二次函數(shù)的圖像1

1、二次函數(shù)y=ax2的圖像內(nèi)容 二次函數(shù)y=ax2的圖像教學(xué)目標(biāo)(一)知道二次函數(shù)的意義；(二)會畫y=x2,y=ax2的圖象，并了解a的變化圖形的影響；(三)會根據(jù)已知條件用待定系數(shù)法求出函數(shù)式y(tǒng)=ax2;(四)掌握拋物線y=ax2圖象的性質(zhì)；(五)加深對于數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識.教學(xué)重點和難點重點：知識二次函數(shù)的意義；會求二次函數(shù)式y(tǒng)=ax2;會畫y=ax2的圖象.難點：描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，數(shù)與形相互聯(lián)系.教學(xué)過程設(shè)計(一)復(fù)習(xí)1.一次函數(shù)式的一般形式是什么?(y=kx+b(k0，k是常數(shù))2.一次函數(shù)中的“次”字是指什么?(函數(shù)中自變量的指數(shù))(二)新課我們已學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)及一次

2、函數(shù)，現(xiàn)在來看看下面三個例子中，函數(shù)y與自變量x之間的函數(shù)式是什么形式.1.正方體的一邊長為x(cm)，那么它的表面積y(cm2)與x關(guān)系式是 _.答：y:6x2. 2.如圖13-61，苗圃的形狀是直角梯形ABCD,ABDC，BCCD.其中AB，AD是已有的墻，BAD=135°，另外兩邊BC與CD的長度之和為30米，如果梯形的高BC為變量x(米)，梯形面積為y(米2)，則y與x的關(guān)系式是 _.解：作AECD于點E，則有因為BAD=135°，則ADC=45°.所以BC=AE=ED.又因為BC+CE+ED=30,則AB=30-2x,CD=30-x,故y=(AB+CD)

3、·BC=(30-2x)+(30-x)·x.所以y=-x2+30x(其中0x30).3.化工廠在一月份生產(chǎn)某種產(chǎn)品200噸，三月份生產(chǎn)y噸，則y與月平均增長率x(自變量的關(guān)系是_.解：一月份為200噸，二月份為200x+200=200(x+1)，三月份為200(x+1)x+200(x+1)=200(x+1)(x+1)=200(x+1)2.所以y=200(x+1)2.即y=200x2+400x+200. 在 y=6x2, y=-x2+30x, y=200x2+400x+200,這三個式子中，雖然函有一項的、兩項的、三項的，但自變量的最高次項都是二次. 一般地，如果y=ax2+b

4、x+c(a，b，c是常數(shù)，a0)，那么，y叫做x的二次函數(shù).注意：(1)必須a0,否則就不是二次函數(shù)了.而b,c兩數(shù)可以是零.(2) 在式中，x的取值范圍是任意實數(shù).例1 下列解析式中，哪些是二次函式?分析：必須是整式才能談次數(shù)”.其中(1)，(2)是分式，(5)是無理式，所以都不是二次函數(shù).(6)是四次函數(shù)，(4)展開整理后是y=3x，是一次函數(shù)，所以只有(3)是二次函數(shù)，y=二次函數(shù)式的一般形式是 y=ax2+bx+c (a0).我們先從最簡單的y=ax2入手研究它.先畫y=x2,初步了解圖象形狀；再畫y=x2,y=2x2,y=x2,y=-3x2，從對比中，找出系數(shù)a對圖像的影響. 列表時

5、的x取值，以原點O為中心為好.按照表格，描出各點(圖13-62).然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標(biāo))由小到大的順序把各點連結(jié)起來(圖13-63)從表格及圖13-63可見，y=x2有以下性質(zhì) (1) x取值范圍是實數(shù)集； (2)當(dāng)兩點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時，函數(shù)y值相等；對應(yīng)在圖象中是，圖象關(guān)于y軸對稱； (3)當(dāng)x0時，y值隨x的增大而減小；當(dāng)x0時，y值隨x的增大而增大.對應(yīng)在圖象中是，在x軸的負(fù)半軸，當(dāng)點的橫坐標(biāo)由小到大變化時，點的位置逐漸下降；在x軸正半軸，當(dāng)點的橫坐標(biāo)由小到大變化時，點的位置逐漸上升；(4)圖像的最低點是原點 (0，0).例2 在同一坐標(biāo)平面中(1) 畫出y=x2,y

6、=2x2=,y=-x2,y=-3x2的圖象；(2) 根據(jù)圖象說明系數(shù)，2，-,-3對圖象的影響及這些圖象之間的關(guān)系.解：(1)見圖13-64.   (說明) ：為了避免圖形畫得太長，圖中的橫軸單位長與縱軸單位長不相同)(2) 因為x20，所以y=x20，y=2x20;y=-x20,y=-3x20.這個數(shù)量關(guān)系聯(lián)系到圖象，就是對y=ax2的圖像. 當(dāng)a0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當(dāng)a0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)；當(dāng)a的絕對值越大，則圖象越靠近y軸；y=ax2(a0),的圖象叫做拋物線，圖象關(guān)于y軸對稱.對稱軸與拋物的交點叫做拋物線的頂點；對于y=ax2(a0)

7、,自變量由負(fù)向正逐漸增大時；當(dāng)a0時，圖象上的點，先下降到頂點，然后再上升，即函數(shù)值y，先減小到0，然后再增大；當(dāng)a時，圖象上的點，先上升到頂點，然后再下降.即函數(shù)值y，先增大到0，然后再減小.例3 已知拋物線y=ax2經(jīng)過點A(-2,-8). (1) 判斷點B(-1,-4)是否在此拋物線上； (2) 求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點的坐標(biāo).分析：因為y=ax 中只有一個待定系數(shù)a，所以有一個條件就可求出a，從而求出此拋物線的函數(shù)式.解：(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2，所求函數(shù)為y=-2x2,因為-4-2(-1)2,所以點B(-1,-4)不在此拋物線上；

8、(2)由-6=-2x2,得x2=3,x=±.所以此拋物線上，縱坐標(biāo)為-6的點有兩個，它們分別(，6)與(-,-6).(三)課堂練習(xí)頂點在原點且以y軸為對稱軸的拋物線過(2,-4)，則此拋物線上縱坐軸為-10的點的坐標(biāo)是 _.分析：y=ax2,由-4=a·4,a=-1.所以 y=-x2.再由-10=-x2,x±.所以點為 (-,-10)和(,-10).(四)小結(jié)>1.二次函數(shù)式了一般形式是y=ax2+bx+c(a0,a,b,c是常數(shù)).2.y=ax2的圖像是拋物線，關(guān)于y軸對稱，頂點是原點.a>0時，開口向上；a<0時，開口向下，|a|越大，圖象越

9、靠近y軸.3有時，二次函數(shù)圖象不是拋物線全部，像圓面積A與半徑r的函數(shù)關(guān)系；A=,其圖象是r>0的那部分.4.用描點法所畫出的圖形是部分的，近似的.5.求y=ax2的解析式，需要一個條件.五（作業(yè)）1. 1.     已知a0,b<0，一次函數(shù)是y=ax+b，二次函數(shù)是y=ax2，則下面圖13-65中，可以成立的是（ ）2.填空：已知二次函數(shù)y=-x2; y=;y=15x2; y=-4x2;y=-x2; y=4x2. (1)其中開口向上的有_(填題號)； (2)其中開口向下且開口最大的是_(填題號)； (3)當(dāng)自變量由小到大變化時，函數(shù)值先逐

10、漸變大，然后漸變小的有_(填題號).3.m是什么值時，函數(shù)y=(m-4)xm2-5m+6是關(guān)于x的二次函數(shù)?4.已知函數(shù)y=ax2+bx+c.(1) 當(dāng)a,b,c是怎樣的數(shù)時，它是正比例函數(shù)?答：_；(2) 當(dāng)a,b,c是怎樣的數(shù)時，它是一次函數(shù)?答：_；(3) 當(dāng)a,b,c是怎樣的數(shù)時，它是二次函數(shù)?答：_.5.下列各函數(shù)中，哪是正比例函數(shù)?哪是一次函數(shù)?哪是二次函數(shù)? 答： 其中是正比例函數(shù)的有_(填題號)； 其中是一次函數(shù)的有_(填題號)； 其中是二次函數(shù)的有_(填題號).6.正方形邊長是3，若邊長增加x，則面積增加y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.7.已知函數(shù)y=ax2的圖象過點(,2).求

11、此圖象上縱坐標(biāo)為時的點的坐標(biāo) .8.從圖象上看，函數(shù)y=-5x2有最大值還是有最小值?如果有，是最大值還是最小值?這個值是多少?作業(yè)的答案或提示1.選(C).因為在(A)中，直線的a0而拋物線的a0，不能成立.在(B)，(D)中，直線的b0與已知予盾.2.(1)開口向上的有，；(2)開口向下且開口最大的是；(3)，.3.令m2-5m+6=2,得m=1,m=4(舍去).m=1時，y=-3x2.4.(1)a=0且c=0且b0; (2)a=0且b0; (3)a0.5.是正比例函數(shù)的有，是一次函數(shù)的有，是二次函數(shù)的有，.6.y=(3+x)2-32=x2+6x.8.y=-5x2圖象開口向下，有最大值.這個最大值是0.課堂教學(xué)設(shè)計說明這節(jié)課要使學(xué)生明了y=ax2，的圖象是拋物線，這是研究一般二次函數(shù)圖象的基礎(chǔ).能過列表及畫圖，要使學(xué)生理解y=ax2的性質(zhì).本節(jié)課在一開始，由三個實際問題引出三個不同形式的解析式y(tǒng)=6x2,y=-x2+30x,y=200x2+400x+200.然后介紹二次函數(shù)一般式的定義.并設(shè)計了例1，讓學(xué)生辨認(rèn)哪個是二次函數(shù).接著講解y=x2的圖象畫法(這是畫拋物線的基本步驟，務(wù)必掌握)，并總結(jié)出的性質(zhì).為了說明y=ax2中系數(shù)a對圖形影響，設(shè)計了例2，并作出了規(guī)律性的結(jié)論，例2的相互制約的思想.