整式,分式,因式分解,二次根式解題技巧

1、1.整式用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子叫代數(shù)式單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫單項式注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示，如：這種表示就是錯誤的，應寫成：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)如：是六次單項式幾個單項式的和叫多項式其中每個單項式叫做這個多項式的項多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)單項式和多項式統(tǒng)稱整式用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出的結果，叫代數(shù)式的值注意：(1)求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡

2、，然后再將字母的取值代入(2)求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整體”代入2.同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項幾個常數(shù)項也是同類項注意：(1)同類項與系數(shù)大小沒有關系；(2)同類項與它們所含字母的順序沒有關系把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項合并同類項的法則是：同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變去括號法則1：括號前是“” ，把括號和它前面的“”號一起去掉，括號里各項都不變號去括號法則2：括號前是“” ，把括號和它前面的“”號一起去掉，括號里各項都變號整式的加減法運算的一般步驟：(1)去括號；(2)合并同類項同

3、底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加如：(都是正整數(shù))冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘如：(都是正整數(shù))積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所有的冪相乘如：(為正整數(shù))單項式的乘法法則：單項式乘以單項式，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式注意：單項式乘以單項式的結果仍然是單項式單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加如：(都是單項式)注意：單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同計算時要注意符號問題，多項

4、式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加注意：多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項平方差公式：；完全平方公式：，；立方和公式：立方差公式：；注意：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減如：(為正整數(shù)，)注意：()；為正整數(shù))單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)和同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里面含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項式除以單項式的運算法則：多項式除以單項式，先把這個

5、多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加注意：這個法則的適用范圍必須是多項式除以單項式，反之，單項式除以多項式是不能這么計算的3因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式注意：(1)因式分解專指多項式的恒等變形，即等式左邊必須是多項式例如：；等，都不是因式分解(2)因式分解的結果必須是幾個整式的積的形式例如：，不是因式分解(3)因式分解和整式乘法是互逆變形(4)因式分解必須在指定的范圍內分解到不能再分解為止如：在有理數(shù)范圍內應分解為：；而在實數(shù)范圍內則應分解為：1、 提公因式法：如果多項式的各項都含有公因式，可以把這個公因式提到括號外

6、面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法的關鍵在于準確的找到公因式，而公因式并不都是單項式；公因式的系數(shù)應取多項式整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取多項式各項相同的字母；各字母指數(shù)取次數(shù)最低的2、 運用公式法：把乘法公式反過來，可以把符合公式特點的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法平方差公式：完全平方公式：；立方和公式：立方差公式：注意：運用公式分解因式，首先要對所給的多項式的項數(shù)，次數(shù)，系數(shù)和符號進行觀察，判斷符合哪個公式的條件公式中的字母可表示數(shù)，字母，單項式或多項式3、 分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法分組分解法的關鍵是合理的選

7、擇分組的方法，分組時要預先考慮到分組后是否能直接提公因式或直接運用公式4、十字相乘法：5、求根法：當二次三項式不易或不能寫成用公式法或十字相乘法分解因式時，可先用求根公式求出一元二次方程的兩個根，然后寫成：運用求根法時，必須注意這個一元二次方程要有兩個實數(shù)根因式分解的一般步驟是：(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式；(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的次數(shù)：二項式可以嘗試運用公式法分解因式；三項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四項式及四項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式；(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止4. 分式一般

8、的，用表示兩個整式，就可以表示成的形式如果中含有字母，式子就叫做分式其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母.分式和整式通稱為有理式注意：(1)分母中含有字母是分式的一個重要標志，它是分式與分數(shù)、整式的根本區(qū)別；(2)分式的分母的值也不能等于零若分母的值為零，則分式無意義；(3)當分子等于零而分母不等于零時，分式的值才是零把一個分式的分子與分母的公因式約去，把分式化成最簡分式，叫做分式的約分一個分式約分的方法是：當分子、分母是單項式時，直接約分；當分子、分母是多項式時，把分式的分子和分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式一個分式的分子和分母沒有公因式時，叫做最簡分式，也叫既約分式把幾個異分母的分

9、式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變用式子表示是：(其中是不等于零的整式)分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變如：分式的系數(shù)化整問題，是利用分式的基本性質，將分子、分母都乘以一個適當?shù)牟坏扔诹愕臄?shù)，使分子、分母中的系數(shù)全都化成整數(shù)當分子、分母中的系數(shù)都是分數(shù)時，這個“適當?shù)臄?shù)”應該是分子和分母中各項系數(shù)的所有分母的最小公倍數(shù)；當分子、分母中各項系數(shù)是小數(shù)時，這個“適當?shù)臄?shù)”一般是，其中等于分子、分母中各項系數(shù)的小數(shù)點

10、后最多的位數(shù)例、不改變分式的值，把下列各分式分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)，且使各項系數(shù)絕對值最小(1)；(2)分析：第(1)題中的分子、分母的各項的系數(shù)都是分數(shù)，應先求出這些分數(shù)所有分母的最小公倍數(shù)，然后把原式的分子、分母都乘以這個最小公倍數(shù)，即可把系數(shù)化為整數(shù)；第(2)題的系數(shù)有分數(shù)，也有小數(shù)，應把它們統(tǒng)一成分數(shù)或小數(shù)，再確定這個適當?shù)臄?shù)，一般情況下優(yōu)先考慮轉化成分數(shù)解：(1)；(2) 1、 分式的乘除法則：分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘用式子表示是：；2、 分式的乘方法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方用

11、式子表示是：(為整數(shù))3、分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減用式子表示是：；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減用式子表示是：分式的混合運算關鍵是弄清運算順序，分式的加、減、乘、除混合運算也是先進行乘、除運算，再進行加、減運算，遇到括號，先算括號內的例、計算分析：對于這道題，一般采用直接通分后相加、減的方法，顯然較繁，注意觀察到此題的每個分式的分子都是一個二項式，并且每個分子都是分母與1的和，所以可以采取“裂項法” 解：原式 點評：本題考查在分式運算中的技巧問題，要認真分析題目特點，找出簡便的解題方法，此類型的題在解分式方程中也常見到5.二次根式式子

12、叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“” ；被開方數(shù)必須是非負數(shù)如，都是二次根式若二次根式滿足:被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫最簡二次根式，如，是最簡二次根式，而，就不是最簡二次根式化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：如果被開方數(shù)是分數(shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將它分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫同類二次根式注意：當幾個二次根式的被開方數(shù)相同時，也可

13、以直接看出它們是同類二次根式如和一定是同類二次根式合并同類二次根式就是把幾個同類二次根式合并成一個二次根式合并同類二次根式的方法和合并同類項類似，把根號外面的因式相加，根式指數(shù)和被開方數(shù)都不變把分母中的根號化去，叫分母有理化如 兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式如；和；都是互為有理化因式注意：二次根式的除法，往往是先寫成分子、分母的形式，然后利用分母有理化來運算如(1)(2)(3) (4)二次根式的加減法法則：(1)先把各個二次根式化成最簡二次根式；(2)找出其中的同類二次根式；(3)再把同類二次根式分別合并二次根式的乘法法則：兩個二次根式

14、相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變即：()此法則可以推廣到多個二次根式的情況二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即：()此法則可以推廣到多個二次根式的情況二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)例1、計算：分析：此題一般的做法是先分母有理化，再計算，但由于分母有理化比較麻煩，我們應注意到；，這樣做起來就比較簡便解： 例2、計算：分析：按一般的方法做起來比較麻煩，注意題目的結構特點，逆用分式加、減法的運算法則“”進行變換，進而運用“互為相反數(shù)的和為零”的性質來化簡解：；， 原式例3、已知，是的整數(shù)部分，是的小

15、數(shù)部分，求的值分析：先將分母有理化，求出的值，再求代數(shù)式的值解：，又，二次根式的化簡技巧 一、 巧用公式法例1計算分析：本例初看似乎很復雜，其實只要你掌握好了公式，問題就簡單了，因為與成立，且分式也成立，故有0，0，而同時公式：=-2+，-=，可以幫助我們將和變形，所以我們應掌握好公式可以使一些問題從復雜到簡單。解：原式=+=+=2-2二、適當配方法。例2計算：分析：本題主要應該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點，分母含有1+其分子必有含1+的因式，于是可以發(fā)現(xiàn)3+2=，且，通過因式分解，分子所含的1+的因式就出來了。解：原式=1+三、正確設元化簡法。例3：化簡分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉化成字母的代替

16、數(shù)字化簡法，通過化簡替代，使其變?yōu)楹唵蔚倪\算，再運用有理數(shù)四則運算法則的化簡分式的方法化簡，例如：，正好與分子吻合。對于分子，我們發(fā)現(xiàn)所以，于是在分子上可加，因此可能能使分子也有望化為含有因式的積，這樣便于約分化簡。解：設則2且所以：原式=四、拆項變形法例4，計算分析：本例通過分析仍然要想到，把分子化成與分母含有相同因式的分式。通過約分化簡，如轉化成：再化簡，便可知其答案。解：原式=五、整體倒數(shù)法。例5、計算分析：本例主要運用了變倒數(shù)后，再運用有關公式：，化簡但還要通過折項變形，使其具有公因式。解：設A=所以A= 六、 借用整數(shù)“1”處理法。例6、計算分析：本例運用很多方面的知識如： 1=&#

17、215;，然后再運用乘法分配率，使分子與分母有相同因式，再約分化簡。解：原式=七、 恒等變形整體代入結合法分析：本例運用整體代入把x+y與xy的值分別求出來，再運用整體代入法將x+y與xy代入例題中，但一定要把所求多項式進行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式，如xxy+y=(x+y)3xy，然后再約分化簡。例7：已知X=（），y =()，求下列各式的值。（1）xxy+y; (2)+ 解：因為X=（），y =()，所以：x+y=，xy=。（1） xxy+y=（x+y）3 xy=()3×=（2） + =八、降次收冪法：例8、已知x=2+，求的值。分析：本例運用了使題中2次冪項轉化成1次

18、方的項再化簡。如例題中把多項式轉化為4x1，這樣進行低次冪運算就容易了。 解：由x=2+,得x2=。(x-2) =3整理得：x=4x1。所以：3x2 x+5=3（4 x1）2 x+5=10（2+）+2=22+10 22 x7（2+）-7=23，所以原式=42+分式運算的幾點技巧 分式運算的一般方法就是按分式運算法則和運算順序進行運算。但對某些較復雜的題目，使用一般方法有時計算量太大，導致出錯，有時甚至算不出來，下面列舉幾例介紹分式運算的幾點技巧。一. 分段分步法  例1. 計算：解：原式說明：若一次通分，計算量太大，注意到相鄰分母之間，依次通分構成平方差公式，采用分段分步法

19、，則可使問題簡單化。同類方法練習題：計算（答案：） 二. 分裂整數(shù)法  例2. 計算：    解：原式說明：當算式中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)相同次數(shù)時，一般要先利用分裂整數(shù)法對分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數(shù)法。同類方法練習題：有一些“幸福”牌的卡片（卡片數(shù)目不為零），團團的卡片比這些多6張，圓圓的卡片比這些多2張，且知團團的卡片是圓圓的整數(shù)倍，求團團和圓圓各多少張卡片？（答案：團團8張，圓圓4張） 三. 拆項法  例3. 計算：解：原式說明：對形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各個分式拆

20、項，正負抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆項法。同類方法練習題：計算：（答案：） 四. 活用乘法公式  例4. 計算：解：當且時，原式說明：在本題中，原式乘以同一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，就可連續(xù)使用平方差公式，分式運算中若恰當使用乘法公式，可使計算簡便。同類方法練習題：計算：（答案：） 五. 巧選運算順序  例5. 計算：解：原式說明：此題若按兩數(shù)和（差）的平方公式展開前后兩個括號，計算將很麻煩，一般兩個分式的和（差）的平方或立方不能按公式展開，只能先算括號內的。同類方法練習題：解方程（答案：） 六. 見繁化簡

21、0; 例6. 計算：解：原式說明：若運算中的分式不是最簡分式，可先約分，再選用適當方法通分，可使運算簡便。同類方法練習題：解方程（答案：）因式分解的常見變形技巧。技巧一 符號變換有些多項式有公因式或者可用公式，但是結構不太清晰的情況下，可考慮變換部分項的系數(shù)，先看下面的體驗題。體驗題1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指點迷津 y-x= -(x-y)體驗過程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)小結符號變化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的條件不太清晰的情況下。實踐題1 分解因式：-a2-2ab-b2技巧二 系數(shù)

22、變換有些多項式，看起來可以用公式法，但不變形的話，則結構不太清晰，這時可考慮進行系數(shù)變換。體驗題2分解因式 4x2-12xy+9y2體驗過程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小結系數(shù)變化常用于可用公式，但用公式的條件不太清晰的情況下。實踐題2分解因式技巧三 指數(shù)變換有些多項式，各項的次數(shù)比較高，對其進行指數(shù)變換后，更易看出多項式的結構。體驗題3分解因式x4-y4指點迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。體驗過程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小結指數(shù)變化常用于整式的最高次數(shù)

23、是4次或者更高的情況下，指數(shù)變化后更易看出各項間的關系。實踐題3 分解因式 a4-2a4b4+b4技巧四 展開變換有些多項式已經分成幾組了，但分成的幾組無法繼續(xù)進行因式分解，這時往往需要將這些局部的因式相乘的形式展開。然后再分組。體驗題4 a(a+2)+b(b+2)+2ab指點迷津表面上看無法分解因式，展開后試試：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分組。體驗過程原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小結展開變化常用于已經分組，但此分組無法分解因式，相當于重新分組。實踐題4x(x-1)-y(y-1)技巧五 拆項變換有些多項式缺項，如最高次數(shù)

24、是三次，無二次項或者無一次項，但有常數(shù)項。這類問題直接進行分解往往較為困難，往往對部分項拆項，往往拆次數(shù)處于中間的項。體驗題5分解因式3a3-4a+1指點迷津本題最高次是三次，缺二次項。三次項的系數(shù)為3，而一次項的系數(shù)為-4，提公因式后，沒法結合常數(shù)項。所以我們將一次項拆開，拆成-3a-a試試。體驗過程原式= 3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a= 3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1) 3a(a+1)-1=(a-1)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常數(shù)項，將1拆成4-3。原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-

25、1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3a2+3a-1)小結拆項變化多用于缺項的情況，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的項分別是一，零。缺二次項。通常拆項的目的是將各項的系數(shù)調整趨于一致。實踐題5分解因式 3a3+5a2-2巧六 添項變換有些多項式類似完全平方式，但直接無法分解因式。既然類似完全平方式，我們就添一項然后去一項湊成完全平方式。然后再考慮用其它的方法。體驗題6分解因式x2+4x-12指點迷津本題用常規(guī)的方法幾乎無法入手。與完全平方式很象。因此考慮將其配成完全平方式再說。體驗過程原式= x2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+

26、2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小結添項法常用于含有平方項，一次項類似完全平方式的整式或者是缺項的整式，添項的基本目的是配成完全平方式。實踐題6分解因式x2-6x+8 實踐題7分解因式a4+4技巧七 換元變換有些多項式展開后較復雜，可考慮將部分項作為一個整體，用換元法，結構就變得清晰起來了。然后再考慮用公式法或者其它方法。體驗題7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指點迷津直接展開太麻煩，我們考慮兩兩結合?？茨芊癜涯承┎糠肿鳛檎w考慮。體驗過程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*令x2+5x=m.上式變形為(m+4)(m+6)+1m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以這樣變形，令x2+5x+4=m原式可變?yōu)椋簃(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2小