全等三角形輔助線系列之一---角平分線類輔助線作法大全

1、全等三角形輔助線系列之一與角平分線有關(guān)的輔助線作法大全一、角平分線類輔助線作法角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等對于有角平分線的輔助線的作法，一般有以下四種1、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題；2、截取構(gòu)全等利用對稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；3、延長垂線段題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；4、做平行線：以角分線上一點做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三

2、角形或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件典型例題精講【例1】 如圖所示，BN平分ABC，P為BN上的一點，并且PDBC于D，求證：【解析】過點P作PEAB于點EPEAB，PDBC，BN平分ABC，在RtPBE和RtPBC中，RtPBERtPBC（HL），PEAB，PDBC，在PAE和RtPCD中，PAERtPCD，【答案】見解析【例2】 如圖，已知：，ADBC，P是AB的中點，PD平分ADC，求證：CP平分DCB【解析】因為已

3、知PD平分ADC，所以我們過P點作PECD，垂足為E，則，由P是AB的中點，得，即CP平分DCB【答案】作PECD，垂足為E，PD平分ADC，又，點P在DCB的平分線上，CP平分DCB【例3】 已知：，OM是AOB的平分線，將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D（1）PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系是_（2）請你證明（1）得出的結(jié)論【解析】（1）（2）過P分別作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分線，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，【答案】見解析【例4】 如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形請你參考這個作

4、全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F，請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）；（2）如圖，在ABC中，請問，在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由【解析】如圖所示；（1）（2）如圖，過點F作FGAB于G，作FHBC于H，作FKAC于K，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，在四邊形BGFH中，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，在AFC中，在EFG和DFH中，EFGDFH，【答案】見解析【例5】 已知，AC平分MAN，點B、D分別在AN、AM上（1）如圖

5、1，若，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由【解析】（1）得到后再可以證得，從而，證得結(jié)論；（2）過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得CEDCFB后即可得到，從而證得結(jié)論【答案】（1）關(guān)系是：證明：AC平分MAN，又，則（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）；（2）仍成立證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、FAC平分MAN（角平分線上點到角兩邊距離相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，【例6】 如圖，在ABC中，AD平分BAC

6、，求證：【解析】在AB上截取點E，使得AD平分BAC，ADEADC（SAS），【答案】見解析【例7】 如圖，中，平分交于點求證：【解析】在上截取點使，連結(jié)平分，在與中， ， ，又，【答案】見解析【例8】 已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【解析】在上截取一點使得，易證，在根據(jù)推出，再證明即可【答案】【例9】 如圖：已知AD為ABC的中線，且，求證：【解析】在DA上截取，連接NE，NF，則，在DBE和DNE中：DBEDNE（SAS），同理可得：在EFN中，（三角形兩邊之和大于第三邊）【答案】見解析【例10】 已知：在四邊形ABCD中，且，BD平分ABC，求證：【解析】

7、在BC上截取，BD平分ABC，在BAD和BED中，BADBED，CDE是等邊三角形，【答案】見解析【例11】 觀察、猜想、探究：在ABC中，（1）如圖，當，AD為BAC的角平分線時，求證：；（2）如圖，當，AD為BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；（3）如圖，當AD為ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明【解析】（1）過D作DEAB，交AB于點E，理由角平分線性質(zhì)得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED與直角三角形ACD全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得到，由，利

8、用等量代換及外角性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊得到，由，等量代換即可得證；（2），理由為：在AB上截取，如圖2所示，由角平分線定義得到一對角相等，再由，利用SAS得到三角形AGD與三角形ACD全等，接下來同（1）即可得證；（3），理由為：在AF上截取，如圖3所示，同（2）即可得證【答案】（1）過D作DEAB，交AB于點E，如圖1所示，AD為BAC的平分線，DCAC，DEAB，在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），又，則；（2），理由為：在AB上截取，如圖2所示，AD為BAC的平分線，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），又，則；（3），理由為：在AF上截取，如圖3

9、所示，AD為FAC的平分線，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），即，又，則【例12】 如圖所示，在ABC中，AD是BAC的平分線，BEAD于F求證：【解析】延長BE交AC于點F則AD為BAC的對稱軸，BEAD于F，點B和點F關(guān)于AD對稱，【答案】見解析【例13】 如圖，已知：ABC中AD垂直于C的平分線于D，DEBC交AB于E求證：【解析】由AD垂直于C的平分線于D，可以想到等腰三角形中的三線合一，于是延長AD交BC與點F，得D是AF的中點，又因為DEBC，由三角形中位線定理得【答案】延長AD交BC與點F，CD平分ACF，又ADCD，ADCFDC，又DEBC，【例14】 已知：如圖，在

10、ABC中，BEAE求證：【解析】延長BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，【答案】見解析【例15】 如圖，已知，BD為ABC的平分線，CEBE，求證：【解析】延長CE，交BA的延長線于點FBD為ABC的平分線，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，【答案】見解析課后復習【作業(yè)1】 如圖所示，在ABC中，BP、CP分別是ABC的外角的平分線，求證：點P在A的平分線上 【解析】過點P作PEAB于點E，PGAC于點G，PFBC于點F因為P在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以同理可證所以，又PEAB，PGAC，所以P在A的平分線上，【答案】見解析 【作業(yè)2】 已知：如圖，求證：DCAC【解析】在AB上取中點E，連接DE，則，DEAB，又，ADEADC（SAS），即DCAC【答案】見解析【作業(yè)3】 已知等腰，的平分線交于，則【解析】如圖，在上截取，連接，過作，交于，于是，又，故顯然是