廣義相對(duì)論的基本原理

1、廣義相對(duì)論的基本原理 愛因斯坦提出馬赫原理、廣義協(xié)變性原理和等效原理作為廣義相對(duì)論的基本原理。他采用彎曲時(shí)空的黎曼幾何來描述引力場，給出引力場中的物理規(guī)律，進(jìn)而提出引力場方程，奠定了廣義相對(duì)論的理論基礎(chǔ)。1、1馬赫原理狹義相對(duì)論完全廢除了以太概念，即電磁運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)空間，但卻仍然沒有對(duì)經(jīng)典力學(xué)把絕對(duì)空間當(dāng)作世界的絕對(duì)慣性結(jié)構(gòu)的理由做出解釋，也沒有為具有絕對(duì)慣性結(jié)構(gòu)的力學(xué)提供新的替換。也就是說，慣性系的存在，對(duì)于力學(xué)和電磁學(xué)都是必不可少的。狹義相對(duì)論緊緊地依賴于慣性參考系，它們是一切非加速度的標(biāo)準(zhǔn)；它們使一切物理定律的形式表達(dá)實(shí)現(xiàn)了最簡化。慣性系的這種特權(quán)在很長時(shí)間里保持著一種神秘性。為了滿足狹義

2、相對(duì)論而修改牛頓引力（平方反比）理論的失敗，導(dǎo)致了廣義相對(duì)論的興起。愛因斯坦是出于一種哲學(xué)欲望才把絕對(duì)空間徹底地從物理學(xué)中清除出去的。自一開始，狹義相對(duì)論就把慣性系當(dāng)作一種當(dāng)然的存在?？赡?，愛因斯坦本來也不反對(duì)在狹義相對(duì)論基礎(chǔ)上建立的引力論。由此，愛因斯坦不得不超越狹義相對(duì)論。在這一工作中，他十分誠懇地反復(fù)強(qiáng)調(diào)，他得益于物理學(xué)家兼哲學(xué)家馬赫的思想。愛因斯坦說：“沒有人能夠否認(rèn)，那些認(rèn)識(shí)論的理論家們?cè)鵀檫@一發(fā)展鋪平了道路；從我自己來說，我至少知道：我曾經(jīng)直接地或間接地特別從休漠和馬赫那里受到莫大的啟發(fā)?！?愛因斯坦建立廣義相對(duì)論的一個(gè)重要思想是認(rèn)為時(shí)間和空間的幾何不能先驗(yàn)地給定，而應(yīng)當(dāng)由物質(zhì)及其

3、運(yùn)動(dòng)所決定。這個(gè)思想直接導(dǎo)致用黎曼幾何來描述存在引力場的時(shí)間和空間，并成為寫下引力場方程的依據(jù)。愛因斯坦的這一思想是從物理學(xué)家和哲學(xué)家馬赫對(duì)牛頓的絕對(duì)空間觀念以及牛頓的整個(gè)體系的批判中汲取而來的。愛因斯坦把這一思想稱為馬赫原理。 馬赫原理早在17世紀(jì)就已經(jīng)有了萌芽。馬赫的慣性思想包括四個(gè)方面的內(nèi)容：（1）空間本身并不是一種“事物”，它純粹是物質(zhì)間距離關(guān)系總體的抽象。（2）粒子的慣性是由這個(gè)粒子與宇宙中所有其他物質(zhì)的相互作用造成的。（3）局部的非加速度標(biāo)準(zhǔn)決定于宇宙中所有物質(zhì)的平均運(yùn)動(dòng)。（4）力學(xué)中的所有物質(zhì)都與所有物質(zhì)存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由此，馬赫寫道：“如果我們認(rèn)為地球在繞軸自轉(zhuǎn)或處于靜止?fàn)顟B(tài)，同

4、時(shí)恒星在圍繞著它公轉(zhuǎn)，這都沒有關(guān)系慣性定律必定能證明，第二個(gè)假設(shè)和第一個(gè)假設(shè)得出的結(jié)果是精確地一致的。”我們說地球在“自旋”，自旋的彈性球在赤道上會(huì)凸起來。但是，彈性球是怎么“知道”自旋必然導(dǎo)致凸起的呢？對(duì)于這個(gè)問題，牛頓的回答是，它“感受”到了絕對(duì)空間的運(yùn)動(dòng)；馬赫的回答則是，變凸的彈性球“感受”到了宇宙物質(zhì)在圍繞它轉(zhuǎn)。對(duì)于牛頓來說，相對(duì)于絕對(duì)空間的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生離心力。這種離心力完全不同于萬有引力。對(duì)于馬赫來說，離心力也是引力。它是由物質(zhì)與物質(zhì)之間的作用引起的。愛因斯坦在走向廣義相對(duì)論的進(jìn)程中，曾經(jīng)推測(cè)牛頓的平方反比理論可能與完全的引力理論存在許多差異。1953年，夏馬（DWSciama）復(fù)活并推

5、廣了19世紀(jì)天體力學(xué)家、勒維烈的學(xué)生提澤蘭（FTisserand，18451896）的一種麥克斯韋式的引力理論。并且發(fā)現(xiàn)，它大大地包括了馬赫原理：慣性力對(duì)應(yīng)于宇宙的引力“輻射場”，并與距離的一次方成反比。然而，不幸的是，這種理論在其他方面嚴(yán)重違背相對(duì)論。比如，在狹義相對(duì)論中，質(zhì)量是隨速度變化的；在麥克斯韋理論中，電荷卻是不變的。還有，因?yàn)镋mc2的關(guān)系式，物體的引力束縛能具有（負(fù)的）質(zhì)量；這樣，系統(tǒng)的總質(zhì)量不可能等于部分的質(zhì)量之和；而麥克斯韋理論中電荷（類比于質(zhì)量）卻是嚴(yán)格增加的。愛因斯坦的廣義相對(duì)論對(duì)慣性問題的解決，比麥克斯韋理論要復(fù)雜得多。然而，在“一級(jí)近似”上，它可化為牛頓理論；在“二級(jí)

6、近似”上它則具有麥克斯韋特征。1、2 等效原理等效原理是廣義相對(duì)論最重要的基本原理。這個(gè)原理的實(shí)驗(yàn)依據(jù)是由匈牙利物理學(xué)家厄缶（Rvon）所做的著名的厄缶實(shí)驗(yàn)精確證明的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量的等價(jià)性。所謂慣性質(zhì)量，是指由牛頓第二定律Fma所決定的物體在一定力的作用下獲得加速度時(shí)的那種質(zhì)量，它是物體慣性大小的量度。而引力質(zhì)量則是指由萬有引力定律所決定的表征物體吸引能力大小的那種質(zhì)量。對(duì)這一事實(shí)，經(jīng)典力學(xué)只能承認(rèn)它，但不能解釋它。愛因斯坦認(rèn)為，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量的定義是完全不同的，但它們的數(shù)值卻完全相同，這絕不是偶然的，其中必有更深一層的理由。只有把這種相等都?xì)w結(jié)為兩個(gè)概念的真正本質(zhì)上的相同之后，科學(xué)才

7、有充分理由來規(guī)定這種數(shù)值上的相等。 等效原理的得出是通過愛因斯坦升降機(jī)一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)完成的。讓一個(gè)觀察者登上一個(gè)密閉的電梯，則下述過程是人所共知的：當(dāng)電梯靜止時(shí)，觀察者受到地球引力場的作用，他的腳對(duì)地板的壓力等于他的體重，即等于mg；當(dāng)電梯向上以加速度a開動(dòng)時(shí)，他感到腳下的壓力增大，即自己的體重增加了，變?yōu)閙（ga）；當(dāng)電梯又以勻速運(yùn)動(dòng)上升時(shí)，情況又恢復(fù)正常，即他對(duì)地板的壓力又恢復(fù)為mg；當(dāng)上升的電梯欲停止時(shí)，在減速過程中，他感到腳下壓力減輕，即自己的體重變?yōu)閙（ga）。這樣一個(gè)過程，對(duì)于電梯內(nèi)的觀察者而言，他雖然感覺不到自身的運(yùn)動(dòng)，但能感覺到作用力的變化，他可以認(rèn)為，電梯開動(dòng)時(shí)加速度的效應(yīng)，等

8、價(jià)于地球引力場的增加，而欲停止時(shí)的減速效應(yīng)則等價(jià)于地球引力場的削弱。由此，一個(gè)加速度為a的參考系（電梯）即非慣性系等價(jià)于一個(gè)靜止參考系（地球）即慣性系內(nèi)存在一個(gè)附加的強(qiáng)度為a的均勻引力場。這種等價(jià)性意味著兩者在物理觀察上的不可分辨性?？紤]下列情況，其意義則更加明顯：封閉在電梯中的觀察者無論如何是判斷不出他是處在一個(gè)以加速度g向上運(yùn)動(dòng)的非慣性系中，還是處于一個(gè)內(nèi)部有強(qiáng)度為g的引力場的慣性系中，因?yàn)樗杏X的物理效應(yīng)都是地板對(duì)他的支持力為mg?？傊?，對(duì)于觀察者來說，用一個(gè)非慣性系S，與用內(nèi)部存在均勻引力場的慣性系S來描述的物理過程的規(guī)律，是完全等效的，這就是所謂的等效原理。愛因斯坦認(rèn)為，這個(gè)等價(jià)性

9、的重要推論是：在自由下落的升降機(jī)里，由于升降機(jī)以及其中所有的儀器都以同樣的加速度下降，因而無法檢驗(yàn)外引力場的效應(yīng)。換句話說，自由下落升降機(jī)的慣性力和引力互相抵消了。不過，在真實(shí)的引力場和慣性力場之間并不存在嚴(yán)格的相消。比如，真實(shí)的引力場會(huì)引起潮汐現(xiàn)象，而慣性力場卻并不導(dǎo)致這種效應(yīng)。但是，在自由下落的升降機(jī)里，除開引力以外，一切自然定律都保持著在狹義相對(duì)論中的形式。事實(shí)上，這正是真實(shí)引力場的重要本質(zhì)。如果把自由下落的升降機(jī)稱為局部慣性系，那么，等效原理就可以比較嚴(yán)格地?cái)⑹鰹椋涸谡鎸?shí)引力場中的每一時(shí)空點(diǎn)，都存在著一類局部慣性系，其中除引力以外的自然定律和狹義相對(duì)論中的完全相同。接著愛因斯坦認(rèn)識(shí)到，

10、慣性質(zhì)量同引力質(zhì)量相等，這意味著引力場加給物體的加速度與物體的本性無關(guān)，因?yàn)橐鲩g的牛頓方程為：慣性質(zhì)量×加速度引力強(qiáng)度×引力質(zhì)量。由此方程可知，只有當(dāng)慣性質(zhì)量同引力質(zhì)量相等時(shí)，加速度才同物質(zhì)的本性無關(guān)，而在引力場中的同一地點(diǎn)，一切物體的加速度都是相同的，它同物體的本性無關(guān)。1、3 廣義協(xié)變?cè)韾垡蛩固拐J(rèn)為運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性原理必須進(jìn)一步推廣，即自然定律對(duì)于任何參考系而言都應(yīng)具有相同的數(shù)學(xué)形式。這一思想被愛因斯坦提升為廣義相對(duì)論的一條基本原理廣義協(xié)變?cè)?。廣義協(xié)變?cè)淼慕Y(jié)論是：物理定律必然在任意參照系下，都具有相同的形式。這就是說，它們必須在任意坐標(biāo)系的變換下，保持形式不變。接

11、著，愛因斯坦又利用等效性原理與廣義協(xié)變?cè)硗ㄟ^純理論方式考察了引力場的性質(zhì)。他的思路是這樣的：先假定已知慣性系S中某一物理過程的時(shí)空進(jìn)程，根據(jù)廣義協(xié)變?cè)?，由于物理?guī)律的不變性，即可推知相對(duì)S做加速運(yùn)動(dòng)的參照系S中的物理過程的時(shí)空進(jìn)程，再根據(jù)等效性原理，S中必然存在有一個(gè)引力場。因此，可以利用從理論上考察那些慣性系中的物理過程，獲得關(guān)于引力場中物理過程的進(jìn)程。此時(shí)，引力場對(duì)物理過程的影響就全部弄清楚了。等效原理及廣義協(xié)變?cè)肀砻?，在自然過程面前，慣性系不具有任何特殊的地位。令人驚嘆的是，這一重要結(jié)論的得出又是那樣的自然與簡單。愛因斯坦以他那一貫思考問題的方式，即只是從普通的經(jīng)驗(yàn)與常見的事實(shí)出發(fā)

12、，通過嚴(yán)密的思考，其間沒有摻雜任何復(fù)雜的東西，最后得出令人驚奇的結(jié)論，其過程確實(shí)絕妙無比。愛因斯坦也認(rèn)為產(chǎn)生等效性原理的想法是他“一生中最令人愉快的思維”。2、彎曲時(shí)空 如果一個(gè)矢量從一點(diǎn)平行移動(dòng)到另一點(diǎn)的結(jié)果與連接這兩點(diǎn)所選取的路徑有關(guān)，我們就說空間是彎曲的。如果一個(gè)被移動(dòng)的矢量恰好在移動(dòng)路徑的某點(diǎn)處與該路徑相切，則平行移動(dòng)這一性質(zhì)是否能在沿該路徑移動(dòng)的全過程中都保持下來取決于所選的路徑。如果保持下來，就說這條路徑是自平行曲線。對(duì)于一個(gè)確定的點(diǎn)和一個(gè)確定的方向，總是精確地存在一條自平行曲線，它沿所給定的方向通過該給定的點(diǎn)。在球面上，大圓就是自平行曲線。在平直空間中，自平行曲線是直線。如果由一

13、點(diǎn)平行移動(dòng)到另一點(diǎn)的結(jié)果依賴于所連接的路徑的選擇，那么從一點(diǎn)出發(fā)沿一閉合路徑平行移動(dòng)1周回到出發(fā)點(diǎn)所得到的矢量會(huì)與出發(fā)時(shí)的矢量不同。由于矢量的大小在平行移動(dòng)的過程中保持不變，沿閉合路徑平行移動(dòng)最多只能使矢量產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)而沒有伸縮。如果一組矢量沿閉合路徑一起移動(dòng)，整個(gè)矢量組將作為一個(gè)固定的位形整體轉(zhuǎn)動(dòng)，而矢量之間的夾角不變。在多維空間中，考慮到取向，曲率就變得復(fù)雜了。將曲率看作是空間的局域性質(zhì)，即與空間中任一給定點(diǎn)鄰近的區(qū)域性質(zhì)，人們就只需考慮在這一個(gè)小區(qū)域中的小閉圈上進(jìn)行平行移動(dòng)。如果閉圈足夠小，則一個(gè)矢量沿閉圈平行移動(dòng)1周所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度正比于這個(gè)閉圈所包圍的面積。而與路徑的形狀無關(guān)。因此，曲率的適

14、當(dāng)?shù)臏y(cè)量是繞行單位面積所轉(zhuǎn)的角度。但是，這種測(cè)量與閉圈所回的面的取向有關(guān)，這種取向可以方便地由切于這個(gè)面的2個(gè)線性方向來描述。在四維連續(xù)統(tǒng)中，如時(shí)空流形中，對(duì)于二維曲面而言，存在6個(gè)獨(dú)立的可能取向，這指的是任何可能的取向可以由這6個(gè)基本取向構(gòu)造出來。在閔可夫斯基時(shí)空中，用標(biāo)準(zhǔn)的洛倫茲參考系描述，這6個(gè)基本取向就是4個(gè)坐標(biāo)軸的方向的所有可能組合所形成的：（xy），（yz），（zx），（xt），（yt）及（zt）。除了由閉圈所圍面積的取向外，轉(zhuǎn)角還依賴于被移動(dòng)的矢量的方向。不同的矢量繞行同一閉圈1周后所發(fā)生的大小和方向的改變并不是相互獨(dú)立的，而是作為一個(gè)堅(jiān)固的整體一起轉(zhuǎn)動(dòng)。在四維連續(xù)統(tǒng)中，也有6個(gè)

15、基本的獨(dú)立的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方式，其他轉(zhuǎn)動(dòng)方式可由這 6個(gè)基本方式構(gòu)造出來?？磥硭坪跻? ×636個(gè)基本的曲率分量與所有可能的移動(dòng)路徑的閉圈的取向及所有可能的幾個(gè)矢量整體作為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方式相對(duì)應(yīng)。曲率的實(shí)際的獨(dú)立分量數(shù)是20，它比36小的原因是由于一些進(jìn)一步的考慮。 圖9-6為晚年時(shí)的愛因斯坦在工作在四維時(shí)空中，曲率的20個(gè)分量可分為2組、每組10個(gè)，分組的方法與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。這兩組中的第一組關(guān)系到在一曲面上平行移動(dòng)的那些矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)，曲面是由轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量與另一固定的矢量所張成的，這組分量通常稱為里奇張量（Ricci tensor），是以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Ricci）的名字命名的。將這些分量