數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)求法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，每年高考都會(huì)出現(xiàn)有關(guān)數(shù)列的方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，而數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一般常出現(xiàn)在大題的第一小問(wèn)中，因此掌握好數(shù)列通項(xiàng)公式的求法不僅有利于我們掌握好數(shù)列知識(shí)，更有助于我們?cè)诟呖贾腥〉煤玫某煽?jī)。下面本文將中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法進(jìn)行較為系統(tǒng)的總結(jié)，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助。一.公式法高中重點(diǎn)學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求其通項(xiàng)公式時(shí)我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來(lái)求通項(xiàng)，只需求得首項(xiàng)及公差公比。1、等差數(shù)列公式例1、（2011遼寧理）已知等差數(shù)列an

2、滿足a2=0，a6+a8=-10 （I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2、等比數(shù)列公式例2.（2011重慶理）設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，。 （）求的通項(xiàng)公式解：I）設(shè)q為等比數(shù)列的公比，則由，即，解得（舍去），因此所以的通項(xiàng)為3、通用公式若已知數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。一般先求出a1=S1，若計(jì)算出的an中當(dāng)n=1適合時(shí)可以合并為一個(gè)關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項(xiàng)公式。例3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式。解：，當(dāng)時(shí) 由于不適合于此等式 。 二.當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的遞推關(guān)系即：和an-1的關(guān)

3、系時(shí)我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法1、疊加法一般地，對(duì)于型如類的通項(xiàng)公式，且的和比較好求，我們可以采用此方法來(lái)求。即：；例4、（2011四川理8）數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且若則，則A0 B3 C8 D11解：由已知知由疊加法例5、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）由題知： 2、疊乘法一般地對(duì)于形如“已知a1，且=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）”的形式可通過(guò)疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即：；例6、在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以3、構(gòu)造法當(dāng)數(shù)列前一項(xiàng)和后一項(xiàng)即和a

4、n-1的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)，我們往往對(duì)原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過(guò)的熟悉的數(shù)列（等比數(shù)列或等差數(shù)列）。具體有以下幾種常見(jiàn)方法。（1）、待定系數(shù)法、一般地對(duì)于an =kan-1 +m(k、m為常數(shù)）型，可化為的形式an +=k(an-1 +).重新構(gòu)造出一個(gè)以k為公比的等比數(shù)列，然后通過(guò)化簡(jiǎn)用待定系數(shù)法求，然后再求。例7、（2011廣東理）設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：，得，設(shè)，則，（）當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，得，知是等比數(shù)列，又，、對(duì)于這種形式,一般我們討論兩種情況：i、當(dāng)f(n)為一次多項(xiàng)式時(shí)

5、，即數(shù)列的遞推關(guān)系為型，可化為的形式來(lái)求通項(xiàng)。例8.設(shè)數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 與原式比較系數(shù)得： 即 令 ii、當(dāng)f(n)為指數(shù)冪時(shí)，即數(shù)列遞推關(guān)系為（A、B、C為常數(shù)，）型，可化為=）的形式.構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列，然后再求例9.（2003年全國(guó)高考題）設(shè)為常數(shù)，且（），證明：對(duì)任意n1，解：證明：設(shè) 用代入可得 是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列， （），即：當(dāng)然對(duì)于這種形式遞推關(guān)系求時(shí)，當(dāng)A=C時(shí)，我們往往也會(huì)采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn +1,重新構(gòu)造數(shù)列，來(lái)求。例10、（2007天津理）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，

6、所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）、倒數(shù)法一般地形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來(lái)求通項(xiàng)公式。例11.已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。 解：原式兩邊取倒數(shù)得： 即例12、（北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考）在數(shù)列中，并且對(duì)任意都有成立，令（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)時(shí)，由 ，等式兩邊取倒數(shù)得：所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（3）、對(duì)數(shù)法當(dāng)數(shù)列和an-1的遞推關(guān)系涉及到高次時(shí)，形如：anp = man-1q（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對(duì)數(shù)法，等式兩邊分別取對(duì)數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。例1

7、3、（2006山東）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；解：（1）由已知，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.例14、若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， ，即.（4）、特征方程法、一般地對(duì)于形如已知an+2=A an+1 +B an (A、B是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列，我們可以采取兩種方法來(lái)求通項(xiàng)。 法一：可用特征方程的方法求解：我們稱方程：x2-Ax-B=0為數(shù)列的特征方程（i）當(dāng)

8、方程有兩個(gè)相異的實(shí)根（或虛根）p、q時(shí)，有：，其中c1與c2由已知確定。（ii）當(dāng)方程有唯一的實(shí)根p時(shí)，有，其中c1與c2由已知確定。法二：可構(gòu)造成，則為等比數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)公式，這種方法過(guò)程較為繁雜。例15、已知 a 1 =2， a 2 =3，求通項(xiàng)公式。解法一：特征方程的根為1，所以an = (c1 n+c2)×1n由：得c1 = c2 = 1，所以an = n + 1。解法二：設(shè)，可得x 1 = x 2 = 1，于是an+1an 是公比為1的等比數(shù)列，an+1an = 1，所以an = n + 1。例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)。解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例17、

9、（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列；()求的通項(xiàng)公式。解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）解由（1）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以。本題也可以用特征方程來(lái)證明,同學(xué)們不妨自己試試。、一般地形如：（a、b、c、d為常數(shù)）可得到相應(yīng)的特征方程：，再將其變?yōu)?，通過(guò)該方程的根的情況來(lái)重新構(gòu)造數(shù)列。（i）如果方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，則有數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（ii）如果方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。例18、（2009江西理22）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng) 解：（1）由得將代入化簡(jiǎn)得 構(gòu)造方程(

10、a=2,b=1,c=1,d=2)化簡(jiǎn)得：x2=1解得x=1和-1. 所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以從而：即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.例19已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，三 、當(dāng)題中給出的是Sn 和的關(guān)系時(shí)，我們一般通過(guò)作差法結(jié)合an = SnSn1 這個(gè)通用公式對(duì)原等式進(jìn)行變形，消掉Sn得到和an+1的遞推關(guān)系，或消掉得到Sn 和Sn1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式。例20、（2007湖北理19）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：， N*，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí)， 數(shù)

11、列為：a，0，0，； 當(dāng)時(shí)，由已知（）， 于是由可得， 成等比數(shù)列， ， 綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為例21：（2007重慶理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且（1）求的通項(xiàng)公式；解：由，解得a11或a12，由假設(shè)a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。從而an是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為an3n-2。例22.（2009全國(guó)卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知（I）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（I）由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列， 四、猜想法 當(dāng)我們?cè)谇髷?shù)列通項(xiàng)時(shí)沒(méi)想到比較好的方法時(shí)，猜想法不失為一種權(quán)宜之計(jì)。運(yùn)用猜想法解題一般涉及到三個(gè)步驟：（1）利用所給的遞推式求出，（2）猜想出滿足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式，（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。例23、（2007天津理）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：，由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么這就是說(shuō)