大于（或小于）零；2）若函數(shù)是非負(fù)（或非正）的，且函數(shù)的極限存在，則極限也是非負(fù)（或非正）。（4）列與子列極限極限的關(guān)系：2、極限的存在性定理與重要極限定理1 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。定理2 夾逼定理（數(shù)列及函數(shù)）：重要極限：（1）； （2）； （3）。3、極限運算性質(zhì)（1）四則運算性質(zhì)（2）復(fù)合函數(shù)極限運算性質(zhì)注解：問題：（1

4、）若有界，是否一定存在？（2）若，當(dāng)時，是否一定有？舉例說明。（3）若存在，及是否存在？若及存在，是否一定有存在？（4）若，且，是否一定有？舉例說明。二、連續(xù)與間斷（一）基本概念1、函數(shù)連續(xù)的定義（1）函數(shù)在一點連續(xù)的定義及等價定義（2）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的定義2、間斷及其間斷點的分類（1）第一類間斷點：（2）第二類間斷點。（二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、最值定理2、有界定理3、零點定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端點型介值定理：注解：（1）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)；（2）函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件是該點的函數(shù)值、左右極限相等。問題：（1）設(shè)都在處間斷，則是否一定在處間斷？（2）

5、若函數(shù)在一點連續(xù)，函數(shù)是否在該點的鄰域內(nèi)也連續(xù)？舉例說明。例題部分一、填空題1、。2、設(shè)，則。3、。4、設(shè)，則。5、設(shè)，則。6、。7、。8、。9、設(shè)在點處連續(xù)，則。二、解答題1、判別函數(shù)的奇偶性，并求其反函數(shù)。2、求下列極限：（1）。 （2）。（3）。 （4）。（5）。 （6）。（7）。 （8）。（9）； （10）。（11）； （12）。3、證明數(shù)列極限存在，并求其極限。4、設(shè)，證明數(shù)列收斂，并求。5、設(shè)為常數(shù)，。且，證明：。6、求極限。7、設(shè)，且，證明：存在，使得。第二講 導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的基本概念設(shè)在的鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱函數(shù)在點可導(dǎo)，極限稱為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記為。注解：（1）若存

6、在，稱此極限為函數(shù)在處的右導(dǎo)數(shù)，記為，若存在，稱此極限為函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)，記為，函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是與都存在且相等。（2）導(dǎo)數(shù)的等價定義，。注解：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)所對應(yīng)的曲線上的點切線的斜率。問題：（1）設(shè)存在，問是否存在？若存在求之，不存在舉反例說明。（2）設(shè)存在，問是否存在？若存在證明之，若不存在舉反例說明。（3）設(shè)存在，是否存在？說明理由。（4）設(shè)存在，是否存在？說明理由。（5）設(shè)在處可導(dǎo)，問是否在處連續(xù)？（6）在處可導(dǎo)，是否有在的鄰域內(nèi)連續(xù)？（7）是否存在只有一個可導(dǎo)點的函數(shù)？二、求導(dǎo)工具（一）求導(dǎo)基本公式1、（常數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；2、，特殊情形（冪

7、函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；3、，特殊情形（指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；4、，特殊情形（對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；5、（三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）：1）； 2）； 3）；4）； 5）； 6）；7）； 8）； 9）。6、（反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）：1）； 2）；3）； 4）。7、補充公式：1）； 2）；3）。（二）求導(dǎo)法則1、四則求導(dǎo)法則（1）；（2），；（3）；（4）。2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)皆可導(dǎo)，則可導(dǎo)，且。3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)與互為可導(dǎo)的反函數(shù)，且，則。注解：（1）原函數(shù)與其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系；（2）二階導(dǎo)數(shù)之間沒有這種關(guān)系。三、可微與微分1、可微的定義2、連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系3、一階微分形式的不變性4、求導(dǎo)類型（1）

8、顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)；（3）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）變積分限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（5）分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（6）高階導(dǎo)數(shù)。例題部分1、設(shè)存在，（1）求； （2）。2、設(shè)在處連續(xù)，且，求。3、設(shè)對任意的，有，且，證明處處可導(dǎo)。4、設(shè)與在坐標(biāo)原點處相切，求。5、設(shè)在處可導(dǎo)，且，求。6、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）設(shè)，求； （4），求；（5）設(shè)，求； （6）設(shè)，求；（7）設(shè)，求。7、（1）設(shè)，討論函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。（2）設(shè)在處可導(dǎo)，求常數(shù)。（3）設(shè)，其中，且在處可導(dǎo)，求。8、（1）設(shè)，求； （2）設(shè)，求；（3）設(shè)，求； （4）設(shè)，求。（5）設(shè)，求及。第三講 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

9、一、 中值定理1、（羅爾定理）設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，。則存在，使得。2、（拉格朗日定理）設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)。則存在，使得。3、（柯西定理）設(shè)設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，。則存在，使得。4、（泰勒定理）設(shè)在的鄰域內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)。則有，其中稱為余項，稱為拉格朗日型余項，其中介于與之間；稱為皮亞諾型余項。注解：1、中值定理中的條件是結(jié)論成立的充分條件，而非必要條件。2、柯西中值定理中用以保證定理結(jié)論的等式兩端分母不可能為零。3、常用的馬克勞林公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、設(shè)在的鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則二、函數(shù)的單調(diào)性與極值1、函數(shù)的單調(diào)性（1）定義：（2）函數(shù)單調(diào)性判別法：2、函數(shù)的極值（1）函

10、數(shù)極值的定義：（2）必要條件（函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點或者不可導(dǎo)的點，反之不對）。（3）函數(shù)極值的判別：1）第一充分條件：2）第二充分條件：三、函數(shù)的最值1、設(shè)，求在上的最大值和最小值。2、實際問題最優(yōu)解。3、具有唯一駐點的函數(shù)最值的討論。注解：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值不一定是其極大和極小值。四、函數(shù)的凹凸性與拐點1、曲線的凹凸及拐點的定義：2、曲線凹凸性的判別方法：五、漸近線1、鉛直漸近線：若，稱為曲線的一條鉛直漸近線；2、水平漸近線：若，稱為曲線的一條水平漸近線；3、斜漸近線：設(shè)為一條直線（其中），若，稱直線為曲線的一條斜漸近線。若，則直線為曲線的一條斜漸近線。六、函數(shù)圖象的描

11、繪的步驟1、求函數(shù)的定義域；2、求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，并求出函數(shù)的駐點及不可導(dǎo)的點、二階導(dǎo)數(shù)的零點及二階不可導(dǎo)的點；3、求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間及函數(shù)的極值點和拐點；4、求函數(shù)的鉛直、水平及斜漸近線；5、描圖。七、弧微分、曲率與曲率半徑1、弧微分（1）設(shè)曲線，則；（2）設(shè)曲線，則；（3）設(shè)曲線，則。2、曲率及曲率半徑（1）曲率：；（2）曲率半徑：。例題部分一、選擇題1、設(shè)在的鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在處 （ ）不可導(dǎo)； 可導(dǎo)且； 取極大值； 取極小值。2、函數(shù)的零點個數(shù)是 （ ）個； 個； 個； 個數(shù)與有關(guān)。3、設(shè)函數(shù)滿足，且，則 （ ）是的極大值； 是的極小值；是的拐點； 非極值，非拐點

12、。二、解答題1、設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。2、設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)（），且，證明：存在，使得。3、設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得 。4、設(shè)。證明：存在，使得。5、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，連接兩點的直線與曲線交于點，證明：存在，使得。6、證明下列不等式：（1）設(shè)。證明：當(dāng)時，。（2）證明：。（3）設(shè)，證明：。7、（1）研究方程的實根個數(shù)。（2）討論方程根的個數(shù)。第四講 不定積分一、原函數(shù)與不定積分1、設(shè)為兩個函數(shù)，若對任意的有，則稱為的原函數(shù)。注解：（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，反之不對；（2）有第一類間斷點的函數(shù)一定不存在原函數(shù)，但有第二類間斷點的函數(shù)可能存在原函數(shù)，如 ，。（3）若一個函

13、數(shù)存在原函數(shù)，則一定存在無窮多個原函數(shù)，且任意兩個原函數(shù)之間相差常數(shù)。2、不定積分一個函數(shù)的所以原函數(shù)稱為該函數(shù)的不定積分，記為 。注解：（1），；（2）一個可導(dǎo)的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)及原函數(shù)皆為偶函數(shù)；（3）一個可導(dǎo)的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)一定為奇函數(shù)，但其原函數(shù)不一定為奇函數(shù)。（4）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為周期函數(shù)，但其原函數(shù)不一定為周期函數(shù)。二、不定積分的性質(zhì)1、；2、。三、不定積分基本公式1、；2、，；3、，；4、（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。5、（1）， ；（2）， ；（3）；（4）；（5）；（6）。四、積分法1、換元積分法（1）第一類

14、換元積分法。（2）第二類換元積分法。2、分部積分法。3、特殊函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分：（2）三角有理函數(shù)的積分：（3）無理函數(shù)的積分：例題部分1、求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。2、求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）。3、求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）。第五講 定積分一、 定積分的概念1、定積分的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界。（1）作，其中；（2）任取，作積分和；（3）令，若存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，其極限稱為函數(shù)在上的定積分，記為，即。注解：（1），反之不對。（2）定積分與區(qū)間劃分無關(guān)。（3）區(qū)間上有界的函數(shù)不一定

15、可積（舉反例）（4）連續(xù)函數(shù)一定可積，反之不對。（5）若一個函數(shù)只有有限個第一類間斷點，則一定可積。（6）若函數(shù)在區(qū)間上可積，則。（7）設(shè)函數(shù)是可積的，則有 ，。二、定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)和可積，則有1、。2、（其中為常數(shù)）。3、。4、。5、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積且，則。推論1 設(shè)在區(qū)間上，則。推論2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，則。6、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足，則有 。7（積分中值定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則存在，使得。8（1）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，則。（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且不恒為零，則。（3）設(shè)在上連續(xù)，且不恒等于，則有 。9、（積分第一中值定理）設(shè)函數(shù)和在上連續(xù)，且，則存在，使得。證明：因為在上連續(xù)，所以在上

16、一定可取到最大和最小值，分別設(shè)為和，則。因為，所以，兩邊在上積分，得 。情形一：，根據(jù)補充性質(zhì)1得，則對一切的，原等式都成立。情形二：，由，得 ，再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，使得 ，于是有。10、（柯西不等式）設(shè)和在區(qū)間上可積，則 。三、積分學(xué)基本理論定理1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，令，則。定理2（積分基本公式）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且為的一個原函數(shù)，則 。注解：（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，且其原函數(shù)具有可導(dǎo)性。（2）變積分限的求導(dǎo)可作如下推廣：1）。2）。3）若積分限是含有的函數(shù)，而被積表達(dá)式中除積分變量外還含有，在求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)時，一般要先處理被積表達(dá)式中的。如： 四、積分法1、換元積分法設(shè)函

17、數(shù)在上連續(xù)，令可導(dǎo)，且，則 。2、分部積分法設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，則。五、重要公式或結(jié)論1、三角函數(shù)在特定區(qū)間上的積分性質(zhì)（1）特例：，。（2），特例：，（3）。（4）。2、周期函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，則有（1），其中為任意實數(shù)。（2）。3、對稱區(qū)間上函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則（1）。（2）若，則。（3），則。六、廣義積分1、積分區(qū)間有限被積函數(shù)無界的廣義積分（1）設(shè)在上連續(xù)，則。（2）設(shè)在上連續(xù)，則。（3）設(shè)在上連續(xù)，則。2、積分區(qū)間無限的廣義積分（1）設(shè)在上連續(xù)，則。（2）設(shè)在上連續(xù)，則。（3）設(shè)在上連續(xù)，則。七、定積分的應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用1、平面圖形的面積（1）設(shè)，則。（2

18、）設(shè)，則。（3）設(shè)，則。（4）設(shè)曲線，則繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體表面積為 。2、空間幾何體的體積（1）曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積分別為 ， 。（2）設(shè)一個幾何體位于平面與之間，對任意的，平面所得的截口面積為，則幾何體的體積為 。3、平面曲線的長度（1）設(shè)曲線，則 。（2）設(shè)曲線，則 。（3）設(shè)曲線，則 。（二）物理應(yīng)用1、引力（質(zhì)點與線段之間或者線段與線段之間）、壓力。2、變力沿直線運動所做的功。例題部分一、求下列極限：1、；2、；3、；4、；5、設(shè)可微，且，又，求。二、求下列定積分：1、；2、；3、設(shè)，求；4、求；5、求；6、（其中為任意常數(shù)）。三、證明下列等式：1、（1）；（2）；

19、2、設(shè)是以正數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：；3、；4、設(shè)在上可微，且，證明：存在，使得 。5、設(shè)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得 。四、證明下列不等式：1、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明：。2、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：。3、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：。4、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，證明： 。5、對任意的有，證明： 。第六講 多元函數(shù)微分學(xué)一、 基本概念1、多元函數(shù)的極限設(shè)的定義域為，為平面上一點，如果對任意的，存在，當(dāng)時，有 ，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記為。2、多元函數(shù)的連續(xù)設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，如果有，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。3、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，稱為函數(shù)在點處關(guān)于的偏增量；為函數(shù)

20、在點處關(guān)于的偏增量；為函數(shù)在點處的全增量。若存在，稱函數(shù)在點處關(guān)于變量可偏導(dǎo)，極限稱為函數(shù)在點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或者。若存在，稱函數(shù)在點處關(guān)于變量可偏導(dǎo)，極限稱為函數(shù)在點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或者。4、可微與全微分設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，其中是兩個常數(shù)，則稱函數(shù)在點處可微，稱為函數(shù)在點處的全微分，記為。若函數(shù)是可微函數(shù)時，其全微分為。5、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，從引一條射線，設(shè)，令。若存在，稱此極限為函數(shù)在點處沿射線的方向?qū)?shù)，記為。6、梯度設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，則稱為函數(shù)的梯度，記為。7、高階導(dǎo)數(shù)二階以二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。注解：1、若在點可微，則，。2、多元函數(shù)在一點

21、處的連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微之間的關(guān)系（1）函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點處既連續(xù)又可偏導(dǎo)。（2）函數(shù)在點有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點處可微，反之不對。3、設(shè)在點可微，則（其中為射線與軸正向的夾角）。4、設(shè)在點可微，則（其中為射線與軸、軸、軸正向的夾角）。5、梯度的方向是函數(shù)在一點處方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值。因為（其中為與的夾角），所以當(dāng)時，此時取最大值。6、若函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)與都連續(xù)時，但反之不對。二、偏導(dǎo)數(shù)的求法1、顯函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法。2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法。（1）設(shè)關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則。（2）設(shè)關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則 。3、隱函

22、數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)，則。（2）設(shè)，則。4、隱函數(shù)組求偏導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)，則，其中。（2）設(shè)，則，其中。三、多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用1、空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線，對應(yīng)曲線上的點為，則過點的曲線的切向量為，切線方程為 ，法平面方程為 。（2）設(shè)空間曲線，則過點的曲線的切向量為，切線與法平面方程略。2、空間曲面的切平面與法線設(shè)曲面，點，則在點處且平面的法向量為，切平面方程為 ，法線方程為 。四、極值問題1、無條件極值：設(shè)，求目標(biāo)函數(shù)的極值稱為無條件極值，步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）由，求出函數(shù)的駐點；（3）利用判別定理判別所求的駐點是否是函數(shù)的極值點，如為函數(shù)的駐點，令，則1）當(dāng)時

23、，為函數(shù)的極值點。當(dāng)時為極小點，當(dāng)時為極大點；2）當(dāng)時，不是函數(shù)的極值點；3）當(dāng)時，無法確定是否是函數(shù)的極值點（有更進(jìn)一步的討論）。2、條件極值及Lagrange乘數(shù)法例題部分1、設(shè)，討論在處的可偏導(dǎo)性。2、設(shè)，討論在點的連續(xù)性和可偏導(dǎo)性。3、設(shè)，討論在處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性、可微分性、一階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。4、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，且有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求；（3）設(shè)確定兩個一元函數(shù)，且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求。（4）設(shè)，且是由確定的的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求。5、求函數(shù)的極值。6、求橢球的內(nèi)接長方體的體積。第七講 重積分一、重積分的概念1、二重積分（1）實際例子（2

24、）定義2、三重積分（1）實際例子（2）定義二、重積分的性質(zhì)1、二重積分的性質(zhì)2、三重積分的性質(zhì)三、重積分的計算方法1、二重積分的計算方法（1）直角坐標(biāo)法（化二重積分為累次積分）（2）坐標(biāo)變換法（3）特殊計算法（如奇偶性等）2、三重積分的計算方法（1）直角坐標(biāo)法（2）柱面坐標(biāo)變換法（3）球面坐標(biāo)變換法（4）特殊計算法四、重積分的應(yīng)用1、幾何應(yīng)用2、物理應(yīng)用例題部分一、改變下列積分的次序：1、；2、；二、計算下列二重積分：1、，其中由與圍成。2、，其中由與圍成。3、，其中。4、，其中由圍成。5、，其中由圍成。第八講 微分方程一、微分方程的基本概念1、微分方程的定義：2、微分方程的解、特解及通解：3

25、、微分方程的階數(shù)：二、一階微分方程及其解法1、可分離變量的微分方程（1）定義：（2）解法：2、齊次微分方程（1）定義：（2）解法：3、一階線性微分方程（1）一階齊次線性微分方程及解法：（2）一階非齊線性微分方程及解法：4、貝努利方程（1）定義：（2）解法：5、全微分方程（1）定義：（2）解法：三、高階微分方程（一）可降階的高階微分方程1、；2、；3、。（二）高階線性微分方程1、高階線性微分方程的定義：稱 （）為階齊次線性微分方程；稱 （）為階非齊線性微分方程。2、高階線性微分方程解的基本理論（1）設(shè)為（）的一組解，則也為（）的一個解，其中為任意常數(shù)；（2）設(shè)為（）的一個解，為（）的一個解，則為

26、（）的一個解；（3）設(shè)為（）的兩個解，則為（）的一個解；（4）設(shè)，且分別為與的兩個解，則為（）的一個解；（5）設(shè)為（）的線性無關(guān)解，則（）的通解為，其中為任意常數(shù)；（6）設(shè)為（）的線性無關(guān)解，為（）的一個特解，則（）的通解為，其中為任意常數(shù)。注解：設(shè)為（）的個線性無關(guān)解，則（）的通解為，其中為任意常數(shù)，且。3、二階（及高階）常系數(shù)齊次線性微分方程稱 （）（其中為常數(shù)）為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，稱 為其特征方程。（1）若，特征方程有兩個不等實根，則（）的通解為 （其中為任意常數(shù)）；（2）若，特征方程有兩個相等實根，則（）的通解為 （其中為任意常數(shù)）；（3）若，特征方程有兩個虛根，則（）的通解

27、為 （其中為任意常數(shù)）。4、二階常系數(shù)非齊線性微分方程（1）：（2）：（三）歐拉方程（1）定義：（2）解法：例題部分一、求下列一階微分方程的通解：1、；2、；3、；4、；5、；二、求下列微分方程的解：1、求方程滿足初始條件的特解；2、求微分方程的通解。三、求下列方程的解：1、求微分方程的通解；2、。線性代數(shù)部分第一講 行列式一、基本概念1、逆序設(shè)是一對不等的正整數(shù)，若，則稱為一對逆序。2、逆序數(shù)設(shè)是的一個排列，該排列所含的逆序總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。3、對換對排列中任意兩個數(shù)的位置進(jìn)行對調(diào)，稱為對該排列的一次對換，對換改變排列的

28、奇偶性。4、行列式由個數(shù)組成的下列記號 ，稱為階行列式，規(guī)定 。5、余子式與代數(shù)余子式把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原來的排列次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，稱為元素的代數(shù)余子式。二、幾個特殊的高階行列式 以下幾種行列式為常用的特殊行列式，其計算非常方便，應(yīng)用也非常廣泛：1、對角行列式形如，稱為對角行列式，對角行列式等于其對角線上元素之積。2、上（下）三角行列式稱及為上三角行列式和下三角行列式，它們都等于主對角線上的元素之積。3、范得蒙行列式形如 稱為階范得蒙行列式，且。4、廣義對角行列式形如 （其中為方陣）稱為廣義對角行列式，且。5、設(shè)分別為和階

29、矩陣，則，。三、行列式的性質(zhì)（一）把行列式轉(zhuǎn)化為特殊行列式的性質(zhì)1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，即。2、對調(diào)兩行（或列）行列式改變符號。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推論：（1）行列式某行（或列）元素全為零，則該行列式為零。（2）行列式某兩行（或列）相同，行列式為零。（3）行列式某兩行（或列）元素對應(yīng)成比例，行列式為零。4、行列式的某行（或列）的每個元素皆為兩數(shù)之和時，行列式可分解為兩個行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），行列式不變，即，其中為任意常數(shù)。（二）行列式降階的性質(zhì)6、行列式等于行列式某行（或列）元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式之積的和，即，。

30、7、行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）元素的代數(shù)余子式之積的和為零。四、行列式的應(yīng)用克萊姆法則對方程組 （）及 （）其中稱為非齊方程組，稱為對應(yīng)的齊次方程組或的導(dǎo)出方程組。令，其中稱為系數(shù)行列式，我們有定理1 只有零解的充分必要條件是；有非零解（或者有無窮多個解）的充分必要條件是。定理2 有唯一解的充分必要條件是，且；當(dāng)時，要么無解，要么有無窮多個解?；绢}型1、用兩種方法計算行列式（答案：）2計算行列式：（1）； （2），其中是方程的三個根。3、設(shè)是階矩陣，是階矩陣，且，求。4、設(shè)，求（1）；（2）。5、設(shè)為4維列向量,且，求。6、計算，其中。第二講 矩陣一 、基本概念及其運算（一）基

31、本概念1、矩陣：2、同型矩陣及矩陣相等：（二）特殊矩陣1、對稱矩陣與反對稱矩陣：2、轉(zhuǎn)置矩陣：3、可逆矩陣：4、正交矩陣：5、伴隨矩陣設(shè)為矩陣，將矩陣中的第行和列去掉，余下的元素按照原來的元素排列次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，同時稱為元素的代數(shù)余子式，這樣矩陣中的每一個元素都有自己的代數(shù)余子式，記，稱為矩陣的伴隨矩陣。6、非奇異矩陣設(shè)為一個階矩陣，若，則稱矩陣為非奇異矩陣。（三）矩陣的四則運算及性質(zhì)1、矩陣的四則運算（1）矩陣加減法：（2）矩陣乘法：1）數(shù)與矩陣的乘法： 2）矩陣與矩陣的乘法：2、矩陣四則運算的性質(zhì)（1）交換律：。（2）結(jié)合律：1）。 2）。（3）分配律：1）。

32、2）。3）。 4）。（4）。（四）矩陣轉(zhuǎn)置性質(zhì)1、。2、（其中為常數(shù)）。3、。4、。（五）逆矩陣的性質(zhì)1、。2、（其中為非零常數(shù)）。3、，更進(jìn)一步。4、。5、設(shè)可逆，則。6、設(shè)都是可逆矩陣，則。（六）矩陣對應(yīng)的行列式的性質(zhì)1、設(shè)為同階方陣，則。 2、。3、。 4、。 5、設(shè)矩陣可逆，則。二、逆矩陣的存在性與求法（一）矩陣可逆的充要條件定理：設(shè)為階矩陣，則矩陣可逆的充分必要條件是。（二）逆矩陣的求法1、伴隨矩陣法：若，則。2、初等變換法的思想體系及逆陣求法：。三、初等變換、初等矩陣、矩陣等價（一）矩陣的初等變換1、對調(diào)矩陣的兩行；2、矩陣的某行乘以非零常數(shù)倍；3、矩陣某行的倍數(shù)加到另一行。以上三種變換稱為矩陣的三種初等行變換，若對矩陣的列進(jìn)行以上三種變換，稱為矩陣的初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。（二）初等矩陣及性質(zhì)以下三種矩陣稱為初等矩陣1、。性質(zhì)：1）相當(dāng)于把矩陣的第行與第行對調(diào)，相當(dāng)于把矩陣的第列與列對調(diào)；2）； 3）。2、。性質(zhì)：1）相當(dāng)于把矩陣的第行乘以非零常數(shù)，相當(dāng)于把矩陣的第列乘以非零常數(shù)；2）；3）。3、。性質(zhì)：1）相當(dāng)于把矩陣得第行的倍加到第行，相當(dāng)于把矩陣的第列的倍加到；2）； 3）。（三）矩陣等價1矩陣等價的定義設(shè)是兩個同型