圓內接正多邊形

1、北師大版數(shù)學九年級下冊第三章 圓3.6圓內接正多邊形【知識要點】知識點1圓內接正多邊形定義：頂點都在同一個圓上的正多邊形叫做圓內接正 多邊形這個圓叫做該正多邊形的外接圓【典例解析】在圓內接正六邊形ABCDEF中，半徑OC =4，OG _ BC，垂足為G，求這個正六邊形的中心角、邊長和邊心距.解：連接OD六邊形ABCDEF為正六邊形360°©二.COD606COD為等邊三角形.CD 二 OC 4在 RtCOG 中，OC = 4 , CG = 2 OG = 2 3正六邊形ABCDEF中心角為60，邊長為4,邊心距為2 3 分析：題目是有關正多邊形的計算的具體應用，通過例題的學習

2、，鞏固有關正 多邊形的概念，能運用正多邊形的知識解決圓的有關計算問題【達標測評】拓展練習1 （2014?乎和浩特，第6題3 分）已知O O的面積為2 n則其內接正三角形的面積為（）考點：垂徑定理；等邊三角形的性質.分析：先求出正三角形的外接圓的半徑，再求出正三角形的邊長，最后求其面積即可. 解答：解：如圖所示，連接OB、OC，過O作OD丄BC于D，TO O的面積為2 n O O的半徑為 : ABC為正三角形,/ BOC=120°, / BOD=丄 / BOC=60° OB= ,32 BD=OB?sin/ BOD= 丄丨丨=',2-BC=2BD = . 11, OD=

3、OB?cos/ BOD= 飛os60°=L,2 BOC 的面積=_?BC?OD=_：=-：,2 2 2 2 ABC 的面積=3&boc=3X =''.2 2故選C.本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵.難度：中2 (2014年天津市，第21題10分)已知O O的直徑為10,點A,點B，點C在O O上，/ CAB的平分線交O O于點D .AB=6,(I)如圖，若 BC為O O的直徑,(n)如圖，若/ CAB=60° 求BD的長.考點：圓周角定理；等邊三角形的判定與性質；勾股定理.分析:(I) 利用圓周角定

4、理可以判定 CAB和厶DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知 DCB也是等腰三角形，所以利用勾股 定理同樣得到BD = CD=5匚；(H)如圖，連接 OB, OD 由圓周角定理、角平分線的性質以及等邊三角形的判定推知 OBD是等邊三角形，則 BD=OB=OD=5.解答： 解：(I)如圖，T BC是O O的直徑，/ CAB = Z BDC=90° .在直角厶 CAB 中，BC=10, AB=6,由勾股定理得到：AC= _ _：'=. : =8./ AD 平分/ CAB,CD=BD.在直角 BDC 中, BC=10, CD2+BD2=BC

5、2,易求 BD=CD=5 _;(n)如圖，連接 OB, OD / AD 平分/ CAB,且/ CAB=60° , / DAB= - / CAB=30°,2 / DOB=2 / DAB =60°.又 OB=OD, OBD是等邊三角形， BD = OB=OD.O O的直徑為10,則OB=5, BD=5.D點評：本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質.此題利用了圓的定義、有一內角為 60度的等腰三角形為等邊三角形證得OBD是等邊三角形.難度：中3 (2014?湘潭，第25題) ABC為等邊三角形，邊長為 a, DF丄AB, EF丄AC,(1) 求證

6、： BDF CEF ;(2) 若a =4，設BF = m,四邊形ADFE面積為S,求出S與m之間的函數(shù)關系，并探究當m 為何值時S取最大值；(3) 已知A、D、F、E四點共圓，已知tan/EDF =-；,求此圓直徑.(第 1題圖)考點：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質；圓周角定理；解直角三角形 分析：(1)只需找到兩組對應角相等即可.(2) 四邊形ADFE面積S可以看成厶ADF與厶AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表 示出AD、DF、AE、EF的長，進而可以用含 m的代數(shù)式表示 S,然后通過配方，轉化為 二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題.(3) 易知AF就是圓的直徑，利用圓周角

7、定理將/EDF轉化為/ EAF .在 AFC中，知道tan/ EAF、/ C、AC,通過解直角三角形就可求出AF長.解答：解：(1)tDF 丄 AB, EF 丄 AC,/ BDF = / CEF=90° . ABC為等邊三角形， / B= / C=60° ./ BDF = / CEF , / B= / C, BDF CEF .(2)v/ BDF =90° , / B=60° ,/ BF=m, DF =m, BD=.2/ AB=4,/ AD=4-SaadF=AD ?DF=X(4-)=2+ 気同理：Ssef=AE?EF=X( 4-)廠(4-m)2 2=-2+

8、2 ".8 S=Sa adf+Saaef=-m2+ / >m+2V ；4=-丄(m2 4m 8)4=(m 2) 2+3氣二.其中 Ov mv 4.4-v 0, Ov 2 v 4,4當m=2時，S取最大值，最大值為 3 7. S與m之間的函數(shù)關系為:丄(m 2) 2+3:(其中 Ov mv 4).4當m=2時，S取到最大值，最大值為3二.(3)如圖2, A、D、F、E四點共圓,/ ADF = / AEF=90o , af是此圓的直徑.曲 EDP -；, tan / EAF二2=.EA 2/ C=60° ,二=tan 60°= 7.EC設 EC=x，貝U EF=

9、X, EA=2x.AC= a, 2x+x=A. x=. EF= -, AE=Z ,.3 a 3a/ AEF=90° , AF=1 .1' : J '.此圓直徑長為.點評：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質等知識，綜合性強禾U用圓周角定理將條件中的圓周角轉化到合適的位置是解決最后一小題的關鍵.難度：中4 （2014?攀枝花，第23題12分）如圖，以點P （- 1 , 0）為圓心的圓，交 x軸于B、 C兩點（B在C的左側），交y軸于A、D兩點（A在D的下方），AD=，將 ABC 繞點P旋轉180°得到

10、 MCB .（1）求B、C兩點的坐標；(2) 請在圖中畫出線段 MB、MC ,并判斷四邊形 ACMB的形狀(不必證明)，求出點M 的坐標；(3) 動直線I從與BM重合的位置開始繞點 B順時針旋轉，到與 BC重合時停止，設直 線I與CM交點為E，點Q為BE的中點，過點 E作EG丄BC于G,連接MQ、QG .請 問在旋轉過程中/ MQG的大小是否變化？若不變，求出/MQG的度數(shù)；若變化，請說 明理由.考點：圓的綜合題.兩連易=2分析：(1)連接PA，運用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C點的坐標.(2) 由于圓P是中心對稱圖形，顯然射線 AP與圓P的交點就是所需畫的點 M, 接

11、MB、MC即可；易證四邊形 ACMB是矩形；過點 M作MH丄BC ,垂足為 H , 證厶MHP AOP，從而求出 MH、0H的長，進而得到點 M的坐標.(3) 易證點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到/ MQG / MBG .易得/ OCA=60，從而得到/ MBG=6°，進而得到/ MQG=120，所以 MQG是定值.解答：解：(1)連接PA,如圖1所示./ P0 丄 AD , AO=DO .AD=2 , 0A=V5.點P坐標為(-1, 0), 0P=1 .pa=Jo護+0護=2. BP=CP=2. B (- 3, 0), C (1, 0).(2)連接AP，延

12、長AP交O P于點M，連接MB、MC .如圖2所示，線段MB、MC即為所求作.四邊形ACMB是矩形.理由如下： MCB由厶ABC繞點P旋轉180°所得，四邊形ACMB是平行四邊形./ BC是O P的直徑，/ CAB=90 .平行四邊形 ACMB是矩形.過點M作MH丄BC,垂足為H，如圖2所示.在厶MHP和厶AOP中，/ MHP= / AOP，/ HPM= / OPA, MP=AP , MHP AOP . MH=OA= ", PH=PO=1. OH=2 .點M的坐標為(-2,_;).(3)在旋轉過程中/ MQG的大小不變.四邊形ACMB是矩形， / BMC=90 ./ EG

13、丄 BO , / BGE=90 . / BMC= / BGE=90 .點Q是BE的中點， QM=QE=QB=QG .3所示.點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖 / MQG=2 / MBG ./ COA=90 , OC=1 , OA= ；，0A tan/ OCA= U* '. / OCA=60 . / MBC= / BCA=60 . / MQG=120 .在旋轉過程中/ MQG的大小不變，始終等于 120°.圖3圖2I'A圖1點評：本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)、圖形的旋轉等知識，

14、綜合性比較強證明點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上是解決第三小題的關鍵.難度：難5. (2014?湖北黃石,第19題7分)AB弧的中點.(1)如圖，A、B是圓0上的兩點，/ AOB=120 ° C是連接PC,若圓0的半徑R=1，求PC的長.求證：AB平分/ OAC ;第5題圖考點：菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理.分析： (1)求出等邊三角形 AOC和等邊三角形 OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可 得出答案；(2)求出AC=OA=AP，求出/ PCO=90 ° / P=30 °即可求出答案.解答： (1

15、)證明：連接OC,/ AOB=120 ° C 是 AB 弧的中點，/ AOC= / BOC=6O °/ OA=OC , ACO是等邊三角形， OA=AC，同理 OB=BC , OA=AC=BC=OB ,四邊形AOBC是菱形， AB 平分/ OAC ;(2)解：連接OC,/ C 為弧 AB 中點，/ AOB=120 ° / AOC=60 °/ OA=OC , OAC是等邊三角形，/ OA=AC , AP=AC , / APC=30 ° OPC是直角三角形， .點評： 本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，勾股定理，等邊三角形的性質和判定 的應用，主

16、要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較典型，難度適中.難度：中基礎題：1 . （2014?四川成都，第14題4分）如圖，AB是O O的直徑，點C在AB的延考點：切線的性質；圓周角定理. 專題：計算題.分析：連接0D ,由CD為圓0的切線，利用切線的性質得到 0D垂直于CD ,根據(jù)OA=OD , 利用等邊對等角得到/ A= / ODA ,求出/ ODA的度數(shù)，再由/ COD AOD外角， 求出/ COD度數(shù)，即可確定出/ C的度數(shù).解答：解：連接OD ,CD與圓O相切， OD 丄 DC ,/ OA=OD ,/ A= / ODA=25 ° / COD AOD 的外角，/ COD

17、=50 °/ C=40 °故答案為：40點評：此題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，以及外角性質，熟練掌握切線的性質是 解本題的關鍵.難度：中2. （2014?貴州黔西南州，第18題3分）如圖，AB是O O的直徑，AB=15 , AC=9，貝Utan / ADC= .第1題圖考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義.分析： 根據(jù)勾股定理求出 BC的長，再將tan/ADC轉化為tanB進行計算. 解答：解： AB為O O直徑，/ ACB=90°,二 BC=J1 5, - 小=12,/ tan / ADC=tanB=2=,BC 12故答案為.點評： 本題考查了

18、圓周角定理和三角函數(shù)的定義，要充分利用轉化思想.難度：易3. （ 2014?湖北黃岡,第14題3分）如圖，在O O中，弦CD垂直于直徑 AB于點E,若 / BAD=30° 且 BE=2，貝U CD= 4忑 .考點：垂徑定理；解直角三角形.專題：計算題.分析：連結OD，設O O的半徑為R,先根據(jù)圓周角定理得到/BOD=2/ BAD =60° ,再根據(jù)垂徑定理由 CD丄AB得到DE=CE, 在 RtAODE中，OE=OB- BE=R- 2,利用余弦的 定義得 cos/ EOD = cos60°©，即上=，解得 R=4，貝U OE=2, DE=、/OE=2”,OD R所以 CD=2DE=3.解答：解：連結OD，如圖，設O O的半徑為R,/ BAD=30° ,/ BOD=2 / BAD=60° ,/ CD 丄 AB, DE=CE,在 RtAODE 中，OE=OB - BE=R 2, OD = R,/ cos/ EOD=cos60°型,ODR- 2=，解得 R=4, R OE=4 - 2=2 , DE3OE=3, CD=2DE=4 .故答案為4 7.點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧也考查了圓周角定理和解直角三角形.難度：中4. ( 2014?廣西來賓，