正定二次型地性質(zhì)及應(yīng)用

1、目 錄摘 要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords1前言11 預(yù)備知識11.1二次型定義11.2正定二次型定義22 正定二次型的性質(zhì)23 正定二次型的應(yīng)用73.1正定二次型在解決極值問題中的應(yīng)用73.2正定二次型在分塊矩陣中的應(yīng)用.83.3正定二次型在解決多項(xiàng)式根的有關(guān)問題中的應(yīng)用93.4正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應(yīng)用103.5正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應(yīng)用113.6正定二次型在歐氏空間中的應(yīng)用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣）123.7正定二次型在解線性方程組中的應(yīng)用.123.8正定二次型在物理力學(xué)問題中的應(yīng)用.12結(jié)束語.13參考文獻(xiàn)13正定二次型的性質(zhì)及應(yīng)用摘

2、 要：本文主要探討了正定二次型的性質(zhì)，結(jié)合例題重點(diǎn)介紹了正定二次型的應(yīng)用，如研究極值問題方面、解決多項(xiàng)式的根和在物理方面的應(yīng)用等.關(guān)鍵詞：正定二次型；正定矩陣；合同；初等變換；分塊矩陣 The properties and Applications of positive definite Quadratic FormsAbstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applica

3、tions of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al.Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation；partitioned matrix. 前言二次型是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，正定二次

4、型是是實(shí)二次型中一類特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出現(xiàn)在許多實(shí)際應(yīng)用和理論研究中,且有很大的實(shí)用價(jià)值，它不僅在幾何而且在數(shù)學(xué)的其它分支學(xué)科以及物理和工程技術(shù)也常常用到，正定矩陣是依附正定二次型給出的，因而對正定矩陣的性質(zhì)的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基礎(chǔ)上研究了正定二次型與正定矩陣的一些性質(zhì)及相關(guān)證明，并以例題的形式詳細(xì)介紹了正定二次型的一些應(yīng)用.1 預(yù)備知識1.1 二次型定義設(shè)是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項(xiàng)式+稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，或者在不致引起混淆時(shí)簡稱二次型.1.2 正定二次型的定義定義1 實(shí)二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實(shí)

5、數(shù)都有.定義2 實(shí)對稱矩陣稱為正定的，如果二次型正定.2 正定二次型的性質(zhì)性質(zhì)1 實(shí)二次型=是正定的當(dāng)且僅當(dāng).證明 必要性.因?yàn)?是正定的，所以對于任意的一組不全為零的實(shí)數(shù)都有.于是取一組不全為零的實(shí)數(shù)：（這里第個(gè)為1，其余個(gè)為0），有=.充分性顯然.性質(zhì)2 元實(shí)二次型是正定的充要條件是它的正慣性指數(shù)等于n.證明 設(shè)二次型經(jīng)過非退化實(shí)線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)型 . （1）上面的討論表明，正定當(dāng)且僅當(dāng)（1）是正定的，而我們知道，二次型(4)是正定的當(dāng)且僅當(dāng)，即正慣性指數(shù)為.性質(zhì)3 正定二次型的規(guī)范形為，正定二次型的規(guī)范性矩陣為單位矩陣，所以一個(gè)實(shí)對稱矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同.性質(zhì)4 實(shí)二次型

6、. =，正定的必要條件為證明 有實(shí)二次型知是一正定矩陣，因?yàn)榕c單位矩陣合同，所以有可逆矩陣使.兩邊取行列式，就有.性質(zhì)5 實(shí)二次型=為正定的充分必要條件是的特征值都是正數(shù).性質(zhì)6 若是正定矩陣，則也是正定矩陣.證明 如果正定，則由性質(zhì)2知，因而可逆，且其存在可逆矩陣,使，將等式兩邊取逆有，令，于是，所以也是正定矩陣.性質(zhì)7 若是正定矩陣，則對任意的實(shí)數(shù)，也是正定矩陣.證明 因?yàn)檎ǎ詫θ我饩S實(shí)向量，都有，若，則，故為正定矩陣.性質(zhì)8 若是正定矩陣，則的伴隨矩陣也是正定矩陣.證明 因?yàn)檎ǎ蚨?，且有性質(zhì)四知也正定，而=，又由性質(zhì)5知為正定矩陣性質(zhì)9 正定矩陣只能與正定矩陣合同.證明 若正定

7、，則與單位矩陣合同，若也正定，則也與合同，即、都與單位矩陣合同，故、合同.反之，若、合同，且正定，即與單位矩陣合同，所以也與合同，故也為正定的.綜上，結(jié)論成立.性質(zhì)10 若、為正定矩陣，則也為正定矩陣.證明 因?yàn)椤檎ň仃?，故，為正定二次型，于?也必為正定二次型，故為正定矩陣.性質(zhì)11 若是正定矩陣，則對任意的正數(shù)，也是正定矩陣.證明 因?yàn)檎?，那么?dāng)時(shí)，為實(shí)可逆矩陣，所以正定；當(dāng)時(shí)，因而與合同，有性質(zhì)7知為正定矩陣.所以無論哪種情況，都正定.性質(zhì)12 實(shí)二次型=，矩陣的主對角線上的元素都大于零.證明 因?yàn)槭钦ň仃?，于是對任何?恒有=，其中為的元素，令（行）那么證畢. 性質(zhì)13 實(shí)二次

8、型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證明 先證必要性.設(shè)二次型是正定的.對于每個(gè)，令我們來證是一個(gè)元的正定二次型.對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，有因此是正定的.由性質(zhì)4，的矩陣行列式.這就證明了矩陣的順序主子式大于零.再證充分性.對作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，由條件顯然有是正定的.假設(shè)充分性的判斷對于元二次型已經(jīng)成立，現(xiàn)在來證元的情形.令，于是矩陣可以分塊寫成.既然的順序主子式全大于零，當(dāng)然的順序主子式也全大于零.由歸納法假定，是正定矩陣，換句話說，有可逆的級矩陣使,這里代表級單位矩陣.令,于是.再令，有.令，就有.兩邊取行列式，.有條件，因此.顯然.這就是說，矩陣與單位矩陣合同，因之，

9、是正定矩陣，或者說，二次型是正定的. 根據(jù)歸納法原理，充分性得證.3 正定二次型的應(yīng)用3.1 正定二次型在解決極值問題中的應(yīng)用定理1 設(shè)元實(shí)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)近旁有性質(zhì)：1) 若正定，則為極小點(diǎn)；2) 若負(fù)定，則為極大點(diǎn)；3) 若不定，則非極大或極小點(diǎn)；4) 其余情形時(shí)，在性質(zhì)有待研究余項(xiàng)的性質(zhì)來確定.特別當(dāng)是二次函數(shù)時(shí)，=0只要半正（負(fù)）定，則為極小（大）點(diǎn).例1 求函數(shù)的極值.解 ,，.解方程組，易得，（符號任意搭配），.于是，經(jīng)計(jì)算得正定；負(fù)定；不定.故，在，不取極值；在點(diǎn)，取極小值，；在點(diǎn)，取極大值，.3.2 正定二次型在分塊矩陣中的應(yīng)用.例

10、2 設(shè)，分別是階正定矩陣，試判定分塊矩陣是否為正定矩陣.解 可證是正定矩陣.因?yàn)椋际菍?shí)對稱矩陣，從而也是實(shí)對稱矩陣且任意的，令，其中，且至少有一個(gè)是非零向量，于是.故是正定矩陣.3.3 正定二次型在解決多項(xiàng)式根的有關(guān)問題中的應(yīng)用例3 設(shè)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根為，令， .證明 易證,這里.必要性 設(shè)是個(gè)互異實(shí)根，因?yàn)槭欠兜旅尚辛惺?，所以，即是非奇異?又因?yàn)?所以與合同，即正定.充分性 設(shè)是正定的，所以，那么互異.若中有非實(shí)數(shù)，例如，那么的共軛數(shù)也是的根不妨設(shè).因?yàn)槭欠瞧娈惖?所以線性方程組 （2）有唯一解.因?yàn)槭钦ǖ模?，作為二次型的是正定?由（2）式有.這與是正定即是正定的矛盾，所以中不

11、能有非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，所以個(gè)根為互異的實(shí)根.3.4 正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應(yīng)用例4 利用直角坐標(biāo)變換化簡如下二次曲面方程.其中.作平移代換,，則有即令又因?yàn)?所以適當(dāng)選取，使，由秩知：（線性方程組）有唯一解：.由，又因?yàn)槭强赡鎸?shí)對稱陣，所以存在正交陣使得，其中，為的特征根.作正交線形替換,則.即，原方程可以化簡為.3.5 正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應(yīng)用眾所周知線形方程組即任意一組都可能使不等于零，我們設(shè)法找使最小，這樣稱為方程組的最小解，這種問題就叫最小二乘法問題.若記為上述線性方程組的系數(shù)矩陣，于是使得值最小的一定是方程組=的解，而其系數(shù)矩陣是一個(gè)正定矩陣，它的慣

12、性指數(shù)等于，因此這個(gè)線性方程組是有解的，這個(gè)解就是最小二乘解.3.6 正定二次型在歐氏空間中的應(yīng)用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣）定理 設(shè)是上的歐氏空間，那么的內(nèi)積與階正定矩陣是一一對應(yīng)的.3.7 正定二次型在解線性方程組中的應(yīng)用.例5 （1）用矩陣給出平面上個(gè)點(diǎn)共線的充分必要條件（2）設(shè)是階滿秩矩陣，試證，是一個(gè)正定二次型，這里.解 （1）設(shè)直線，個(gè)點(diǎn)共線是指線性方程組（把看成未知量）有解，所以個(gè)點(diǎn)共線所以方程組有解 .（2）設(shè)是階滿秩矩陣，令,其中，則是非退化現(xiàn)行替換，且，由此可以看出，此二次型的正慣性指數(shù)與秩都等于，所以是正定二次型.3.8 正定二次型在物理力學(xué)問題中的應(yīng)用.因?yàn)樵谖锢砹W(xué)問

13、題中經(jīng)常需要同時(shí)將兩個(gè)二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型來實(shí)現(xiàn)，這事應(yīng)用中很重要的一個(gè)問題.命題 設(shè)是階正定矩陣，是階實(shí)對矩陣，則存在階可逆矩陣，使得,其中為對角陣.證明 因?yàn)槭钦ň仃嚕源嬖陔A可逆矩陣，使得，令顯然仍為實(shí)對稱矩陣，所以存在階正交矩陣，使得.取，則有另外正定二次型在研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、廣義重積分、物理學(xué)電阻器功率的消耗等方面都有廣泛的應(yīng)用.結(jié)束語以上內(nèi)容是對正定二次型的研究，歸納之后總結(jié)出來的，對正定二次型，本文給出2個(gè)定義，13個(gè)性質(zhì)并證明，在例題的形式下，運(yùn)用這些定義跟性質(zhì)闡述了正定二次型在不同方面的7種應(yīng)用，可見其應(yīng)用廣泛，我認(rèn)為對正定二次型的總結(jié)是很必要的.當(dāng)然，本文只列舉了正定二次型的部分應(yīng)用.參考文獻(xiàn)：1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2郭聿琦.岑嘉評.徐貴桐.線性代數(shù)導(dǎo)引M.北京：科學(xué)出版社，2001. 3楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解（上下冊）M.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社.4張禾瑞.郝鈵新.高等代數(shù)（第三版）M.北京