平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(精華)

1、必修 4平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別 . 向量常用有向線段來(lái)表示 .注意：不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移 .舉例 1uuurr1,3) 平移后得到的向已知 A(1,2) ，B (4,2) ，則把向量 AB按向量 a (量是 _.結(jié)果： (3,0)r2. 零向量：長(zhǎng)度為 0 的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的0方向是任意的；uuur3. 單位向量 ：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與 AB 共線uuur的單位向量是AB）；uuur|AB|4. 相等向量 ：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相

2、等向量有傳遞性；rr5. 平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，記作：rra b ，規(guī)定： 零向量和任何向量平行 .注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r平行向量無(wú)傳遞性！ （因?yàn)橛?0 ) ；三點(diǎn) A、B、 C 共線uuur uuurAB、AC 共線 .r6. 相反向量 ：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量記作ra .r rr r舉例 2 如下列命題：（1）若 | a | | b | ，則 a b .（2）兩個(gè)

3、向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.uuuruuuur，則 ABCD 是平行四邊形 .（3）若 ABDCuuuruuuur（4）若 ABCD 是平行四邊形，則 ABDC .r rr rr r（5）若 a b ， b c，則 a c .r rr rr r結(jié)果：（4）（5）（6）若 a / /b ，b / / c 則 a / /c . 其中正確的是.二、向量的表示方法uuur1. 幾何表示 ：用帶箭頭的有向線段表示，如 AB ，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2. 符號(hào)表示 ：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如r ， r ， r 等；abc3. 坐標(biāo)表示 ：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x 軸、 y

4、軸方向相同rrr的 兩個(gè) 單位向 量 i ,j 為基 底，則 平面內(nèi) 的任 一向量a 可表 示為rrrrrraxiyj ( x, y) ，稱 ( x, y)為向量 a 的坐標(biāo)， a ( x, y) 叫做向量 a 的坐標(biāo)表示 .結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同 .三、平面向量的基本定理rrr定理設(shè) e1, e2 同一平面內(nèi)的一組基底向量， a 是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì) ( 1 ,rrr2 ) ，使 a1e12e2 .（1）定理核心：rrrr的分解，且1 12 2 ；（2）從左向右看，是對(duì)向量aa ee表達(dá)式唯一；反之，是對(duì)向量a 的合成 .r（3）向量的

5、正交分解：當(dāng)rr時(shí)，就說(shuō)rre1,e2a e解舉例 3rrrr（1）若 a (1,1)， b (1, 1) ， c ( 1,2)，則 c1 r3 r .ab22r為對(duì)向量 r 的正交分ea22.結(jié)果：（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是BA.rrB.rrC.rr1(0,0)， 2(1,2)1( 1,2)， 21(3,5)， 2(6,10)eeee (5,7)eer3) ，r1,3D. e1 (2,e224uuur uuuruuur ruuurruuur（3）已知 AD , BE 分別是 ABC 的邊 BC ，AC 上的中線 , 且 AD a ，BEb , 則 BCr r.結(jié)果：2

6、r4 r可用向量 a , b 表示為ab .33uuuruuuruuuruuuruuur，則 rs 的（ 4）已知 ABC 中，點(diǎn) D 在 BC 邊上，且 CD2DB， CDrABsAC值是.結(jié)果： 0.四、實(shí)數(shù)與向量的積r的積是一個(gè)向量，記作r實(shí)數(shù) 與向量 aa ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：rr（1）模： |a | | a | ；（2）方向：當(dāng)rrr0 時(shí)， a 的方向與 a 的方向相同，當(dāng)0 時(shí)， a 的r0 時(shí)，rr方向與 a 的方向相反，當(dāng)a0 ，注意：r0 .a五、平面向量的數(shù)量積rruuurruuurr1. 兩個(gè)向量的夾角 ：對(duì)于非零向量a ， b，作 OAa ， OBb ，則把AO

7、B(0) 稱為向量rar ， b 的夾角 .rr同向；當(dāng)rrrr當(dāng)0 時(shí)， a ， b時(shí)， a， b 反向；當(dāng)時(shí)， a ， b 垂2直 .rr，它們的夾角為，2. 平面向量的數(shù)量積 ：如果兩個(gè)非零向量 a ， br rrrr r我們把數(shù)量 | a | b | cos叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積） ，記作： a b ，r rrr即 a b| a | |b | cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量 .舉例 4 （1）中，uuur，uuur，uuur，則uuur uuur_.結(jié) ABC|AB| 3|AC| 4|BC| 5AB BC果： 9.（

8、 2）已知結(jié)果： 1.r1r1rrrr r rrr的夾角為4，則_.2，2，a kb，與dka 1,b0,cd a bcrrr r3 ，則（3）已知 | a | 2， | b | 5， a br r（ 4）已知 a, b 是兩個(gè)非零向量，且rr結(jié)果： 23 .| a b | _.rrr rrr r| a | | b | | ab | ，則 a 與 ab 的夾角為 _.結(jié)果：30o .3. 向量rrrb 在向量a 上的投影：|b | cos ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.5rrr舉例rrr已知 | a |3 ， | b | 5 ，且a b 12，則向量 a 在向量 b 上的投影為_.結(jié)果： 1

9、2 .rr5rrrrrr4. ab 的幾何意義 ：數(shù)量積ab 等于 a 的模| a | 與 b 在 a 上的投影的積 .rr，則：5. 向量數(shù)量積的性質(zhì) ：設(shè)兩個(gè)非零向量 a ， b ，其夾角為（1）rrr r0 ；aba brrr rrr，特別地，r 2r r r 2rr 2；（2）當(dāng) a 、 b 同向時(shí)， a b| a | b |aaa | a | a |ar rrrrra b | a | b | 是 a 、b 同向的充要分條件 ；r、rrrrrrrrrr、r當(dāng) ab 反向時(shí)， ab| a | | b | ， ab| a | | b | 是 ab 反向的充要分條件；r rrrrr當(dāng) 為銳角

10、時(shí)，0，且、不同向，0是 為銳角的 必要不a baba b充分條件 ；r rrrrr當(dāng) 為鈍角時(shí)，0，且、不反向；0是 為鈍角的 必要不a baba b充分條件 .r rrrr rrr（3）非零向量a ba ， b 夾角 的計(jì)算公式： cosrr ； a b| a | b | .| a |b |舉例 6rr(3,2)rr的夾角為銳角，則的（1）已知 a( ,2 ) ， b，如果 a 與 b取值范圍是 _.結(jié)果：4 或0 且1 ；33uuuruuur1 ，若uuuruuur（ 2）已知 OFQ 的面積為 S ，且 OFFQ1S3，則OF，F(xiàn)Q夾角 的22取值范圍是 _.結(jié)果：,；43rrr r（

11、3）已知 a (cos x,sin x) ， b (cos y,sin y) ，且滿足 | ka b |r rr r用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此時(shí)r rk2 10) ；最小值為1，60o.結(jié)果： a b( k24krr）.3 | akb | （其中 k 0rra 與 b 的夾角的大小 .六、向量的運(yùn)算1. 幾何運(yùn)算（1）向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則.uuurruuur ruuurr r運(yùn)算形式：若 ABa ， BC b ， 則向量 AC 叫做uuur uuuruuura bAB BCAC ；rar與 b 的和，即作圖：略 .注：平行四邊形法則只適用于不共

12、線的向量.（2）向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式：若uuurruuurrr ruuuruuuruuurABa ， ACb ，則 a bABACCA ，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).作圖：略 .注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例7（1）化簡(jiǎn)：uuuruuuruuur；uuuruuuruuuur；ABBCCDABADDCuuur uuuruuuruuur.uuuruuur；r( AB CD)( ACBD )結(jié)果： AD ； CB0 ；（2）若正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為uuurruuurruuurrrrr.1，ABa，BCb ，ACc ，則| abc |結(jié)果： 22 ；uuuruuu

13、ruuuruuuruuur，則 ABC 的（3）若 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 OBOCOBOC 2OA形狀為 .結(jié)果：直角三角形；（ 4）若 D 為 ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)， ABC 所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P ，滿足uuur uuuruuurruuur，則 的值為.結(jié)果： 2；|AP|PA BPCP0，設(shè) uuur|PD|uuuruuuruuurr，則 ABC 的內(nèi)角 C 為.（5）若點(diǎn) O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0結(jié)果： 120o .rr( x2 , y2 ) ，則2. 坐標(biāo)運(yùn)算 ：設(shè) a (x1, y1) ， brr( x1x2 , y1rr(x1x2 , y1

14、y2 ) .（1）向量的加減法運(yùn)算 ： aby2 ) ， ab舉例 8（1）已知點(diǎn) A(2,3) ，B(5,4)uuuruuuruuurR) ，則當(dāng)_，C (7,10) ，若 APABAC (時(shí)，點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分線上.結(jié)果：1；2（2）已知 A(2,3) ， B(1,4)uuur) ，則 x.結(jié)，且 1 AB (sin x,cos y) ， x, y(,y222果：6或2 ；（3）已知作用在點(diǎn)A(1,1) 的三個(gè)力uuruur，uur，則合力F1(3,4)， F2(2, 5)F3 (3,1)uur uuruuruur結(jié)果： (9,1) .F F1F2F3 的終點(diǎn)坐標(biāo)是.r(x1

15、, y1)( x1 ,y1) .（2）實(shí)數(shù)與向量的積 ： auuury1 ) ，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等（3）若 A(x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，則 AB( x2x1 , y2于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo) .舉例 9設(shè)，且uuur1 uuur，uuuruuur，則的坐標(biāo)分別是A(2,3)B( 1,5)AC3AD 3ABC, DAB_.結(jié)果： (1,11),(7,9) .3（4）平面向量數(shù)量積舉例 10已知向量 ra（ 1）若 x 3 ，求向量（ 2）若 x 3 , ，函數(shù)84r ry1 y2 .： a b x1x2rr(sin x,cos x) ， b (si

16、n x,sin x) ， c ( 1,0) .rr的夾角；a 、 crr的最大值為1，求 的值 . 結(jié)果：（1）o；f (x)ab2150（2）1或21.2r2r 2x2y2rx22.（5）向量的模 ： a| a | a |y舉例 11r r均為單位向量，它們的夾角為orr已知 a, b60，那么 | a 3b | .結(jié)果： 13.（6）兩點(diǎn)間的距離 ：若 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，則|AB|( x2x1 )2( y2y1 )2 .舉例 12如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy60o，平面上任一點(diǎn)P關(guān)y于斜坐標(biāo)系uuurrrr r分別為與ox 軸、 y 軸同的斜坐標(biāo)

17、是這樣定義的：若OP xe1ye2 ，其中 e1 ,e2方向的單60Ox位向量，則P 點(diǎn)斜坐標(biāo)為( x, y) .（ 1）若點(diǎn) P 的斜坐標(biāo)為 (2, 2) ，求 P 到 O 的距離 | PO | ；（ 2）求以 O 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy 中的方程 . 結(jié)果：（1） 2；（2） x2 y2 xy 1 0 .七、向量的運(yùn)算律1. 交換律：2. 結(jié)合律：3. 分配律：舉例 13rrrr，(r(rabbaa) arrrrrrrra b c (a b ) c ， a b(rrr，rr)aaa( ab )給出下列命題：rrr r， a bb a ；rrrrr rca (bc) ，

18、(a)brr，rrrab(ab) cr rrr rrra (bc )a bac ；rrrr( ab)a ( b ) ；rrrracbc .rrrrrra(bc)(ab )c ；r r 2r2rrr 2；( a b)| a |2| a |b | | b |rrrrrrrr rr rr rr rr 2r 2；a bb 若 ab 0，則 a0或 b 0；若 a bc b 則 a c ； | a |ar2r；aarr 2r 2r 2rr 2r 2rrr 2. (ab)ab； (ab)a2ab b其中正確的是.結(jié)果： .說(shuō)明：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊

19、平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)， 兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即r r rr r ra (b c ) (a b) c ，為什么？八、向量平行 ( 共線 ) 的充要條件r rr rr r 2r r2x1 y2 y1x20 .a / /ba b(a b)(| a | b |)舉例 14r( x,1)rrr(1) 若向量 a， b (4, x)，當(dāng) x _時(shí)， a 與 b 共線且方向相同 .結(jié)果： 2.（ 2）已知果： 4.rrr rrrr rr r.結(jié)a (1,1)，b (4, x) ，

20、u a 2b，v 2 a b ，且 u / / v ，則 xuuuruuuruuur結(jié)（ 3）設(shè) PA ( k,12) ， PB (4,5)， PC (10,k ) ，則 k_ 時(shí)， A,B ,C 共線 .果： 2或 11.九、向量垂直的充要條件r rrrr rrrx1 x2y1 y20 .a ba b 0| a b | | a b |uuuruuuruuuruuur特別地ABACABACuuuruuuruuuruuur .|AB| |AC |AB|AC|舉例 15(1)已知uuuruuur，若uuuruuur，則.結(jié)果：m；，3OA (1,2)OB (3, m)OAOBm2（2）以原點(diǎn) O

21、和 A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB， B90 ，則點(diǎn)B 的坐標(biāo)是.結(jié)果： (1,3) 或（ 3， 1）；rrrr rr. 結(jié)果： (b, a) 或（3）已知 n (a ,b ) 向量 nm ，且 | n | | m | ，則 m 的坐標(biāo)是( b, a) .十、線段的定比分點(diǎn)是直線1 2上異于 1、 2 的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)1. 定義：設(shè)點(diǎn)PPPPP數(shù)uuuruuur，則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn)uuuur所成的比 ，P 點(diǎn)叫，使 PP1PP2P 分有向線段 PP12uuuur的以定比為的定比分點(diǎn) .做有向線段 P1P22. 的符號(hào)與分點(diǎn) P 的位置之間的關(guān)系uuuur，即點(diǎn) P在線段 PP1

22、2 上0 ；（1） P 內(nèi)分線段 PP12（2）uuuur時(shí)，點(diǎn)在線段 PP 的延長(zhǎng)線上1，點(diǎn)P外分線段 1 2PPP1 2P在線段 PP 的反向延長(zhǎng)線上10 .1 2注：若點(diǎn)分有向線段uuuur分有向線段uuuur所成的P1 2 所成的比為 ，則點(diǎn)P2 1PPP P比為1.舉例 16uuuruuur若點(diǎn) P分 AB所成的比為 3 ，則 A 分 BP 所成的比為.4結(jié)果：37 .3.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式 ：uuuur所成的比為，則定比分設(shè) P1 (x1, y1 ) ，P2 ( x2 , y2 ) ，點(diǎn) P(x, y) 分有向線段 P1P2xx1x2 ,1) .點(diǎn)坐標(biāo)公式為1(yy1y2 .1

23、xx1x2 ,特別地，當(dāng)1時(shí)，就得到線段 1 2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式2PPy1y2 .y2說(shuō)明：（1）在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)， 應(yīng)明確 (x, y) ，(x1 , y1 ) 、(x2 , y2 )的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo) .（ 2）在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比 .舉例 17 （1）若 M( 3,uuuuruuuur.2) ，N(6, 1) ，且 MP1 MN ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為3結(jié)果： ( 6,37) ；rauuuuruuuur，則（ 2）已知 A(a ,0) ， B(3,2 a) ，直線 y 1 ax 與線段 AB 交于 M

24、 ，且 AM2 MB2.結(jié)果：或 4 .十一、平移公式r(h,k) 平移至 P(x , y ) ，則xx h ,；曲線 f ( x, y)0 按如果點(diǎn) P(x, y) 按向量 ayy k.r(h,k) 平移得曲線 f ( x h, y k)0 .向量 a說(shuō)明：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（ 2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！舉例 18rr平（1）按向量 a 把 (2, 3)平移到 (1, 2) ，則按向量 a 把點(diǎn) ( 7,2)移到點(diǎn) _.結(jié)果： ( 8,3)；（ 2）函數(shù) y sin 2 x 的圖象按向量r平移后，所得函數(shù)的解析式是ar結(jié)果： (,1) .y cos2x 1 ，則 a _.4十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；rrrrrr2. 模的性質(zhì)： | a | b | | a b | | a | b | .（1）右邊等號(hào)成立條件：r rr rrr r rra、b同向或 a、b 中有 0| a b | | a | | b | ；（2）左邊等號(hào)成立條件：r rr rrr r rra、b反向或 a、b 中有 0| a b | |