品析一道新舊融合名題目背景的高考題目(1)

1、.品析一道新舊融合名題背景的高考題2011年高考湖北數(shù)學(xué)卷理科第15題是一道很值得品味的考題。該題圖文并茂、能力立意、新舊融合、背景新穎厚重、滲透課改理念，重點考查學(xué)生閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力，考查分類討論思想、合情推理能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 題目  給個自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案如下圖1所示：            圖1        

2、60;                   圖2由此推斷，當(dāng)時，黑色正方形互不相連的著色方案共有       種，至少有兩個黑色正方形相連的著色方案共有       種，（結(jié)果用數(shù)值表示）。 本題圖文并茂信息量大，信息的選擇直接影響解題方向。題目中給出的當(dāng)時，黑色正方形互不相連的

3、著色方案的4組圖形信息，看是可有可無好象只是用來幫助考生理解題意的，其實不然，這四組圖形信息才是本命題的最大亮點，若去掉這一圖形信息該命題則黯然失色命題效果則大打折扣。筆者認(rèn)為給出的四組圖形的結(jié)構(gòu)不盡合理，不符合分類討論由易到難由簡到繁循序漸進的認(rèn)知規(guī)律，特別是時的著色方案圖給人分類混亂之感。若將給出的四組圖換成圖2的結(jié)構(gòu)形式，更能幫助考生理解題意，這樣命題就更加完美了，這不能不說是本命題的一個小小的瑕疵，當(dāng)然瑕不掩瑜。如果認(rèn)為圖形信息只是用來幫助理解題意，可得如下解法1，若將四組圖形當(dāng)作是四個特例，作為歸納的起點可得如下解法2?？梢娺@一圖形信息不僅用來幫助理解題意，而且給考生提供了更多的思維

4、空間，給考生創(chuàng)造性地簡捷有效地解決問題提供了平臺。 解法1  去掉四組圖形信息后本題即為：給個自上而下相連的正方形著黑色或白色，黑色正方形互不相連的著色方案共有多少種，至少有兩個黑色正方形相連的著色方案共有多少種（結(jié)果用數(shù)值表示）。 由于黑色正方形互不相連，涂黑的小正方形個數(shù)可以是。顯然，當(dāng)k=0時，6 個正方形全白只1種涂法；當(dāng)k=1時，即只有一個正方形涂黑有6種涂法；當(dāng)k=2時，在6個正方形中有兩個涂黑又互不相鄰，可采用插空法，先自上而下排好 4個白色正方形，這樣形成5個空檔，任選兩個空檔插入2個黑色正方形有種方法；當(dāng)k=3時，在6個正方形中有三個涂黑又互不相

5、鄰，同樣用插空法，先自上而下排好 3個白色正方形，這樣形成4個空檔，任選3個空檔插入3個黑色正方形有種插法。 綜上可知，給個自上而下相連的正方形著黑色或白色，黑色正方形互不相連的著色方案共有種。 每個小正方形都有黑、白兩種填法，所以6個小正方形共有種填法。如前所述，其中黑色正方形互不相連的著色方案有21種，故至少有兩個黑色正方形相連的著色方案共有64-21=43種。 解法2  將問題一般化，構(gòu)建數(shù)列模型。用表示給個自上而下相連的正方形著黑色或白色，其中黑色正方形互不相連的著色方案種數(shù)。由這四組圖形容易得出，觀察這個數(shù)列，如果考生能發(fā)現(xiàn)這幾項是著名的斐波那

6、契數(shù)列（也稱黃金數(shù)列）的前幾項，或能從中發(fā)現(xiàn)：，由此提出猜想：從第三項起后面一項等于前兩項之和即。于是，故給個自上而下相連的正方形著黑色或白色，黑色正方形互不相連的著色方案共有種。下同法1略。 另一方面，由于采用不完全歸納法，從有限的幾項歸納出的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，其正確性有待進一步的驗證和證明。本題有不少考生作出如下歸納：因為，由此猜想，于是，這也是合情推理，兩個合情推理，一對一錯結(jié)果大相徑庭。 仿解法1知，都是斐波那契數(shù)列的項，于是我們更加堅信數(shù)列就是斐波那契數(shù)列，由此可見本題是以著名的斐波那契數(shù)列為背景的一道考題，以數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)名題為背景命題是近幾年湖北

7、卷的一大特色。 本題是大綱教材和新課標(biāo)的一個很好對接的案例。解法1是大綱教材的縮影，解法2 正是新課標(biāo)合情推理的要求。解法2以圖形為依托，構(gòu)造數(shù)列，通過觀察分析進行歸納推理或聯(lián)想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而使問題得以解決。歸納推理是一種合情推理，歸納推理從形式上看，是由部分到整體、個別到一般的推理。應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！彪S著新課改的不斷深入，新課標(biāo)高考不僅考歸納推理還會考類比推理，事實上類比推理出現(xiàn)在高考卷上已不是什么新鮮事了，類比推理與歸納推理相比，類比推理更富創(chuàng)造性和開拓性，同樣會成為高考的亮點。歸納推理和類比推