非線性控制系統(tǒng)分析

1、HEFEI UNIVERSITY自動控制原理小論文 項目名稱： 非線性控制系統(tǒng)分析 制作人 ： 程康 1205012023 12電子2班 指導教師： 儲忠 完成時間： 2015年7月1號 一、主要內容（1）典型非線性特性（2）描述函數(shù)（3）描述函數(shù)法二、基本要求（1）了解幾種典型非線性特性、非線性系統(tǒng)的特點以及分析方法。（2）理解描述函數(shù)的應用條件、定義和求法。（3）熟練掌握幾種典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并會運用典型非線性特性的串并聯(lián)分解求取復雜非線性特性的描述函數(shù)。（4）掌握運用描述函數(shù)法分線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩的方法，并能計算自振蕩的振幅和頻率。三、內容提要1、典型非線性特性（1）非線性

2、系統(tǒng)的特點疊加原理無法應用于非線性微分方程中。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有關，而且與系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關。線性系統(tǒng)的零輸入響應形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關，而非線性系統(tǒng)的零輸入響應形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻有關。有些非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵下，可以產生固定振幅和固定頻率的自激振蕩或極限環(huán)。（2）典型非線性特性2、描述函數(shù)（1）描述函數(shù)的定義類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用來表示。（2）描述函數(shù)的應用條件非線性系統(tǒng)的結構圖可以簡化為只有一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的閉環(huán)結構。非線性特性的靜態(tài)輸入

3、輸出關系是奇對稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出中不包含直流分量。系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。（3）描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是：首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的的數(shù)學表達式。利用傅氏級數(shù)求出的基波分量。將基波分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應的描述函數(shù)。（4）組合非線性特性的描述函數(shù)非線性特性的并聯(lián)若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于個并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)兩個非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特性的描述函數(shù)并不等于個串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。

4、而是應該先求出這兩個串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個等效非線性特性的描述函數(shù)。3、描述函數(shù)法（1）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)結構中，非線性部分可以用描述函數(shù)表示，線性部分則用頻率特性表示。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據是：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若曲線與曲線相交，理論上將產生振蕩，或稱為自激振蕩。（2）自激振蕩的分析與計算自激振蕩條件自激振蕩的穩(wěn)定性判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復平面自激振蕩附近，當按幅值增大的方向沿曲線移動時，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當按幅值增

5、大的方向沿曲線移動是從穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。自激振蕩的計算對于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率的計算方法是：振幅可由曲線的自變量來確定，振蕩頻率由曲線的自變量來確定。7.1 引言對于非線性系統(tǒng)，描述其運動狀態(tài)的數(shù)學模型是非線性方程，它與線性系統(tǒng)的最大差別是不能使用疊加原理。一、非線性系統(tǒng)的特點非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比，在數(shù)學模型、穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)、頻率響應、時間響應等許多方法均存在顯著的差別，非線性系統(tǒng)具有線性系統(tǒng)所沒有的許多特點，其主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）數(shù)學模型疊加原理無法應用于非線性微分方程中。（2）穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有

6、關，而且與系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關。研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須明確兩點：一是指明給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，二是指明相對于哪一個平衡狀態(tài)來分析穩(wěn)定性。（3）系統(tǒng)的零輸入響應線性系統(tǒng)的零輸入響應形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關，換句話講，線性系統(tǒng)在某一初始狀態(tài)下的零輸入響應是單調收斂的，則在其它初始狀態(tài)下的零輸入響應形式仍為單調收斂，不可能是其它形式（如振蕩、發(fā)散等）。而非線性系統(tǒng)的零輸入響應形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻有關。當初始狀態(tài)不同時，同一個非線性系統(tǒng)可有不同的零輸入響應形式。（4）自激振蕩或極限環(huán)有些非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵下，可以產生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激

7、振蕩或極限環(huán)。如果非線性有一個穩(wěn)定的極限環(huán)，則它的振幅和頻率不受擾動和初始狀態(tài)的影響。二、非線性系統(tǒng)的研究方法目前工程上常用的分析非線性系統(tǒng)的方法有描述函數(shù)法、相平面法，以及分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的方法，即李雅普諾夫直接法。當然，近幾年發(fā)展起來的一些非線性系統(tǒng)分析法有：神經網絡、分形理論、專家系統(tǒng)等等。三、典型非線性特性（1）飽和特性kM-aaxy飽和非線性特性的數(shù)學描述k-aaxy 飽和非線性特性的特點是：當輸入信號較小時，工作在線性區(qū)域；當輸入信號較大時，輸出呈飽和狀態(tài)。（2）死區(qū)特性死區(qū)非線性特性的數(shù)學描述死區(qū)非線性出現(xiàn)在一些對小信號不靈敏的裝置中，-bb-aaxy如測量

8、元件、執(zhí)行機構等。其特點是：當輸入信號較小時，無輸出信號；當信號大于死區(qū)后，輸出信號才隨著輸入信號變化。死區(qū)非線性對系統(tǒng)性能的主要影響是：（3）滯環(huán)特性滯環(huán)非線性也稱為間隙非線性，其數(shù)學描述為滯環(huán)非線性主要存在于機械加工設備由于裝配帶來的間隙，其特性是：當輸入信號較小時，輸出為零；當輸入信號大于a時，輸出呈線性變化；當輸入信號反向時，輸出保持不變，直到輸入小于-a時，輸出才又呈線性變化。（4）繼電器特性-aab-bxyb-bxy繼電器非線性有雙位繼電器特性、具有死區(qū)的繼電器特性、具有滯環(huán)的繼電器特性、具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器特性。7.2 描述函數(shù)非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)表示，是線性部分頻率特性表示法的

9、一種推廣。該方法首先通過描述函數(shù)將非線性特性線性化，然后應用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)進行分析。一、描述函數(shù)的定義（1）描述函數(shù)的基本概念設非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號其輸出一般為非周期正弦信號，可以展開為傅氏級數(shù)若非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出部分的靜態(tài)特性曲線是奇對稱的，即，于是輸出中將不會出現(xiàn)直流分量，從而。式中：，同時，若線性部分的具有低通濾波器的特性，從而非線性輸出中的高頻分量部分被線性部分大大削弱，可以近似認為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中只包含有基波分量，即式中：，（2）描述函數(shù)的定義類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用來表

10、示。顯然，時，為復數(shù)。（3）描述函數(shù)的應用條件非線性系統(tǒng)的結構圖可以簡化為只有一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的閉環(huán)結構。非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關系是奇對稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出中不包含直流分量。系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。二、描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是：首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的的數(shù)學表達式。利用傅氏級數(shù)求出的基波分量。將基波分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應的描述函數(shù)。以繼電器非線性特性為例，說明描述函數(shù)的求解方法。由于非線性為雙位繼電器，

11、即在輸入大于零時，輸出等于定值，而輸入小于零時，輸出為定值，故而，在正弦輸入信號的作用下，非線性部分的輸出波形為方波周期信號，且周期同輸入的正弦信號。其波形如下圖所示。由波形圖可見，輸出的方波周期信號為奇函數(shù)，則其傅氏級數(shù)中的直流分量與基波的偶函數(shù)分量系數(shù)均為零，即于是，輸出信號可表示為取輸出的基波分量，即于是，繼電器非線性特性的描述函數(shù)為顯然，的相位角為零度，其幅值是輸入正弦信號幅值的函數(shù)。常見非線性特性的描述函數(shù)：繼電器非線性描述函數(shù)飽和非線性特性的描述函數(shù)其它常見非線性特性的描述函數(shù)，見表7-1例：研究非線性函數(shù)的描述函數(shù)。解：畫出給定非線性特性曲線。顯然，非線性特性為單值奇函數(shù)，所以，

12、將代入上式，得到于是，描述函數(shù)為 三、組合非線性特性的描述函數(shù)簡單非線性基本連接形式有串聯(lián)、并聯(lián)。（1）非線性特性的并聯(lián)計算總的描述函數(shù)為由此可見，若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于個并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。（2）非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)兩個非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特性的描述函數(shù)并不等于個串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。而是應該先求出這兩個串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個等效非線性特性的描述函數(shù)。例：如下兩個非線性特性相串聯(lián)2121zx2121yz2121yx由串聯(lián)后的等效非線性特性，對照表7-1的死區(qū)加飽和非線性特性，可見，于是，等效非線性特性的描述函數(shù)為7.3 非線性系統(tǒng)的描述函

13、數(shù)法采用描述函數(shù)法研究的非線性系統(tǒng)應該是如下結構。一、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在上述所示的非線性系統(tǒng)結構中，非線性部分可以用描述函數(shù)表示，線性部分則用頻率特性表示。由閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如下其閉環(huán)特征方程為從而有上式稱為非線性特性的負倒描述函數(shù)。表7-1給出了常見非線性函數(shù)的負倒描述函數(shù)曲線，其中箭頭表示了幅值的增大方向。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據是：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若曲線與曲線相交，理論上將產生振蕩，或稱為自激振蕩。穩(wěn)定ReIm不穩(wěn)定ReImcdba振蕩ReIm二、自激振蕩的分析與計算由上述分

14、析可知，當線性部分的頻率特性與負倒描述函數(shù)曲線相交時，非線性系統(tǒng)產生自激振蕩。下面進一步分析自激振蕩的條件和自激振蕩的穩(wěn)定性。自激振蕩條件可以改寫為即自激振蕩的穩(wěn)定性cdba振蕩ReIm所謂自激振蕩的穩(wěn)定性是指，當非線性系統(tǒng)受到擾動作用而偏離原來的周期運動狀態(tài)，當擾動消失后，系統(tǒng)能夠回到原來的等幅振蕩狀態(tài)的，稱為穩(wěn)定的自激振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自激振蕩。如右圖所示，線性部分的頻率特性與負倒描述函數(shù)曲線有兩個相交點、，這說明系統(tǒng)有兩個自激振蕩點。對于點，若受到擾動使幅值增大，則工作點將由點移至點。由于點不被包圍，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅自動減小，工作點將沿曲線又回到點。反之亦然。所以點是

15、穩(wěn)定的自激振蕩。對于點，若受到擾動使幅值減小，則工作點將由點移至點。由于點不被包圍，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅進一步減小，工作點將沿曲線向幅值不斷減小的方向移動，從而不能再回到點。反之亦然。所以點是不穩(wěn)定的自激振蕩。判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復平面自激振蕩附近，當按幅值增大的方向沿曲線移動時，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當按幅值增大的方向沿曲線移動是從穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。自激振蕩的計算對于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率是確定并且是可以測量的，具體的計算方法是：振幅可由曲線的自變量來確定，振蕩頻率由曲線的自變量來確定。需要注意的是