同底數(shù)冪的乘法(3)

1、乘方趣題觀察下列各式：1323 =94 922 32;443 3 311 2 2123 =369 1634 ;441323 3343 = 100 =丄 16 25 =丄 42 52;44若n為正整數(shù)，試猜想13 23 33川 川n3等于多少？解析：觀察三個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)式中的幾個(gè)連續(xù)整數(shù)的立方和，都等于最后一個(gè)整數(shù)與相鄰的下一個(gè)整數(shù)的平行的乘積的丄，因4此 13 23 3 n3等于-n2(n+1)2.4這里我們與課上的探究過(guò)程類似，也是運(yùn)用由“特殊”到“一般”的歸納的方法來(lái)猜想得到的結(jié)論隊(duì)列操練中的數(shù)學(xué)趣題一次團(tuán)體操排練活動(dòng)中，某班 45名學(xué)生面向教師站成一列橫隊(duì)，老 師每次讓其中任意6名

2、學(xué)生向后轉(zhuǎn)(不論原來(lái)方向如何)，能否經(jīng)過(guò) 若干次后全體學(xué)生都背向教師站立？如果能夠的話，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案；如果不能夠，請(qǐng)說(shuō)明理由問(wèn)題似乎與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，卻又難以入手。注意到學(xué)生站立有兩個(gè)方 向，與具有相反意義的量有關(guān)，向后轉(zhuǎn)又可想像為進(jìn)行一次運(yùn)算，或 者說(shuō)改變一次符號(hào)。我們能否設(shè)法聯(lián)系有理數(shù)的知識(shí)進(jìn)行討論呢？讓我們?cè)侔l(fā)揮一下想像：假設(shè)每個(gè)學(xué)生胸前有一塊號(hào)碼布，上寫“+1”，背后有一塊號(hào)碼布，上寫“1”，那么一開始全體學(xué)生面向 老師，胸前45個(gè)“+ 1”的“乘積”是“+ 1”。如果最后全部背向老 師，則45個(gè)“1”的“乘積”是“1”。再來(lái)觀察每次6名學(xué)生向后轉(zhuǎn)進(jìn)行的是什么“運(yùn)算”。我們也設(shè) 想老師不

3、叫“向后轉(zhuǎn)”，而將這6名學(xué)生對(duì)著老師的數(shù)字都“乘以（- 1）”。這樣問(wèn)題就解決了：每次“運(yùn)算”乘上6個(gè)（1）,即乘上了（-1）6, 也就是（+ 1）,故45個(gè)數(shù)的乘積不變（數(shù)學(xué)上稱為不變量），始終是 （+ 1）。所以，要乘積變?yōu)椋?）是不可能的。一個(gè)難題，被有理數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算別出心裁地解決了。有理數(shù)的知識(shí)多么有用！可同學(xué)們的想像力更重要。怎樣理解“同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”？幕的運(yùn)算性質(zhì)的表達(dá)式是aman =am+n （m, n均為正整數(shù)）（1）左邊兩個(gè)幕的底數(shù)相同，而且是相乘的關(guān)系；右邊所得到 的一個(gè)幕，底數(shù)仍不變，指數(shù)相加?？梢?，這一性質(zhì)由乘法運(yùn)算降為 加法運(yùn)算（指數(shù)相加）。對(duì)于這一性質(zhì)，不僅要記住結(jié)論，更重要的 是掌握結(jié)論導(dǎo)出過(guò)程。因?yàn)檫@個(gè)推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了 “由特殊到一般的數(shù) 學(xué)思想方法”。掌握這一方法對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)（當(dāng)然也包括其他學(xué)科） 是非常重要的。（ 2）公式中的字母 a 既可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式，還可 表示多項(xiàng)式。（ 3 ）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，法則仍成立，即am a n ap=am+n+p （m, n, p都是正整數(shù)）。（ 4）只有“同底數(shù)”的冪相乘才能用這個(gè)法則。千萬(wàn)不要出現(xiàn) 類似下面的錯(cuò)誤：a2 （ a） 3=a5。這里出錯(cuò)的原因是因?yàn)檫@兩