二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎(chǔ))(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2能熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式但不要求記憶），能靈活地將公式變形并運(yùn)用3通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會(huì)換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角的正弦、余弦、正切公式要點(diǎn)詮釋：(1)公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時(shí)才成立；(2)

2、倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵. 如：；2和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系 在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：要點(diǎn)二：二倍角公式的逆用及變形1公式的逆用；2公式的變形；降冪公式：升冪公式：要點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等；2掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的

3、關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律(如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等)；3將公式和其它知識(shí)銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接.【典型例題】類型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）；（3）【思路點(diǎn)撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式【答案】（1）（2）（3）【解析】 （1）（2）（3）【總結(jié)升華】本題的解答沒有去就單個(gè)角求其函數(shù)值，而是將所給式子作為一個(gè)整體變形，逐步向二倍角公式的展開形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細(xì)體會(huì)本題中的解題思路舉一反三：【變式1】求值：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；

4、（2）原式=；（3）原式=類型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函數(shù)值例2 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值【思路點(diǎn)撥】解這類題型有兩種方法：方法一：適用，不斷地使用二倍角的正弦公式方法二：將正弦題目中的正弦形式全部轉(zhuǎn)化為余弦形式，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)【答案】【解析】方法一： 方法二：原式【總結(jié)升華】本題是二倍角公式應(yīng)用的經(jīng)典試題方法一和方法二通過觀察角度間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得問題出現(xiàn)連用二倍角的正弦公式的形式在此過程中還應(yīng)該看到化簡(jiǎn)以后的分子分母中的角是互余（補(bǔ)）的關(guān)系，從而使最終的結(jié)果為實(shí)數(shù)利用上

5、述思想，我們還可以把問題推廣到一般的情形：一般地，若，則舉一反三：【變式1】求值：sin10°cos40°sin70°【解析】原式類型三：利用二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例3化簡(jiǎn)下列各式：(1)【思路點(diǎn)撥】（1）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，再進(jìn)行化簡(jiǎn)（2）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)【總結(jié)升華】余弦的二倍角公式的變形形式：經(jīng)常起到消除式子中1的作用由于，可進(jìn)行無理式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算例4化簡(jiǎn)：【解析】 原式 【總結(jié)升華】 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)要從減少角的種類、函數(shù)的種類入手通過切化弦

6、、弦化切、異化同、高次降冪等手段，使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡(jiǎn)形式舉一反三：【變式1】（1）的化簡(jiǎn)結(jié)果是 （2）已知，且( ，)，則 的值為 【答案】（1）（2）【解析】（1）原式= = = =（2）因?yàn)?，? ，)，所以，原式=類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應(yīng)用例5求值：（1）已知，求（2）已知，求【思路點(diǎn)撥】觀察所求的角與已知角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關(guān)系，所以用二倍角公式去求解【答案】（1）（2）【解析】（1） = = =（2）= = =【總結(jié)升華】給值求值是求值問題中常見的題型，求解的要點(diǎn)是利用公式溝通已知條件和所求式子之間的聯(lián)系，考查公式運(yùn)用和變換的技巧舉一反三：【變式1】

7、 已知，且，求，的值【答案】 【解析】由，得，即，由，得，即整理得解得或（舍去）【總結(jié)升華】解題過程中注意角的范圍的判定 【變式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值【解析】 （1），解得（2） 【總結(jié)升華】 第（1）問中利用了方程的思想求tan的值；對(duì)于第（2）問的題型，一般需要將分式轉(zhuǎn)化為含tan的式子求解，或者通過消元轉(zhuǎn)化的方法求解類型五：二倍角公式的綜合應(yīng)用 例6已知，求：（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合；（2）f (x)的單調(diào)區(qū)間【思路點(diǎn)撥】用降冪公式把原式降冪，然后用輔助角公式化成的形式 【答案】（1） （2）單增區(qū)間 單減區(qū)間 【解析】（1）原式= = =

8、則當(dāng)即時(shí)， （2）f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，則 f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，則 【總結(jié)升華】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦公式及的性質(zhì)等知識(shí)要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應(yīng)用：（1）縮角升冪公式，（2）擴(kuò)角降冪公式，例7 已知向量，求函數(shù)（1）求的最大值及相應(yīng)的x值；（2）若，求的值【思路點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，從而建立函數(shù)f(x)關(guān)系式【答案】（1） （2）【解析】 （1）因?yàn)?，所以因此，?dāng)，即時(shí)，取得最大值（2）由及得，兩邊平方得，即因此，舉一反三：【變式1】已知函數(shù). （）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（）求函數(shù)在上的最小值. 【答案】（），（）【解析】（） 所以函數(shù)的最小正周期為. 由，則.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，. ()由，得. 則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值. 【變式2】已知向量m=（sinA，cosA），m·