轉化思想在數(shù)學解題中的作用與培養(yǎng)

1、 轉化思想在數(shù)學解題中的作用與培養(yǎng)摘 要 數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓,對學生數(shù)學能力的形成和發(fā)展有著十分重要的作用.其中轉化思想是數(shù)學思想的核心與精髓,是數(shù)學思想方法中最基本的一種,也是一種重要的解決問題的策略.它能化繁為簡,化未知為已知,因此在數(shù)學解題中應注重這種數(shù)學思想的滲透,才能拓寬、深化學生的思維.在教育實習期間，我們注意到數(shù)學題目中好多都在考察學生的轉化意識與轉化能力，很多題目用常規(guī)的數(shù)學解題方法解計算量比較大，而運用數(shù)學轉化思想方法去解決就會簡單的多.這使我萌生了要研究轉化思想在數(shù)學解題中的作用與培養(yǎng)這一課題的意愿.本論文主要研究了轉化思想的概念、轉化思想的分類和轉化思想在數(shù)學解題中

2、的應用，探究了在數(shù)學解題中如何應用轉化思想，從而揭示出轉化思想在數(shù)學解題中的作用，最后提出一些培養(yǎng)學生數(shù)學轉化思想能力的建議，使得學生能夠形成自覺轉化與有意識轉化的習慣，從而提高學生的數(shù)學解題能力.關鍵詞 數(shù)學 數(shù)學思想 轉化思想 數(shù)學解題 數(shù)學教學 Function and Training of Transformation Thought in the Mathematical Problem Solving Abstract Mathematical thinking is the essence of mathematics. It plays an important role o

3、n the formation and development of students mathematical ability. Also, it is an important strategy to solve the problems. It can transfer the complexity into simple, and it can convert the unknown into the known. Therefore, in order to broaden and deepen students thinking, the teachers should focus

4、 on permeating mathematical thoughts into solving mathematical problems. In the period of teaching practice, we noticed that there are many math topics which are used to check students transforming consciousness and transformation capabilities. The conventional method of solving mathematical problem

5、 makes the calculation more complicated. But it is much easier for students to solve the problems in the way of mathematical transformation thoughts. So, it makes the author enlighten the thoughts to research the function of transformation thought in mathematical problem solving and the willingness

6、of developing this topic. This thesis mainly studies the concept of ideological transformation, transformation classification and the applications of transformation thinking in mathematical problem solving. It explores how to apply to transformation thought in mathematical problem solving. Then, it

7、reveals the application of transformation thought in mathematical problem solving. Finally, the author puts forward some suggestions to cultivate the ability of students mathematical transformation thoughts. In the end, it enables students to cultivate the ability to form the consciousness of transf

8、ormation actively and develop the habit. Thus, it can improve the ability of students mathematical problem solving.Keywords mathematics mathematical thinking transforming ideas mathematical problem solving mathematics teaching 目 錄引言1第1章 轉化思想的概述11.1轉化思想的概念21.2轉化思想的分類51.3轉化思想在運用上應遵循的基本原則6第2章轉化思想在數(shù)學解題中

9、的作用62.1 代數(shù)到幾何的轉化62.2 空間幾何到代數(shù)的轉化82.3 不等式到函數(shù)的轉化102.4 方程到函數(shù)或不等式的轉化102.5 一般到特殊的轉化112.6 正面到反面的轉化122.7 轉化思想在數(shù)學解題中的作用12第3章 轉化思想的培養(yǎng)143.1加強知識之間的聯(lián)系153.2 注重公式的形式及特點193.3 加強轉化思想的培養(yǎng)與訓練 21總結22致謝22參考文獻23引 言轉化思想方法在數(shù)學中有著很重要的地位和作用.面對千變萬化的數(shù)學問題，轉化思想方法的運用，無時不有，無處不在，尤其是在解答實際問題和綜合問題時，運用轉化思想換一個角度看問題，常常是打破僵局的希望.在解題中通過不斷調整思路

10、，不斷合理轉化，可以使我們少一些“山窮水盡疑無路”的尷尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悅.研究數(shù)學轉化思想的目的是為了解決新課標下高中數(shù)學呈現(xiàn)出來的“起點高、難度大、容量多、課時緊”的問題，通過研究轉化思想在數(shù)學解題中的作用可以給予學生們一些運用轉化思想來解決數(shù)學問題的方法，讓學生明白轉化思想在數(shù)學解題中有至關重要的作用.鑒于轉化思想方法在數(shù)學解題中的重要地位和作用，常規(guī)的數(shù)學解題方法計算量比較大，就必須對數(shù)學轉化思想方法進行深入研究.國外在研究轉化思想的方法及作用上具有開創(chuàng)性,布盧姆在教育目標分類學中明確指出：數(shù)學轉化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”，它可以從語言描述向圖

11、形表示轉化，或從語言表達向符號形式的轉化，或是每一種情況的逆轉化.著名數(shù)學家歐拉（Euler）也曾在解決哥尼斯堡七橋問題時,采用了轉化的思想方法.但是國內在數(shù)學領域探究有關數(shù)學轉化思想的文獻并不是很具體和深入，所以就需要將這些零散的知識歸納起來. 并通過實例加以說明，深入探討轉化思想在數(shù)學解題中的作用與提出一些如何培養(yǎng)學生轉化思想的指導建議第1章 轉化思想的概述1.1 轉化思想的概念數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，有較強的邏輯性，大多數(shù)學問題并不是主觀思維能夠解決出來的.因此在解決數(shù)學問題的過程中，常遇到一些問題直接求解起來會比較困難，往往需要對問題進行觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，從而對問題進行變

12、形，直至把原問題轉化到某個較熟悉的問題上去，通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱為“轉化的思想方法”.轉化思想的實質是揭示問題的聯(lián)系，實現(xiàn)轉化.基本上除了一些極簡單的數(shù)學問題外，每個數(shù)學問題的解決都是需要轉化為簡單問題來解決的.轉化思想是解決問題的根本思想，解題過程實際上就是一步一步轉化的過程，轉化思想在解決數(shù)學問題的過程中隨處可見，例如：數(shù)形結合的思想體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的相互轉化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉化等等.它們都是轉化思想的具體體現(xiàn). 1.2 轉化思想的分類 根據要轉化的過程是充要的還是充分或必要的，可以將轉化思想分為等價轉化思想與非等價轉化思想.

13、（1）等價轉化思想 等價轉化是將所給的命題進行等價轉化，使之成為一種容易理解的語言或容易求解的模式，其關鍵是要明確轉化的方向也就是轉化的目標.等價轉化中要求轉化過程的前因后果是充分必要的，才能保證轉化后的結果仍為原問題的結果.等價轉化思想的特點是具有靈活性和多樣性.在應用等價思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去遵循，它可以在數(shù)與形，函數(shù)與方程，不等式與不等式之間進行轉化.由于其多樣性和靈活性，因此在運用時要合理的轉化的途徑與方法，避免死板硬套.下面結合具體例子來說明在解題時如何運用等價轉化思想.例1 不等式的解集是 （ ）. A. B. C. D. 分析 不等式右邊的“0”實際是“”

14、，這樣就可以看作是分式不等式，去掉對數(shù)函數(shù)符號時，要注意對數(shù)函數(shù)的定義域問題，即.解 因為0=要解，即解又因為函數(shù)在其定義域是減函數(shù)，所以，且,最后解得,所以選擇C.方法點撥 在解不等式的過程中充分運用不等式的性質及相關知識，把原不等式等價轉化為易解的不等式.在對不等式進行變形時，要注意不等式的同解性，即注意保持字母在允許范圍內不發(fā)生變化，解含有參數(shù)的不等式時，注意要對參數(shù)進行分類討論，從而做到不重不漏.(2) 非等價轉化思想非等價轉化思想分為兩類，其一是找充分條件，為了證明，我們找出命題 ，它們有關系，然后證明，從而斷言為真；其二是找必要條件，為了否定，我們找出命題，它們有關系：，然后證明不

15、真，從而斷言也不真.這兩個方面的轉化在數(shù)學中都發(fā)揮了巨大作用. 例如，在不等式的證明中有關充分性與必要性的論證過程中恰好分屬于上面兩類.又如根據不等式的傳遞性而發(fā)展出發(fā)的放縮法也屬于此類，而放與縮恰好屬于上面兩種不同的轉化方式.當某些問題用等價轉化處理麻煩時，恰如其分地利用非等價轉化手段，會常使這些問題的解決變的簡單明了，這是非等價轉化非常積極的一面.但是，由非等價轉化得出的結果有時候會與真實結果有些出入，必須再對其結果做些處理，才能獲得原問題的完全解.下面結合具體例子說明在解題時如何運用非等價轉化思想.第一類找充分條件例2 已知，若對任意，總有成立，則實數(shù).分析 這個題如果用常規(guī)的解法要分類

16、討論比較麻煩，也常常會因為少討論了一種情況而導致出錯.如果換一種思路，用非等價轉化的思想會容易很多.下面我將分別用兩種方法來解一下，以此來對比它們之間的優(yōu)略.解 常規(guī)解法 因為對任意恒成立，即對任意恒成立.下面對進行分類討論：當時,成立，所以；當時，恒成立，考慮函數(shù)，對其求導可得，令，可得，當時，取最大值4，所以有；當時，原式變?yōu)?，要使之恒成立，考慮函數(shù)，求導可得，所以關于在上單調遞增，則當時，取得最小值4，所以有.綜上所述，.用非等價轉化思想的解法因為對任意恒成立，所以 即于是最后驗證一下，此時令,得 ，計算可得當或時，發(fā)取得最小值從而得到對于恒成立，所以.第二類找必要條件例3 已知：.求證

17、:. 分析 這個不等式的證明需要利用非等價轉化思想 ，利用不等式 對下面所要求的不等式進行放大，從而證明不等式. 證明 因為 = = .通過上面第一個例子，我們能很明顯的看出非等價轉化可以避免繁雜且容易遺漏的分類討論，使恒成立問題處理起來非常容易，但是用非等價轉化時要特別注意最后對定義域擴大、縮小部分另外處理，以便排除增根或找回失去的根.通過上面第二個例子，我們知道在證明不等式，可以利用非等價轉化思想，根據不等式的傳遞性對不等式進行放縮，從而使問題得到好的解決.1.3轉化思想在運用上應遵循的基本原則 運用轉化思想解題時，可以使原本不太容易與不熟悉的問題通過轉化使其變得容易與方便解決，而不能說轉

18、化以后，發(fā)現(xiàn)比轉化之前更加的難以解決，那么轉化不僅沒有起到幫助問題的解決的作用，反而浪費了時間與精力，得不償失.因此，運用轉化思想解題時并不是隨心所欲，隨便轉化，而是有它所要遵循的一些基本原則的，這樣就使得轉化有目標性，才能使轉化思想發(fā)揮它的作用.以下介紹轉化思想在運用上應遵循的基本原則： 熟悉化原則 就是將陌生的問題轉化為熟悉的問題，利于我們應用熟知的知識、經驗來解決問題.例如，我們對等差數(shù)列與等比數(shù)列非常熟悉，當遇到一些簡單的遞推數(shù)列要求其通向公式時，可以先觀察對其進行變形，將其轉化為我們所熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決.簡單化原則 就是將復雜的問題轉化為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，

19、達到解決復雜問題的目的或獲得某種解題的啟示和依據. 例如，在代數(shù)中，高次方程通過因式分解、因式變形，達到降次的目的；多元方程通過消元，轉化為一元方程,這些都體現(xiàn)了轉化思想的簡單化原則.正難則反原則 當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解. 例如，在概率問題中，根據對立事件的實質，如果事件和事件互為對立事件，則，當我們解決概率問題時，當所求的概率問題比較繁瑣時可將問題轉化到原問題的對立問題上去，進而快速求解.直觀化原則 將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決.例如，在對一些代數(shù)式直接求解較難時，將代數(shù)式轉化為圖形，這樣就非常直觀，且一目了然，使得問題解

20、決起來很容易.第2章 轉化思想在數(shù)學解題中的作用 數(shù)學上每個問題都有與之相互聯(lián)系的問題，它們或相互等價或構成矛盾，在解決問題的過程中都需要在一定條件下相互轉化，轉化過程中又有其所要遵循的原則.下面我將對轉化思想在數(shù)學解題中幾種典型的運用做具體分析，及在轉化過程中是如何體現(xiàn)它所要遵循的原則的，通過分析轉化思想在數(shù)學解題中的具體應用來揭示出轉化思想在數(shù)學解題中的作用.2.1代數(shù)到幾何的轉化 有些函數(shù)問題從代數(shù)方法出發(fā)很難解決，如果將這些問題轉化為幾何問題，通過構造幾何圖形來幫助解決，將會使原先的問題變的非常直觀與簡單.這充分體現(xiàn)了運用轉化思想應遵循的“直觀化”與“簡單化”原則.例4 求函數(shù)的最小值

21、. 分析 本題看起來是一個函數(shù)問題，但是從函數(shù)角度很難解決，如果把這一問題轉化為解析幾何點到點的距離問題.這一問題就迎刃而解. 把問題轉化為 ,令，= .則問題轉化為在X軸上求一點P，使有最小值. 圖 2.1 解 設,則 只要求的最小值即可，又點與點對稱， 而 原式最小值為.例5 知為正數(shù)，且，求的最小值. 分析 此題如果直接用代數(shù)方法來解，顯得難以入手，但題目所給的等式有明顯的幾何結構，將其變形為，則會很容易聯(lián)想到勾股定理，且又注意到為正數(shù)這個條件，則會想到構造一個關于直角三角形會有助于解題，從而使問題得到解決. 圖 2.2 構造直角三角形 解 構造以為直角邊，為斜邊的和，如上圖擺放，則在直

22、角梯形中，因為,所以.所以，所以的最小值是.2.2空間幾何到代數(shù)的轉化在空間幾何中，在求一些空間角，空間距離及證明一些空間中線面平行與垂直，面面平行與垂直問題時，如果只單純運用空間幾何的定理來解比較難，需要較強的空間想象能力，而通過空間向量的引入，使得空間幾何問題轉化為代數(shù)問題，降低了思維難度，使原先較難的問題解答起來簡單而又直接.這充分體現(xiàn)了運用轉化思想應遵循的“簡單化”原則. 例6 如圖所示，已知正三棱柱的所以棱長都相等，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為. 圖 2.3 分析 建立直角坐標系，利用向量法求解，避免了通過空間的邏輯推理尋找線面角的過程，使得問題變得簡單而又直接.解 不妨設

23、正三棱柱的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量為，由解得.又,所以，所成的角正弦值為.2.3不等式到函數(shù)的轉化 不等式是高中數(shù)學中的一個重要分支，但是一些不等式的解題過程需要通過運用函數(shù)思想中的各類解題思維，進行全局化、整體化地將復雜的不等式問題轉化成簡單化的基礎性的函數(shù)問題來解答. 例7 已知當時，不等式恒成立，求的范圍.分析 原不等式恒成立的問題轉化為求函數(shù)的最值問題 解 原不等式恒成立，即恒成立，只需大于 的最大值. 設：，則 ，所以， 所以.例8 已知：、,求證：.分析 這是不等式的證明題，關鍵在于絕對值符號的處理.事實上，本例可以轉化為一個函數(shù)的單調性問題.

24、已知：，及函數(shù)，求證：.易證是增函數(shù)，這樣問題就容易解決了.2.4方程到函數(shù)或不等式的轉化 方程問題有時可以轉化為與其相關的函數(shù)問題或不等式問題,運用函數(shù)的一些性質,如:函數(shù)的單調性,函數(shù)的值域等,會使問題得到很好的解決. 例9 關于的方程恒有解，求的范圍.分析 該題如果按方程問題處理比較麻煩，轉化為函數(shù)問題來解會比較容易.解 原方程可變?yōu)?，只要是函?shù)的值域內的一個值即可. . 例10 已知角、是三角形的兩個內角，且 ， 是方程的兩根，求的取值范圍.分析 本題看起來是方程問題，根據隱含條件最終轉化為不等式問題解 由已知 , ，故方程的兩根均在之間.則 解之得：.2.5一般到特殊的轉化等差數(shù)列和

25、等比數(shù)列是高中知識的重點，也是高考考查的重點，但在平常做題時會發(fā)現(xiàn)，所做的題卻不是學生們所熟悉的等差、等比數(shù)列，而是一些一般的遞推數(shù)列，讓求它的通項公式，這就在考察學生的觀察能力與解決問題的能力.一般情況下，一般的遞推數(shù)列可以通過變形轉化為兩類特殊的基本數(shù)列，通過求解其基本數(shù)列來求原數(shù)列.這充分體現(xiàn)了運用轉化思想應遵循的“熟悉 化”原則.例11 已知數(shù)列中，,求：數(shù)列的通項公式. 分析 通過觀察發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)列通過倒數(shù)變換后是一個等差數(shù)列，所以可以通過轉化將其轉化為我們熟悉的等差數(shù)列，來求其通項公式. 解 因為，將其進行倒數(shù)變化后為，所以是一個以為首項，2為公差的等差數(shù)列.所以，所以.2.6正面

26、到反面的轉化在解題過程中，如果從正面解決原問題有困難，不妨從它的反面出發(fā)，逆向思維，獲得對原問題的解決.這充分體現(xiàn)了運用轉化思想應遵循的“正難則反”原則. 例12 已知三條拋物線： ， ， 中至少有一條與X軸相交，求實數(shù)a的取值范圍.分析 一、二、三條拋物線中至少有一條與x 軸相交的情況比較多，反之為三條拋物線與x 軸都不相交，只有一種情況.這樣就使得原本不太容易解決的問題通過從反面考慮而變得很簡單. 解 令，由解得： 滿足題意的的取值范圍是.例13 在兩個袋子中分別放有6張卡片，且每個袋子中的每張卡片分別標有1、2、3、4、5、6的不同數(shù)字，現(xiàn)在從兩個袋子中任意各抽出一張卡片，則兩張卡片上的

27、數(shù)字之和不是的概率是多少？ 分析 直接求解需要分別求出兩張卡片上的數(shù)字之和為2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的概率，然后相加，這樣就比較繁瑣，問題可以轉化為用減去出現(xiàn)兩張卡片上數(shù)字之和為7的概率.解 由于出現(xiàn)數(shù)字之和為7的情況有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6種情況，而總共可能出現(xiàn)的情況有種.所以所求概率為: 說明 概率問題的解決通常滲透了排列、組合的問題，而且經常用到分類討論的思想，這樣就使得問題復雜化，我們可根據已知條件從問題的反面出發(fā)，解決對立問題，再根據來求出原問題的解.2.7轉化思想在數(shù)學解題中的作用 通過上面列舉與分析的轉化思想在數(shù)學解題中的應用，

28、知道轉化思想實質是以運動、變化發(fā)展以及事物間相互聯(lián)系和制約的觀點看問題的，即善于對所要解決的問題進行變形.通過轉化后，使得原本不太容易解決的問題變的很容易解決，在轉化過程中也培養(yǎng)了學生的觀察能力，聯(lián)想能力，創(chuàng)新能力.因此，通過對以上這些轉化思想在數(shù)學解題中運用的例子的分析，可以總結出轉化思想在數(shù)學解題中的作用：第一：優(yōu)化解題方法追求解題方法的簡潔、深刻、優(yōu)美，是數(shù)學思想的最大特色.很多數(shù)學問題通過轉化，不只是獲得了解決，更重要的是獲得了解法的優(yōu)化.第二：揭露問題的本質歷史上有不少數(shù)學問題，在原來提出這一問題的領域內很難解決，甚至無法解決，如果把問題轉化到另一領域中，就可以迎刃而解了.例如，著名

29、的古希臘幾何作圖三大難題，在歐式幾何中長期未能解決，直到上世紀，把它轉化為代數(shù)問題后才徹底解決.第3章 轉化思想的培養(yǎng) 通過前兩部分的介紹可以看到轉化思想在數(shù)學解題中有非常重要的作用，而且學生掌握了轉化思想，可以有效地提高思維的靈活性，提高獲取知識解決問題的能力.那么，在教學中如何挖掘與培養(yǎng)學生的轉化思想,下面我將結合自己在實習過程中的數(shù)學教學實踐來談談自己的見解.3.1注重知識之間的聯(lián)系作為一種學習策略轉化思想方法的掌握與獲取數(shù)學理論知識、技能一樣，有一個感知、領悟、掌握、運用的過程，這個過程又是長期的，逐步積累的. 因此，教師在進行教學的過程中應注意，概念教學應當讓學生感受形成過程，了解來

30、龍去脈,當學生學習了一大塊知識后，要及時的站在系統(tǒng)的高度給學生總結聯(lián)系一下，這樣學生對知識體系才能有整體的概念，對知識間的來龍去脈有之全面的了解，使得學生腦海中知識是“成串”的，是一個整體，而不是零散的，胡亂堆砌的.這樣當在做題時,任何問題，學生才能更容易更快速地將知識聯(lián)系起來，更容易的將解決不遇到了的問題進行轉化， 使問題得到很好的解決.下面我將結合自己在實習中的教學實踐經驗，來談談在教學中如何站在系統(tǒng)的高度講授知識，引導學生多注重知識之間的聯(lián)系3.1.1案例設計課題指數(shù)函數(shù)及其性質 設計理念在新的教育理念：倡導積極主動、勇于探索的學習方式；注重提高學生的數(shù)學思維能力；發(fā)展學生的數(shù)學應用意識

31、的指導下，因此在高中數(shù)學情境設計中要注重轉化思想的培養(yǎng).在本節(jié)課的教學中要努力達到的目標：在課堂教學中通過師生對話、生生對話，并且在對話以后重視總結、反思，力圖讓學生參與到指數(shù)函數(shù)概念形成的過程中來，加強學生對指數(shù)函數(shù)概念本質的理解.在課堂活動中通過同伴合作，自主探究讓學生提出研究指數(shù)函數(shù)性質的方法,以便能將其遷移到其它函數(shù)的研究中,從而培養(yǎng)學生的轉化思想與轉化意識.教學過程 在指數(shù)函數(shù)的定義教學時 師:我們已經學習了函數(shù)的概念、圖像與性質，大家都知道函數(shù)可以刻畫兩個變量之間的關系你能用函數(shù)的觀點分析下面的例子嗎？ 師:大家知道細胞分裂的規(guī)律嗎?（出示情境問題）情境問題1 某細胞分裂時，由一個

32、分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，如果細胞分裂次，相應的細胞個數(shù)為，如何描述這兩個變量的關系？ 教師引導學生分析，找到兩個變量之間的函數(shù)關系，并得到解析式：. 師:這樣的函數(shù)你見過嗎?是一次函數(shù)嗎?二次函數(shù)?這樣的函數(shù)有什么特點?你能再舉幾個例子嗎?師生活動:學生舉例，比如：教師引導觀察，發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)的共同特點是：底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置.師:如果可以用字母代替其中的底數(shù)，那么上述式子就可以表示成的形式.自變量在指數(shù)位置，所以我們稱它為指數(shù)函數(shù).接下來老師讓學生舉出一些符合這個函數(shù)模型的具體例子，然后討論這些例子是否有意義與存在，從而引發(fā)學生對取值范圍的討論.師生活動:讓學生討論

33、并給出指數(shù)函數(shù)的定義對于指數(shù)的分類，可將問題分解為：若會有什么問題?(如，則在實數(shù)范圍內相應的函數(shù)值不存在）若會有什么問題?(對于都無意義） 若又會怎么樣?(無論取何值，它總是1，對它沒有研究的必要） 師:通過剛才的討論，我們知道為了避免上述情況的發(fā)生，所以規(guī)定且，最后得出指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)它的定義域是.在明確了指數(shù)函數(shù)的定義后，讓學生舉出一些指數(shù)函數(shù)來，教師也在黑板上寫出一些解析式讓學生判斷，如. 在研究指數(shù)函數(shù)的性質時 提出兩個問題: I:在學習了第一章以后，我們知道要對一個函數(shù)進行研究應研究哪些方面? II:研究函數(shù)(比如今天的指數(shù)函數(shù))可以怎樣研究?用什么方法、從

34、什么角度研究?學生通過思考后答出:研究函數(shù)要研究函數(shù)的三要素(對應法則、定義域、值域)及函數(shù)的基本性質(單調性、增減性、奇偶性).研究函數(shù)性質時可以從圖像及解析式這兩個不同的角度進行研究；可以從具體的函數(shù)入手；可以用列表法研究函數(shù).老師對學生的回答做出總結:剛才大家說的方法都可以用來研究函數(shù)，但是今天我們所學的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質，可見具體問題要選擇具體的問題來研究才能事半功倍！分組合作，合作學習師:好，下面我們就從圖像和解析式這兩個不同的角度對指數(shù)函數(shù)進行研究. a.讓學生分為兩組，一組從解析式的角度入手(不畫圖)研究指數(shù)函數(shù)，一組從圖像的角度入手研究指數(shù)函數(shù)； b.每一大組再分

35、為若干合作小組； c.每組都將研究所得到的的結論或成果寫出來以便交流. 總結、交流 師:下面我們開一個成果展示會! 教師在巡視過程中應關注各組的研究情況，此時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果，并對比從兩個角度研究的結果. 教師對學生發(fā)現(xiàn)、得出的結論進行適當?shù)狞c評或要求學生分析.師:這里除了研究定義域、值域、單調性、奇偶性外，再引導學生注意是否還有其他性質? 學生通過思考得出:如過定點與的圖像關于軸對稱.師:從圖像入手我們很容易看出函數(shù)的單調性、奇偶性以及過定點，但定義域、值域卻不確定；從解析式(結合列表)可以很容易得出函數(shù)的定義域、值域.師生共同總結指數(shù)函數(shù)的圖像和性質.最后對本節(jié)課進行

36、小結.3.1.2案例分析 概念教學應當讓學生感受形成過程，了解知識的來龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項注意”的做法剝奪了學生參與概念形成的過程，只有讓學生參與到概念形成的過程中來，才能加強學生對概念本質的理解，使學生遇到問題時,會想它的來龍去脈,會讓他們知道該往哪個方面轉化,這使得學生領悟了轉化思想,使得運用起來更得應手. 學生已經學習了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法與函數(shù)的一般性質，對函數(shù)有了初步的認識在此認知基礎上，引導學生自己提出所要研究的問題，尋找研究問題的方法. 這樣在對對數(shù)、指數(shù)函數(shù)后學生就會對函數(shù)有了較強的整體感，這樣當學到三角函數(shù)時，學生就可以很順利的抓?。喝我馊呛瘮?shù)的定義可

37、以根據三角函數(shù)的圖像這條主線來研究.這樣就使學生對知識有了系統(tǒng)的認識，為以后轉化做好了鋪墊.3.1.3案例教學實踐的分析與評價在進行指數(shù)函數(shù)的定義教學時，學生積極參與到了概念形成的過程中，明白了知識的來龍去脈，教給了學生學習與解決問題的方法，在學習中要注重知識之間的聯(lián)系. 但在學生自主研究指數(shù)函數(shù)性質這一部分，由于自己太過著急的讓學生總結出指數(shù)函數(shù)的性質，沒有序漸進的讓學生提出并總結出對指數(shù)函數(shù)性質的研究方法.在以后的教學中一定要循序漸進注重引導，充分發(fā)揮學生積極主動、勇于探索的學習方式，從而培養(yǎng)學生自主轉化的意識.3.2注重公式的形式及特點在高中數(shù)學中，有許多公式，但在實際解題中，用到的并不

38、是其原公式，是要將基本的公式進行轉化后才能使用，因此在平常的公式教學中，我們要引導學生不但進行公式的推導、公式的應用、逆用，還要引導學生進行公式的變形的應用，特別進行公式的結構特點的觀察，從而引導學生注意公式的形式及特點，最后達到提高其解題時的轉化能力的目的.下面結合我在實習時的具體教學經驗來談談在公式教學時如何培養(yǎng)學生的轉化能力.3.1.1案例設計課題簡單的三角恒等變換 設計理念在新的教育理念：倡導積極主動、勇于探索的學習方式；注重提高學生的數(shù)學思維能力；發(fā)展學生的數(shù)學應用意識的指導下，因此在高中數(shù)學情境設計中要注重轉化思想的培養(yǎng), 在簡單的三角恒等變換這節(jié)公式課中，應引導學生注重公式的形式

39、及特點、公式的推導，從而培養(yǎng)解題的轉化思想.在本節(jié)課的教學中要努力達到的目標:引導了學生注意觀察公式的形式與特點，從而提高了學生的公式變化能力，能夠利用換元、逆用公式等方法對三角函數(shù)進行恒等變形.讓學生能參與到公式的推導過程中來，認真體會三角恒等變換的特點，提高學生的推理、運算能力.教學過程 .復習前兩節(jié)課學的兩角的和、差、倍角公式接著讓同學們試著將以上第四個，第七個公式進行變形，變形以后得到接下來讓同學們試著以表示師：要用一個表示另一個，就要注意觀察看學過的公式里，有哪個包含有它們兩個，找出它們之間的關系式，那么根據方程思想，問題差不多就可以得到解決了.老師重點提出：的倍角，是什么關系？ 學

40、生得出：進一步引導 學生從之間的關系出發(fā)思考的關系，根據上節(jié)課學的倍角公式從而建立這兩個三角式之間的關系:從而再次變形得到，通過這兩個公式可以得到師生共同對三角恒等變化的推導過程進行梳理，對本節(jié)課學習的公式進行對比，從而加強對公式的形式及特點的注意.3.1.2案例分析 在熟練掌握了倍角公式的基礎上，理解角的倍角、半角間的相對性，在此過程中引導了學生注意觀察公式的形式與特點，從而提高了學生的公式變化能力，培養(yǎng)學生運用方程思想，轉化思想，換元思想解決數(shù)學問題的能力.3.1.3案例教學實踐的分析與評價在推導半角公式時，引導學生觀察余弦的二倍角公式，使學生掌握了角的倍、半角公式.讓學生明白對公式的學習與記憶應注重觀察公式的結構特點.但在其公式推導過程中，換元思想、轉化思想沒有很好的滲透到教學中，沒有很好的培養(yǎng)學生的數(shù)學思想與能力，在以后的公式教學中一定要注重引導，讓學生對公式的結構進行觀察，讓學生自主探索其推導過程，在其過程中滲透轉化思想.3.3加強轉化思想的培養(yǎng)與訓練 思維定勢，解題定勢，解題惰性（解完題