可靠性概率分布

1、機械產(chǎn)品的可靠性概率分布xx2016.03.21一、機械產(chǎn)品可靠性的定義 在規(guī)定的使用條件和規(guī)定時間內(nèi)，機械產(chǎn)品完成規(guī)定功能的能力。二、機械可靠性設(shè)計方法(1)定性設(shè)計方法 成功的設(shè)計經(jīng)驗或失敗的經(jīng)驗教訓(xùn)，有針對性地應(yīng)用到設(shè)計中，避免故障或設(shè)計缺陷。 (2)定量設(shè)計方法 利用概率方法計算出給定設(shè)計條件下產(chǎn)品的失效概率或可靠度，以符合給定的可靠性要求。 可靠性長期以來是人們設(shè)計制造產(chǎn)品時的一個追求的目標(biāo)。 但是將可靠性作為設(shè)計制造中的定量指標(biāo)的歷史卻還不長，相關(guān)技 術(shù)也不成熟，工作也不普及。三、可靠性是衡量產(chǎn)品質(zhì)量的一項重要指標(biāo)。四、常規(guī)設(shè)計與可靠性設(shè)計常規(guī)設(shè)計中，經(jīng)驗性的成分居多，如基于安全系

2、數(shù)的設(shè)計。常規(guī)設(shè)計可通過下式體現(xiàn)：Slim上式給出的結(jié)論是： 則安全；反之則安全。 應(yīng)該說，上式觀點不夠嚴謹。首先，設(shè)計中的許多物理量是隨機變量；基于前一個觀點，當(dāng) 時，未必一定安全，可能因為隨機數(shù)的存在而有不安全的可能性。 很顯然在設(shè)計中引入概率的觀點，這就是概率設(shè)計，是可靠性設(shè)計的重要內(nèi)容。概率設(shè)計就是在原常規(guī)設(shè)計的計算中引入隨機變量和概率運算，并給出滿足滿足強度條件的概率-可靠度。五、可靠性指標(biāo)(1)可靠度：產(chǎn)品在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)，完成規(guī)定功能的概率。記為R=R(t)=P(E)=P Tt其中：T為產(chǎn)品的壽命；t為規(guī)定的時間；事件Tt有三個含義：產(chǎn)品在t時間內(nèi)完成規(guī)定的功能；產(chǎn)品

3、在時間t內(nèi)無障礙；產(chǎn)品的壽命T大于t；不可靠度：F(t)=1-R(t)= ；那么R（t）=1-tdttf0)(其中，f（t）為失效密度函數(shù)；dttfdttftt)()(0用統(tǒng)計方法：若有N個相同的產(chǎn)品同時投入試驗，經(jīng)歷時間t后有n（t）件產(chǎn)品失效?？煽慷龋篟(t)NtnNtnN)(1)(失效概率：NtntRtF)()(1)(2)失效率若定義： 為平均失效率。ttnNtnt)()()(則：dttFtdFtNtnNtntNttNt)(1()()(1)(0lim)(0lim)(為失效率。dttRtdRdttRtRddttFtFdt)()()()(1()(1()()(tttRtdRtRdtt00)(l

4、n)()(1)(etdtttR0)()(對上式兩邊對t求導(dǎo)：)()()(tRtft)(tR)(tF)(tf)(t)(tR)(1tFtttfd)(ttte0d)()(tF)(1tRtttf0d)(ttte0d)(1)(tfttRd)(dttFd)(dtttet0d)()()(t)(lnddtRtttFtFd)(d)(11tttftfd)()(基本函數(shù)機械產(chǎn)品可靠性的度量參數(shù) 可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主要研究對象。產(chǎn)品的壽命特征一般是連續(xù)的隨機變量，例如產(chǎn)品故障時間和維修時間等。處理這種問題可利用概率統(tǒng)計方法，找出它們的概率分布和概率密度函數(shù)，有了確定的分布就可以求出該分布特征統(tǒng)計量，如正態(tài)分

5、布的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。即使不知道具體的分布函數(shù)，也可以通過對分布的參數(shù)估計求得某些特征量的估計值。這些分布及概率密度函數(shù)，不僅描述了壽命的內(nèi)在規(guī)律，而且分布的參數(shù)還決定了產(chǎn)品的壽命特征。因此必須對失效分布作較深入的研究。 f xx概率密度函數(shù)1.概率分布2.數(shù)字特征均值（期望）： 反映隨機變量取值集中的位置，常用或E(x)表示。在可靠性設(shè)計中，E(x)可表示平均強度、平均應(yīng)力、平均壽命在常規(guī)設(shè)計中引入的物理量，多數(shù)就是E(x)。方差衡量隨機變量取值的分散程度，用D(x)、2表示。定義：性質(zhì)：x、y為相互獨立的隨機變量離散型隨機變量的幾種常見分布 可靠性抽樣試驗以及產(chǎn)品質(zhì)量保證等大量工程實際問題需要

6、用到離散模型離散模型。主要有：兩點分布二項分布泊松分布兩點分布兩點分布（1）兩點分布又稱（0，1）分布（2）數(shù)學(xué)模型的隨機試驗只可能有兩種試驗結(jié)果（3）兩點分布的分布列或分布律也可寫成: 也可表示為 :（4）數(shù)字特征pqppppXDpqpXE)1 ()(01)(2兩點分布可以作為描繪從一批產(chǎn)品中任意抽取一件一件得到的“合格品”或“不合格品”的概率分布模型二項分布二項分布又稱貝努里分布。二項分布滿足以下基本假定：n 試驗次數(shù)n是一定的；n 每次試驗的結(jié)果只有兩種，成功或失敗；n 每次試驗的成功概率和失敗概率相同，即p和q是常數(shù)；n 所有試驗是獨立的。所謂獨立試驗是指將試驗A重復(fù)做n次，若各次試驗

7、的結(jié)果互不影響，即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都與其他各次試驗結(jié)果無關(guān)，則稱這n次試驗是獨立的。在二項分布中，若一次試驗中， 則在n次獨立地重復(fù)試驗中，試驗A發(fā)生的概率為:pAPpAP1)(,)(), 2 , 1 , 0()(nkqpCkPknkknn上式為二項概率公式。若用X表示在n次重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，顯然，X是一個隨機變量，X的可能取值為0,1,2,n，則隨機變量X的分布律為：), 2 , 1 , 0()(nkqpCkXPknkkn此時，稱隨機變量X服從二項分布B（n,p）。當(dāng)n=1時，二項分布簡化為兩點分布即：1 , 0,1kqpkXpkknrrnrrnqpCkXPkF0)()(隨機

8、變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為:X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為:nknkpnpnpqkXPXEkXDnpkXkPxE020)1 ()()()()()(二項分布用來計算冗余系統(tǒng)的可靠度，也可用于計算一次性使用裝置或系統(tǒng)的可靠度估計泊松分布泊松分布，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：泊松分布，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：n 在互不相交的時間區(qū)間內(nèi)所發(fā)生的失效是統(tǒng)計獨立的；n 單位時間內(nèi)的平均失效次數(shù)為常數(shù)，而與所考慮的時間區(qū)間無關(guān)泊松過程有下面兩個重要性質(zhì):(1)設(shè)t是時間區(qū)間的長度，則在此區(qū)間內(nèi)發(fā)生失效的次數(shù)X是一個整數(shù)型的隨機變量，在此時間區(qū)間內(nèi)，發(fā)生k次失效的概率服從一個均值為t的泊

9、松分布: ) 0(!)()(kektkXPtk為平均發(fā)生率泊松過程適合于建模有較多的元件傾向于失效，而每個元件失效的概率比較小的情況(2)在任意兩次相鄰的失效之間的時間T是獨立的連續(xù)型的隨機變量，服從參數(shù)為的指數(shù)分布 : tetRtTP)()(二項分布實例例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨立射擊5次，求恰好命中2次的概率？1323.03.07.0)(3225CCknkknqPAP解：設(shè)A為恰好命中2次這一事件。例：一架飛機有三個著陸輪胎，若不多于一個輪胎爆破，飛機便能安全著陸。試驗表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。求飛機安全著陸的概率？解：99999.0999.0001.0999.00

10、01.0)()()(21133003）（）（）（）（只有一個輪胎爆破沒有輪胎著陸安全著陸CCPPP連續(xù)性隨機變量的幾種常見分布正態(tài)分布指數(shù)分布對數(shù)正態(tài)分布威布爾分布指數(shù)分布( )(0,0)tf tet則稱則稱t服從參數(shù)服從參數(shù)的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。在數(shù)學(xué)上易處理成直觀的曲線在數(shù)學(xué)上易處理成直觀的曲線失效率反映了特征參數(shù)失效率反映了特征參數(shù)單參數(shù)分布單參數(shù)分布最基本最常用的分布最基本最常用的分布若產(chǎn)品的壽命或某一特征值若產(chǎn)品的壽命或某一特征值t的的故障密度故障密度為：為：指數(shù)分布的特征量函數(shù)不可靠度（失效）函數(shù)ttedttftF01)()(可靠度函數(shù)( )tR te平均壽命1)(00dtted

11、tttfEt中位壽命：r=0.5te5.07E.06971.0ln0.5t5.0特征壽命：368. 0er1t1ee1t368.0標(biāo)準(zhǔn)差：1壽命方差： 220221E-dttft指數(shù)分布的性質(zhì)（1 1）指數(shù)分布的一個重要性質(zhì)是）指數(shù)分布的一個重要性質(zhì)是無記憶性無記憶性。無記憶性是產(chǎn)品在。無記憶性是產(chǎn)品在經(jīng)過一段時間經(jīng)過一段時間t0工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作壽命相工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作壽命相同的分布，而與同的分布，而與t無關(guān)。這個性質(zhì)說明，無關(guān)。這個性質(zhì)說明，壽命分布為指數(shù)分布的壽命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過去工作了多久對現(xiàn)在和將來的壽命分布不發(fā)生影響。產(chǎn)品，過去工作了多久對現(xiàn)

12、在和將來的壽命分布不發(fā)生影響。（2 2）在）在“浴盆曲線浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時段的中，它是屬于偶發(fā)期這一時段的. .指數(shù)分布不適于描述按耗損規(guī)律失效的問題，機械零件的失效常屬指數(shù)分布不適于描述按耗損規(guī)律失效的問題，機械零件的失效常屬于這一類型。于這一類型。內(nèi)燃機增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗知，壽命服從指數(shù)分布，在100小時內(nèi)有1%發(fā)生故障，求可靠度R(2000)， 的使用壽命？先求 F（100）=0.01解：01.0e11000001005.00.991ln10018187.0e)2000(R2000小時69316971.0t5.0 10489.01ln1t9.0小時9

13、.05.0tt和例一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命()為2000小時，求故障率及求可靠度R (100)=? R(1000)=?例解：410520001195. 0)100(05. 01004105eeR60. 0)1000(5 . 010001054eeR此元件在100小時時的可靠度為0.95，而在1000小時時的可靠度為0.60。正態(tài)分布（高斯分布）正態(tài)分布在機械可靠性設(shè)計中大量應(yīng)用，如材料強正態(tài)分布在機械可靠性設(shè)計中大量應(yīng)用，如材料強度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以判斷其分布的場合。屬于判斷其分布的場合。屬于遞增型故障率遞增型故障率

14、的概率分布。的概率分布。它的分布曲線處于浴盆曲線的它的分布曲線處于浴盆曲線的耗損階段。耗損階段。若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度：若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度：22()21( )(0,0,0)2tf tet標(biāo)準(zhǔn)差均值，dtetFt222t21)(此時可表示為：時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)10ett2221)(tdttte_2221)(3 準(zhǔn)則： 超過距離值3 的可能性太小，認為幾乎不可能。-2-3=032N(0,)68.26%95.44%99.73%自然界和工程中許多物理量服從正態(tài)分布，可靠性分析中，強度極限、尺寸公差、硬度等已被證明是服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的特征量函數(shù)：不可靠度可靠度故障率可以證明

15、：)()(uttF從而將一般任一正態(tài)分布的求解轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的求解。 tdt) t (f) t (Ft t1tF1tR t1t21exp21tRtft2平均壽命可靠壽命E=E=rt1特征壽命34. 0t1e中位壽命5 . 0t在柴油機或機械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對獨立的微小主導(dǎo)因素迭加而成的，如氣缸、活塞、齒輪和軸類零件。因磨損引起的故障，以及管、閥系統(tǒng)的腐蝕性故障，燃油傳給系統(tǒng)沉淀性故障都屬正態(tài)分布。例 有兩種內(nèi)燃機配套機構(gòu)，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為1000h；B種壽命分布是正態(tài)型，其平均壽命為900h，標(biāo)準(zhǔn)離差= 400h，求：在100小時使用期內(nèi)，盡量不發(fā)生故障，求

16、哪種設(shè)計為好？100011000,tA905. 0e100R1000100A解：A：400,900tB9772. 0214009001001100RBB：對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布是自變量取對數(shù)自變量取對數(shù)時，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一種偏態(tài)性偏態(tài)性概率分布。它的故障率其本屬于遞增型的，但遞增的速度是變化的，先快后慢然后趨于平穩(wěn)。 222lntexpt21tf對數(shù)均值，對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差N大量的疲勞失效規(guī)律服從對數(shù)正態(tài)分布，如疲勞壽命的分布。對數(shù)正態(tài)分布的特征量不可靠度函數(shù) -lntdttftFt可靠度函數(shù) lnt1tR lnt1lnt21expt21tRtft2故障率函數(shù)平均壽命E特征壽命34.

17、0eet1 -對數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這一特性可以使較為分散的數(shù)據(jù)通過對數(shù)變換相對的集中起來，所以常把跨幾個數(shù)量級的數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)分布去擬合跨幾個數(shù)量級的數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)分布去擬合。在機械零件及材料的疲勞壽命中，對數(shù)正態(tài)分布應(yīng)用得較多。例一般氣動彈簧承載 次后要更換，已知服從對數(shù)正態(tài)分布，系數(shù)=25,=1.4問：更換彈簧前，故障的可能性多大？解： 內(nèi)燃機在 次后，氣動彈簧的不可靠度:079. 04 . 14 . 125ln1010F1010即 次更換前，故障的可能性為7.9%。101010101010威布爾分布威布爾分布應(yīng)用比較廣泛，常用來描述材料疲勞失效、軸承

18、失效等壽命分布的。分布包括了產(chǎn)品壽命周期三個階段的失效分布特征。威布爾分布是遞增型、恒定型、遞減型多種故障概率分布，威布爾分布是從考慮鏈?zhǔn)綇姸饶Ｐ吞岢鰜淼?，?dāng)“鏈條”中“環(huán)”的強度低于隨機應(yīng)力時，某一“環(huán)”便可能發(fā)生斷裂，只要某一薄弱環(huán)發(fā)生故障則會整體失效，因此最弱“環(huán)”的壽命即是產(chǎn)品的壽命。威布爾分布是用三個參數(shù)來描述，這三個參數(shù)分別是尺度參數(shù)，形狀參數(shù)m、位置參數(shù)，其概率密度函數(shù)為：()1( )()(,0,0)mtmm tf tetmm =3m =1/2m=2m =1f(t)t不同m值的威布爾分布 （=1，=0）形狀參數(shù)m的大小決定威布爾分布的形狀，當(dāng)m1，密度函數(shù)曲線呈單峰型，且隨m的減小峰高逐漸降低，當(dāng)m=3.5時，接近正態(tài)分布；當(dāng)m=1時，密度函數(shù)曲線就是指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線；當(dāng)m1時，密度函數(shù)曲線漸進直線t=1/3=1/2=2=1f(t)t不同值的威布爾分布 隨著尺度參數(shù)的減小，曲線由同一原點向右擴展，最大值減小。 =0=0.5= - 0.5