第8章微分方程

1、高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十二章 微分方程 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 第一節(jié) 微分方程的基本概念 第二節(jié) 可分離變量的微分方程一選擇題 1微分方程的階是 A （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2微分方程的通解是 C （A） （B） （C） （D） 3下列微分方程中，屬于可分離變量的微分方程是 C （A） （B） （C） （D） 4微分方程滿(mǎn)足的特解是 B （A） （B） （C） （D）二填空題 1微分方程的通解是 2微分方程滿(mǎn)足的特解是 3的通解是 三計(jì)算題 1 解：原方程可化為 積分，得 故，方程的通解為 2求微分方程，滿(mǎn)足的特解解：原方程可化為 積分得 即 當(dāng)時(shí)， 方程的滿(mǎn)足條件的特解為 ，

2、 3質(zhì)量為1克的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，這外力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比。在秒時(shí)，速度等于50秒，外力為4克厘米/秒，問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少？ 解：由題意，外力， 代入得 ， 即 又 所以微分方程 ， 所以 由初始條件 ，代入 得 故 方程的特解為 在將代入上式，得 4一曲線(xiàn)通過(guò)，它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線(xiàn)段均被切點(diǎn)所平分，求這曲線(xiàn)方程。 解：設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)為，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線(xiàn)在x軸，y軸上的截距，依題意應(yīng)為2x與2y，設(shè)切線(xiàn)傾角為a，則 即 ， 解方程得 把代入，得C = 6 故 所求的曲線(xiàn)方程為 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十二章 微分方程 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 第

3、三節(jié) 齊次方程 第四節(jié) 一階線(xiàn)性微分方程一 填空題 1下列各微分方程中為一階線(xiàn)性微分方程的是 B （A） （B） （C） （D） 2已知函數(shù)滿(mǎn)足微分方程，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)， A （A） （B）0 （C）1 （D） （） 3已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為 A （A） （B） （C） （D） 4已知微分方程的一個(gè)特解為，則方程的通解為 C （A） （B） （C） （D）二 填空題 1微分方程的通解是 2微分方程，滿(mǎn)足的特解為 3微分方程的通解為 三 計(jì)算題 1 求微分方程的通解 解：方程可化為： ， 設(shè) ， 則： 解得 即 2求微分方程的通解 解：方程可化為： 所以 3設(shè)為連續(xù)函數(shù)，由所確定，求解

4、：對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 ，即 且 當(dāng)時(shí)，代入上方程得 故 4設(shè)偶連結(jié)點(diǎn)和的一段向上凸的曲線(xiàn)弧，對(duì)于弧上任一點(diǎn)，曲線(xiàn)弧與直線(xiàn)段所圍圖形的面積為，求曲線(xiàn)弧的方程。求微分方程 解：由題意滿(mǎn)足： 即 且 所以 當(dāng) 時(shí)，代入上式得 故 所求的曲線(xiàn)為高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十二章 微分方程 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 第五階 全微分方程 第六節(jié) 可降階的高階微分方程一 選擇題 1微分方程的通解是 B （A） （B） （C） （D） 2設(shè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則= A （A） （B） （C） （D）二 填空題 1微分方程的通解為 2微分方程的通解為 三 求下列微分方程的通解或特解 1解：

5、即 所以 方程的解為 或 由于 ，所以 故 方程的解為 2 解：方程可化為 即 所以 所求方程的解 或 因?yàn)?，所以 = 故 方程的解為 3 解：設(shè)則 ，所以原方程為 所以 4，解：設(shè)，則方程可化為： 所以 當(dāng)時(shí)，得 所以 ，即 ，當(dāng)時(shí)，得 故 方程滿(mǎn)足條件的特解為 或 設(shè)，則， 所以，即 ，積分得 由于當(dāng) ， 所以 ，即 所以 ，當(dāng)，得 故 方程滿(mǎn)足條件的解為四 試求的經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線(xiàn)相切的積分曲線(xiàn) 解： 由題意，當(dāng)，得 即 當(dāng)，得 故 所求的積分曲線(xiàn)為 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十二章 微分方程 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 第七節(jié) 高階線(xiàn)性微分方程方程 第八節(jié) 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程一 選擇題

6、1 設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)函數(shù)是二階非齊次線(xiàn)性方程的特解，C1，C2是任意常數(shù)，則該方程的通解是y = D （A） （B）（C） （D） 2微分方程的通解是 A （A） （B） （C） （D） 3具有特解，二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程是 B （A） （B） （C） （D） 4微分方程，的特解是 C （A） （B）（C） （D）二 填空題 1具有特解和的二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程為 2設(shè)為某方程的通解，其方程為 三計(jì)算題 1求微分方程的通解，其中常數(shù). 解：特征方程為：，求得特征根 所以方程的通解 2求方程的通解 解：特征方程為 ，得特征根為 所以方程的通解 3求方程，的特解 解：特征方程為 ，解得特征根為 所以方程

7、的通解為 把 ， 代入上二式，得 故 所求方程滿(mǎn)足條件的解為 4設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，求函數(shù) 解：上方程可得： ， 設(shè) ，則 解得 當(dāng)，時(shí)，得 解得 當(dāng)，時(shí)，得 故 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十二章 微分方程 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 第九節(jié) 常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程一選擇題 1微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（式中為常數(shù)） D （A） （B） （C） （D） 2對(duì)于方程，利用待定系數(shù)法求其特解時(shí)，正確的是 A （A） （B） （C） （D） 3對(duì)于微分方程，利用待定系數(shù)法求其特解時(shí)，正確的是 D （A） （B） （C） （D）二填空題 1微分方程的通解是 2微分方程的通解是 三 計(jì)算題1設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足微分方程

8、，且其圖形在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)重合，求函數(shù) 解：特征方程為，解得特征根 ，因此對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 非齊次方程中的是特征根，所以設(shè)特解為 代入原方程，解得 于是 原方程的通解為 由于積分曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共切線(xiàn)，所以代入通解中得 ，解得 故 所求的函數(shù)為 2求微分方程的通解 解：特征方程為 ，解得其根為 ，所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程的特解為 ，代入原方程，并整理得 比較兩邊的系數(shù) ，解得 所以 故 所求方程的通解為 3求微分方程的通解. 解：特征方程為 ，解得 和，齊次方程的通解： 設(shè)非次方程的特解為代入原方程， 并整理，得 解得 故 所求方程的通解為 4設(shè)二階常系數(shù)線(xiàn)性方

9、程的一個(gè)特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解解：將代入原方程，得 比較同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得 解方程組，得，即原方程為 對(duì)應(yīng)的特征方程的根為 ，故齊次方程的通解為 所以原方程的通解為 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十二章 微分方程 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 綜 合 練 習(xí) 題一選擇題 1已知函數(shù)， ，則 C （A）y1與y2線(xiàn)性相關(guān) （B）y2與y3線(xiàn)性相關(guān)（C）y1與y3線(xiàn)性相關(guān) （D）它們兩兩線(xiàn)性相關(guān) 2若連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式，則 B （A） （B） （C） （D） 3設(shè)是二階常系數(shù)微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是 C （A）不存在 （B）1 （C）2 （D）3 二填空題 1已知曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為，則曲線(xiàn)為 2 的通解為 3微分方程的通解為 4微分方程滿(mǎn)足初始條件，的特解是 5微分方程的通解 三計(jì)算題 1求微分方程 的通解 解: 方程可化為 所以方程的通解為 2已知，試確定，使為全微分方程，并求此全微分方程的通解. 解: 由于 要使為全微分方程 則 且 由代入上式,得 所以