求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式

1、§2.2 求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式教學(xué)目標(biāo)與要求1. 掌握并能運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2. 理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并能應(yīng)用；3. 理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4. 熟記求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。教學(xué)重點(diǎn)與難度1. 會(huì)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；2. 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3. 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面，我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)都用定義去求它的導(dǎo)數(shù),有時(shí)候?qū)⑹且患浅?fù)雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見(jiàn)的函數(shù)初

2、等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則1.函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則定理1 函數(shù)與在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且 同理可證：即證。注意：這個(gè)法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和，即，即有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。例1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 2.函數(shù)積的求導(dǎo)公式定理2 函數(shù)與在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)x也可導(dǎo)，且。注意：1）特別地，當(dāng)（c為常數(shù)）時(shí)，即常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)的符號(hào)中提出來(lái)。而且將其與和、差的求導(dǎo)法則結(jié)合，可得：。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則，也可以推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的情形，即。例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1）； 解 2）解 例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）； 2）解 1）2）3.函數(shù)商的求

3、導(dǎo)法則定理3 函數(shù)與在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且，則函數(shù)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且所以 因?yàn)榭蓪?dǎo),必連續(xù),故,于是 注意：特別地，當(dāng)（c為常數(shù)）時(shí)，總結(jié)：根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)想一想：在基本初等函數(shù)中，還有哪些函數(shù)沒(méi)有求導(dǎo)法則？在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法沒(méi)有討論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過(guò)三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：定理4 設(shè)函數(shù)在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點(diǎn)x處可導(dǎo)，且，則它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也處

4、處可導(dǎo)，且或證 因?yàn)楹瘮?shù)在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。當(dāng)?shù)姆春瘮?shù)的自變量y取得改變量時(shí)，由的單調(diào)性知，于是又因?yàn)檫B續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，。由條件知，所以故或即證。 例6 求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 1）； 2）；3）； 4）。 例7 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 由于為對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則得所以，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為特別地，當(dāng)時(shí)，有三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則綜上，我們對(duì)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及求導(dǎo)法則，就可以求一些較復(fù)雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構(gòu)成過(guò)程中，除了四則運(yùn)算外，還有復(fù)合函數(shù)形式，例如：。思考：如果，是否有？

5、因此，要完全解決初等函數(shù)的求導(dǎo)法則還必須研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。定理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且簡(jiǎn)記為或。（證明略）注意：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)。這種從外向內(nèi)逐層的求導(dǎo)的方法，形象稱為鏈?zhǔn)椒▌t。（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到有限個(gè)中間變量的情形。例如，設(shè)，則或（3）在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，求導(dǎo)時(shí)不必寫出具體的復(fù)合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導(dǎo)。例8 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 例9 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 例10 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例11 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 例12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1）； 2）。本節(jié)小結(jié)通過(guò)本節(jié)以及上一節(jié)學(xué)習(xí)，到目前為止。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全部初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。這