第十單元BS公式

1、.1Black-Scholes模型分析模型分析.2股票價(jià)格的對(duì)數(shù)正態(tài)分布特性dSSdtSdz如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)21ln2dSdtdz那么lnS是一般維納過程dzdtSdSdzdtSd)2(ln2.321lnln,2TtSSTtTt在時(shí)刻t和時(shí)刻T之間，lnS服從正態(tài)分布21lnln,2TtSSTtTt因此lnST是正態(tài)分布，ST是對(duì)數(shù)正態(tài)分布)(),)(2(lnln22tTtTNSST)(),)(2(lnln22tTtTSNST.4()()T tTtE SS eST的數(shù)學(xué)期望為222 ()()var()(1)T tT tTtSS eeST的方差為)()(tTTSeSE 1)()()(

2、222tTtTTeeSSD.5連續(xù)復(fù)利收益率分布將t與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為,得到收益率的分布()T tTtSS e和11lnlnlnTTttSSST tST t于是22ln,2,2TtSTtTtSTt )(tTTSeSSStTTln1)( ,2(22tTN.6 的標(biāo)準(zhǔn)差=/(T-t)1/2,顯然，隨著時(shí)間的增加，的標(biāo)準(zhǔn)差降低。 例子：考慮一個(gè)股票，其預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)差分別為17%和20%。求其3年內(nèi)的連續(xù)復(fù)利收益的分布和95%的置信區(qū)間。 答案： N(0.15,0.1155) 【-7.6%，37.6%】.7 期望收益率是什么?幾年內(nèi)收益率的平均值并不等于幾年內(nèi)按年復(fù)利計(jì)算的每年的平均收

3、益率瞬時(shí)收益率(很短時(shí)間內(nèi)的預(yù)期收益率)一段時(shí)間的預(yù)期連續(xù)復(fù)利收益率()預(yù)期收益率.8期望收益與期望連續(xù)復(fù)利收益 根據(jù)對(duì)數(shù)正太分布性質(zhì)，我們得到： 根據(jù)連續(xù)復(fù)利收益定義，我們得到：.9 于是： 根據(jù)對(duì)數(shù)正太分布假設(shè)，我們得到：.10 由 取對(duì)數(shù)我們得到： 如果 ，我們得到： E(x)=.遺憾的是，上述假設(shè)不成立。事實(shí)上，.11 因此： ，顯然可以得出： E(x) 事實(shí)上，從對(duì)數(shù)正太分布可以知道： E(x)=u-0.52.12估計(jì)股票價(jià)格的波動(dòng)率(觀測(cè)時(shí)間間隔固定)n+1:觀測(cè)次數(shù)(樣本個(gè)數(shù))Si: 第i個(gè)觀測(cè)時(shí)期的股票價(jià)格(i=0,1,2,.,n):以年為單位表示的時(shí)間間隔長(zhǎng)度1ln,1,2,

4、iiiSinS令從歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率i的標(biāo)準(zhǔn)差s)ln(1iiiSSniiuuns12)(11.13估計(jì)股票價(jià)格的波動(dòng)率(觀測(cè)時(shí)間間隔固定)i的標(biāo)準(zhǔn)差為 此估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差近似為 因此,變量s是 的估計(jì)值于是 本身可被估計(jì)為 sss ns2/.14觀測(cè)樣本個(gè)數(shù)的選擇觀測(cè)樣本要盡可能的多注意到隨時(shí)間變化，樣本也不能太多,也許90天到180天是合適的選擇經(jīng)驗(yàn):設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于將應(yīng)用波動(dòng)率對(duì)應(yīng)的時(shí)期日歷天數(shù)或交易天數(shù)計(jì)算?交易天數(shù).15思想Black-Scholes微分方程:不付紅利股票的任意衍生證券價(jià)格f必須滿足的方程Black-Scholes定價(jià)方法:構(gòu)造包含衍生證券頭寸和標(biāo)的股票頭寸的無風(fēng)

5、險(xiǎn)證券組合，在無套利機(jī)會(huì)條件下，該證券組合的收益率必定為無風(fēng)險(xiǎn)利率股票價(jià)格和衍生證券價(jià)格都受同一種基本的不確定因素影響:股票價(jià)格的變動(dòng)頭寸僅在瞬時(shí)時(shí)間無風(fēng)險(xiǎn)，因此，頭寸必須經(jīng)常調(diào)整Black-Scholes微分方程的基本概念.16假設(shè)股票價(jià)格服從漂移為、方差為的擴(kuò)散過程允許使用全部所得(收入)賣空衍生證券沒有交易費(fèi)用或稅收,所有證券都是無限可分的在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)證券交易是連續(xù)的無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù),且對(duì)所有到期日都相同注:有些條件可以放松(簡(jiǎn)化).17Black-Scholes微分方程的推導(dǎo)假設(shè):股票價(jià)格服從如下過程dSSdtSdz假設(shè)f是基于S的衍生證券的價(jià)

6、格，則f一定是S和t的函數(shù)，于是SdzSdtdSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222.18zSSftSSftfSSff)21(2222zStSS.19構(gòu)造證券組合:定義這個(gè)證券組合的價(jià)值為,于是ffSS t時(shí)間后證券組合的價(jià)值變化為:-1：衍生證券+ ：股票SfSSffSSff.20將 和 代入證券組合的變化中，可得drdt 注意這個(gè)表達(dá)式中已經(jīng)沒有隨機(jī)項(xiàng)!它是無風(fēng)險(xiǎn)的!于是，應(yīng)用無套利機(jī)會(huì)條件，應(yīng)有此即222212ffdSdttS tSSftf)21(2222trSftSSffrtSfStf)()21(2222.21化簡(jiǎn)，即得:這就是Black-Scholes微分方程不同的衍生

7、證券，對(duì)應(yīng)的Black-Scholes微分方程邊界條件不同，求解該方程，就能得到衍生證券的價(jià)值；不同的邊界條件，對(duì)應(yīng)不同的衍生證券!rfSfSSfrStf222221.22例：基于不付紅利股票的遠(yuǎn)期合約，記其價(jià)值為f。則()r T tfS Ke K是交割價(jià)格.注意到:滿足Black-Scholes方程!2()2,1,0r T tfffrKetSS 2222()()12()r Ttr TtfffrSStSSrK erSr SK erf .23風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的理論依據(jù): Black-Scholes微分方程不包含任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí), 可以使用任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好!特別地,假設(shè)

8、所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界,所有證券的預(yù)期收益率皆為無風(fēng)險(xiǎn)利率r.這樣的假設(shè)獲得的Black-Scholes微分方程的解,也是任何風(fēng)險(xiǎn)偏好下的解.從風(fēng)險(xiǎn)中性世界進(jìn)入風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界時(shí),發(fā)生兩件事:股票價(jià)格的期望收益率改變了；在衍生證券任何損益中使用的貼現(xiàn)率改變了；互相抵消.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià).24應(yīng)用于股票遠(yuǎn)期合約不付紅利股票的遠(yuǎn)期和約，交割價(jià)格是K，在T時(shí)刻到期假設(shè)利率為r(常數(shù))到期日合約價(jià)值為ST-K, ST是時(shí)刻T的股票價(jià)格在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，對(duì)遠(yuǎn)期合約在t時(shí)刻的價(jià)值f,()()()r T tr T tr T tTTfeSKeSKeEE即風(fēng)險(xiǎn)中性世界的期望.25在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，股票價(jià)格

9、的增長(zhǎng)率等于為r，于是()r TtTSSeE簡(jiǎn)單計(jì)算,可得:()r T tfS Ke 前面我們已經(jīng)證明f滿足Black-Scholes微分方程 結(jié)論：用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法計(jì)算的遠(yuǎn)期合約價(jià)值與求解Black-Scholes微分方程得到的遠(yuǎn)期合約價(jià)值相同(到期日價(jià)值相同，或稱邊界條件相同).26Black-Scholes定價(jià)公式歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，歐式看漲期權(quán)到期日的期望價(jià)值為max,0TSKE歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c是這個(gè)值以無風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)()max,0r T tTceSKE.27在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，lnST的分布與(11.2)相同，只要將換成r即可12r T ttcS N dXeN

10、d根據(jù)lnST的分布函數(shù)，可以計(jì)算看漲期權(quán)的價(jià)格c(積分),21lnln,2TtSSrTtTt2121ln/2tSXrTtdTtddTt其中.28解釋期權(quán)價(jià)格c 是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 大于X的概率（即歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率）。 是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 是 的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。)(2dNTS)()()()(2)(12)(1)(dNXedSNdXNedSNectTrtTrtTr)(2)(dNXetTr)()(1)(1dNSedSNTtTrTS.29rT tc Xep s 歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系21r T tp XeN dSN d由此，可以得到美式看漲期權(quán)的價(jià)值與歐式看漲期權(quán)的價(jià)值

11、相同，美式看跌期權(quán)的價(jià)值與歐式看跌期權(quán)的價(jià)值不同，沒有解析解.30r T tSXeBlack-Scholes公式的性質(zhì)當(dāng)股票價(jià)格很大時(shí)，看漲期權(quán)肯定會(huì)被執(zhí)行，它與執(zhí)行價(jià)格為X的遠(yuǎn)期合約非常相似?？礉q期權(quán)的期望價(jià)格為max,0max,0r T tr T tCSXepXeS當(dāng)波動(dòng)率趨于零時(shí),.31 221212xxN xedx累積正態(tài)分布函數(shù).32公司擁有N股流通股股票，M份歐式認(rèn)股權(quán)證，認(rèn)股權(quán)證的持有者有權(quán)在時(shí)刻T以每股X的執(zhí)行價(jià)格向該公司購買股股票該認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值設(shè)T時(shí)刻該公司的股權(quán)價(jià)值是 (含認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值)如果認(rèn)股權(quán)證得到執(zhí)行，則認(rèn)股權(quán)證執(zhí)行后瞬時(shí)股票價(jià)值為:公司發(fā)行的本公司股票認(rèn)股權(quán)證T

12、VM XNMTV.33此時(shí)，認(rèn)股權(quán)證持有者的盈利收入為:TVNXN MNmax,0TVNXNMN只當(dāng)盈利為正時(shí)，認(rèn)股權(quán)證才會(huì)被執(zhí)行，所以，認(rèn)股權(quán)證持有者的盈利收入為:結(jié)論:認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值是NNM份基于V/N的普通看漲期權(quán)的價(jià)值，其中，V是該公司的股權(quán)價(jià)值.34如果股票價(jià)格S用S+(M/N)W替換波動(dòng)率為公司股權(quán)(股票加認(rèn)股權(quán)證)的波動(dòng)率 則認(rèn)股權(quán)證W的價(jià)格為:VMSWNN 12r T tNNWSW N dXeN dMN MV的價(jià)值由下式計(jì)算其中，S是股票價(jià)格，W是認(rèn)股權(quán)證的價(jià)格。所以VNSMW.35隱含波動(dòng)率隱含波動(dòng)率:期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格所蘊(yùn)含的波動(dòng)率隱含波動(dòng)率的計(jì)算:數(shù)值解隱含波動(dòng)率隨時(shí)間變化可用

13、來根據(jù)某一期權(quán)的價(jià)格估計(jì)另一個(gè)期權(quán)的價(jià)格隱含波動(dòng)率的估計(jì)方法.36波動(dòng)率產(chǎn)生的原因股票價(jià)格的波動(dòng)率僅僅是由于股票的未來收益的新消息的隨機(jī)到來而產(chǎn)生的?股票價(jià)格的波動(dòng)率主要是由交易本身產(chǎn)生對(duì)Black-Scholes模型的可能意義:每年波動(dòng)率每日波動(dòng)率 每年的交易日數(shù)對(duì)Black-Scholes可能的調(diào)整?.37紅利關(guān)于紅利假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)支付的股票紅利數(shù)量和支付時(shí)刻已假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)支付的股票紅利數(shù)量和支付時(shí)刻已知知股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)在股票除權(quán)日,股票價(jià)格下降,紅利被解釋為除權(quán)日股票價(jià)格的減少量歐式期權(quán)假設(shè)股票價(jià)格是兩部分的和:支付已知紅利的無風(fēng)險(xiǎn)部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分無風(fēng)險(xiǎn)部分是從除

14、權(quán)日貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)間的現(xiàn)值股票價(jià)格減去無風(fēng)險(xiǎn)部分即可應(yīng)用Black-Scholes公式.38當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率益率q q（單位為年）時(shí)（單位為年）時(shí)，我們只要用 原公式中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。)(tTqSe.39美式期權(quán)美式看漲期權(quán)在有紅利的情況下,只有在股票支付紅利前的瞬時(shí)時(shí)刻執(zhí)行才最優(yōu).在大多數(shù)情況下,提前執(zhí)行需要考慮的唯一時(shí)間是最終的除權(quán)日有時(shí)提前執(zhí)行不是最佳選擇 BlackBlack近似：近似： 分別計(jì)算在時(shí)刻T和 到期的歐式期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中較大的值確定為美式期權(quán)的價(jià)格。nt.40對(duì)對(duì)Black-ScholesBlack-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的期權(quán)定價(jià)公式的