向量融入角工具變成法寶

1、向量融入三角工具變成法寶、向量的模(長度)與三角函數(shù)的交匯例 1 若 a =(cosa，i n° 卜 b =(cosB，i n B 卜且 ka + b = J3| a- kb，其中 k>0 .(1 )用k表示a b ；(2)求當k =1時，a與b所成角-(0的大小.解：(1) a b = cos ： cos “ ； sin ： sin ： = cosC -);法一： ka + b= kcost " cos -, ksin - sin ：,a - kb = cos：- -kcos :,sin -ksi n ：,ka + b =(kcosa +cos0)2 +(ksina

2、 +sin P)2=1 k2 2k(cos： cos ： sin ： sin ：) =1 k2 2kcos(；：),222a + kb| =(cosa-kcosB) +(sina-ksin B).=1 k2 -2k(cos： cos ；1 ' sin ： sin ：) =1 k2 -2kcos(：-).由 ka+b =的|a kb，得 1+k2+2kcosg B) =31 + k2 2kcosg B), 整理，得 8kcos(- '-2(k21).cosC4k，即 a -b =k2 14k(k 0)法二：t a| = Jeos2 a +si n2a =1 , b= Jeos2

3、P +si n2 P =1.由 |ka+b2 =3 a- kb2 ，得 k2 a $ +2ka 豹+ b =3 a ? -6ka由+k2| b , 整理，得 8kab= ： k21 ,二 a b =:k4k1(k 0)；4k(2)當 k -1 時， ab =4k 2aa由1cos 廿=_a b 2又 0 W 日 W n, .日=n3點評：本題以向量的模、數(shù)量積作為平臺，主要考查了三角恒等變換.解答中用到了解答向量模的兩種典型的方法：一是通過運用向量的坐標運算先求得向量的坐標，再求向量的模；2 2二是利用公式a =a2將求模轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積要熟練掌握這兩種方法的解題要領(lǐng).例 2 已知向量 m

4、 = cost ,si nr 和 n =、一2-s in v,cosv ,- ( n,2 n),且m+n=誓，求co唱+昜的值解法一： m+ n = cost -sinv 、2,cost si nr , m + n =cos 日一sin 日 + 兩2 + (cos日 + sin 日)2=訥+2 運(cossin&) = #4 +4cos % +寸又cos=28J2冃Cn)7m + n得cos冃+ =5 'I 4丿25由已知卜:卜 2coslrf)-12® n)16cos . +匸一 128 丿 25n ： v : 2 n,e丄n) cos0,128丿二(cos2 r

5、sin2 )2, ( 2 -sin 二)22 _cos J2cos (、2 - si n r) - si n cos1 解法二：2“、22丄小2m+n =(m + n) =m 十2m羽+n222m北=4 2、2(cos 八 sinR=4 1 cos i 】n! v 4丿=8co 8 由已知|m+n|=竽，得代 cos - 2n ： v : 2 n ,5n8e<2n二 cos I -12二 cos -12本題由向量和與模的運算得到關(guān)于？茲的三角函數(shù)關(guān)系，再通過三角恒等變換進行求解這類題是近年高考的熱點，其解題通法是通過向量的運算得到純?nèi)呛瘮?shù)的式子， 然后由三角函數(shù)的知識進行求解.二、向量

6、夾角與三角函數(shù)的交匯點評:例 3 設(shè) a = (1 cos ： ,sin 二),b = 1 - cos : ,sin :,c= i,o , ? (o, n,-（0,冗）,a與c的夾角為弓,b與c的夾角為二2 （1 ）用_：匚表示TI1 ；冗a + P(2)若十-v2,求 sin6的值.4ar1 COS：(1 cos )2 sin2:2 «a.cos =cosV221 cos-.2(1 cos：)a ( 冗(o,n, 2屮!aCOS 2a=COS,2又帚o ,r ；（2）由（1）,同理可得COS日2，=2-円- -2，即6X亠壯 n n2 一2 一 622 sin點評：本題以向量的夾角

7、概念為背景，考查了三角函數(shù)的求值及三角恒等變換的有關(guān)知7T 識.解題的關(guān)鍵在于由向量的數(shù)量積公式求出厲與:-,2與之間的關(guān)系，再由E -二2 :6 得出與1之間的關(guān)系.三、向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的交匯例 4 已知 O 為坐標原點，0A = (2cos2 x,1), OB = (1 八 3sin 2x a) ( x ：二 R , a ：二 R ,a為常數(shù))，若y =0AOB ,(1 )求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f (x)；(2)若x0,上 時，f(x)的最大值為2，求a的值，并指出函數(shù) f(x)(xR)的單調(diào)區(qū)1 2間.解：(1) f (x) = y = OAQB = 2cos2x -3sin 2x

8、 a二 cos2x3sin 2x 1 a = 2sin i 2x - - 1a ;I 6丿(n)(2) f (x)二 2sin I 2x1 a ,I6丿當 x， 0,n 時，2x 王 n,7 n ,IL 26 IL6 6故 f (x)max =2 T a = 2，解得 a = T .可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-丄，kn7 n , kZ ；單調(diào)遞減區(qū)間為 IL 36k n n k n , k Z ._63點評：本題通過向量的數(shù)量積巧妙地把向量與三角函數(shù)、三角恒等變換融為一體，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值及單調(diào)區(qū)間.四、向量模型在解交匯問題中的應(yīng)用例5在銳角 ABC中，已知2cos

9、A - 2cos B = 3 2cos( A - B)，求角C的度數(shù).解：將 2cos A - 2cos B = 3 2cos( A - B)整理得(*)3cos A(1 -cosB) sin Asin B cosB22 21 - cos B sin B ,令 a = cos A,si nA , b= 1 - cosB,si nB .由 a b < a b，得 cos A(1 - cos B) sin As in B cos B <化簡整理得i cosB1 jI 2.丿cosB =丄2n又B為銳角， B =-3n1將BT弋入（* ）式，得-cosA即 sin A -I 6丿n nn ,二A, A ，從而6 23將已知中的三角等式進行三角恒等變點評：本題直