梁坤京理論力學動量矩定理課后答案

1、動量矩定理12-1 質(zhì)量為m的點在平面Oxy內(nèi)運動，其運動方程為：式中a、b和為常量。求質(zhì)點對原點O的動量矩。解：由運動方程對時間的一階導數(shù)得原點的速度 質(zhì)點對點O的動量矩為 12-3 如圖所示，質(zhì)量為m的偏心輪在水平面上作平面運動。輪子軸心為A，質(zhì)心為C，AC = e；輪子半徑為R，對軸心A的轉(zhuǎn)動慣量為JA；C、A、B三點在同一鉛直線上。（1）當輪子只滾不滑時，若vA已知，求輪子的動量和對地面上B點的動量矩。（2）當輪子又滾又滑時，若vA 、已知，求輪子的動量和對地面上B點的動量矩。解：（1）當輪子只滾不滑時B點為速度瞬心。輪子角速度 質(zhì)心C的速度 輪子的動量（方向水平向右）對B點動量矩由于

2、故 （2）當輪子又滾又滑時由基點法求得C點速度。 輪子動量 （方向向右） 對B點動量矩12-13 如圖所示，有一輪子，軸的直徑為50 mm，無初速地沿傾角的軌道滾下，設(shè)只滾不滑，5秒內(nèi)輪心滾動的距離為s = 3 m。試求輪子對輪心的慣性半徑。解：取輪子為研究對象，輪子受力如圖（a）所示，根據(jù)剛體平面運動微分方程有（1）JC = Fr（2） 因輪子只滾不滑，所以有aC =r （3）將式（3）代入式（1）、（2）消去F得到上式對時間兩次積分，并注意到t = 0時，則 把r = 0.025 m及t = 5 s時，代入上式得12-17 圖示均質(zhì)桿AB長為l，放在鉛直平面內(nèi)，桿的一端A靠在光滑鉛直墻上，

3、另一端B放在光滑的水平地板上，并與水平面成角。此后，令桿由靜止狀態(tài)倒下。求（1）桿在任意位置時的角加速度和角速度；（2）當桿脫離墻時，此桿與水平面所夾的角。解：（1）取均質(zhì)桿為研究對象，受力分析及建立坐標系Oxy如圖（a），桿AB作平面運動，質(zhì)心在C點。 剛體平面運動微分方程為 由于 將其對間t求兩次導數(shù)，且注意到，得到 將式（4）、（5）代入式（1）、（2）中，得 再將FNA，F(xiàn)NB的表達式代入式（3）中，得即把代入上式得而 分離變量并積分得 （2）當桿脫離墻時FNA = 0，設(shè)此時 則 將和表達式代入上式解得12-19 均質(zhì)實心圓柱體A和薄鐵環(huán)B的質(zhì)量均為m，半徑都等于r，兩者用桿AB鉸接

4、，無滑動地沿斜面滾下，斜面與水平面的夾角為，如圖所示如桿的質(zhì)量忽略不計，求桿AB的加速度和桿的內(nèi)力。解：分別取圓柱A和薄鐵環(huán)B為研究對象，其受力分析如圖（a）、（b）所示，A和B均作平面運動，桿AB作平動，由題意知。 對圓柱A有 對薄鐵環(huán)B有 聯(lián)立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并將，以及根據(jù)只滾不滑條件得到的a = r代入，解得（壓力）及 12-21 圖示均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為r，放在傾角為的斜面上。一細繩纏繞在圓柱體上，其一端固定于點A，此繩與A相連部分與斜面平行。若圓柱體與斜面間的摩擦系數(shù)為，試求其中心沿斜面落下的加速度aC。解：取均質(zhì)圓柱為研究對象，其受力如圖（a）所示，圓

5、柱作平面運動，則其平面運動微分方程為而F = fFN （4） 圓柱沿斜面向下滑動，可看作沿AD繩向下滾動，且只滾不滑，所以有aC=r 把上式及代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得aC = 0.355g（方向沿斜面向下）12-23 均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，如圖所示。摩擦不計。求：（1）圓柱體B下落時質(zhì)心的加速度；（2）若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。解：（1）分別取輪A和B研究，其受力如圖（a）、（b）所示，輪A定軸轉(zhuǎn)動，輪B作平面運動。對輪A運用剛體繞定軸

6、轉(zhuǎn)動微分方程 （1） 對輪B運用剛體平面運動微分方程有 (2) （3） 再以C為基點分析B點加速度，有 （4）聯(lián)立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并將及代入，解得 2）若在A輪上作用一逆時針轉(zhuǎn)矩M，則輪A將作逆時針轉(zhuǎn)動，對A運用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程有 （5） 以C點為基點分析B點加速度，根據(jù)題意，在臨界狀態(tài)有 （6）聯(lián)立求解式（5）、（6）和（2）、（3）并將及代入，得故當轉(zhuǎn)矩時輪B的質(zhì)心將上升。習題98圖98 圖示圓柱體A的質(zhì)量為m，在其中部繞以細繩，繩的一端B固定。圓柱體沿繩子解開的而降落，其初速為零。求當圓柱體的軸降落了高度h時圓柱體中心A的速度和繩子的拉力FT。 解：法1：圖（

7、a） （1） （2） （3） 解得 （拉） （常量）（4）由運動學 （）法2：由于動瞬心與輪的質(zhì)心距離保持不變，故可對瞬心C用動量矩定理：(a) （5） 又 （同式（4）再由 得 （拉） （）910 圖示重物A的質(zhì)量為m，當其下降時，借無重且不可伸長的繩使?jié)L子C沿水平軌道滾動而不滑動。繩子跨過不計質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪B上?；咮與滾子C固結(jié)為一體。已知滑輪B的半徑為R，滾子C的半徑為r，二者總質(zhì)量為m，其對與圖面垂直的軸O的回轉(zhuǎn)半徑為。求：重物A的加速度。 解：法1：對輪： （1） （2）(a)aAFN·Emg對A： （3）又：以O(shè)為基點： （） （）（4）由上四式聯(lián)立，得（注意到）OH(b)法2：對瞬心E用動量矩定理（本題質(zhì)心瞬心之距離為常數(shù)）又可解得：911 圖示勻質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m，半徑為r，在力偶作用下沿水平面作純滾動。若力偶的力偶矩M為常數(shù)，滾動阻礙系數(shù)為，求圓柱中心O的加速度及其與地面的靜滑動摩擦力。 習題911圖(a)解： （1）代入（1），得又：912 跨過定滑輪D的細繩，一端纏繞在均質(zhì)圓柱體A上，另一端系在光滑水平面上的物體B上，如圖所示。已知圓