概率論第四章 習(xí)題解答

1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征I教學(xué)基本要求1、理解隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計算，會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；2、掌握兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差；3、了解切比雪夫不等式及應(yīng)用；4、掌握協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念與性質(zhì)，了解矩和協(xié)方差矩陣的概念；5、了解伯努利大數(shù)定理、切比雪夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定理；6、了解林德伯格列維中心極限定理、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，掌握它們在實際問題中的應(yīng)用.II習(xí)題解答A組1、離散型隨機變量的概率分布為-2020.400.300.30求、？解：；.2、某產(chǎn)品表面瑕疵點數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，規(guī)定若瑕疵點

2、數(shù)不超過1個為一等品，每個價值10元，多于4個為廢品，不值錢，其它情況為二等品，每個價值8元.求產(chǎn)品的平均價值？解：設(shè)為產(chǎn)品價格，則、.通過查泊松分布表可知其相應(yīng)概率分布為08100.00140.80880.1898則(元).3、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為.求？解：由分布函數(shù)知的密度函數(shù)為則.4、設(shè)隨機變量服從幾何分布，即，其中是常數(shù).求？解：由級數(shù)，知.5、若隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，即求、？解：；.6、某工程隊完成某項工程的時間(單位:月)服從下述分布101112130.40.30.20.1(1)求該工程隊完成此項工程的平均時間；(2)設(shè)該工程隊獲利(萬元).求平均利潤？解：(1)(月)；

3、(2)(萬元).7、若隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，即求、？解：；.8、若隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即求、？解：；.9、離散型隨機變量的概率分布為0263/124/125/12求、？解：；.10、設(shè)，求？解：令，由偶函數(shù)性質(zhì)有.11、設(shè)某商品需求量，銷售商進貨量在(10，30)之間，是一個整數(shù).每銷售一件商品獲利500(元)，若供小于求，每件產(chǎn)品虧損100(元).若供大于求，則從外地調(diào)運，每件商品可獲利300(元).為使利潤期望值不少于9280(元)，進貨量最少應(yīng)為多少?解：按題意利潤與、的關(guān)系為則利潤平均值為由題意知解得，則最少進貨量為21.12、某保險公司規(guī)定，如果一年內(nèi)顧客投保事件發(fā)

4、生，則賠償顧客元.以往資料表明事件發(fā)生的概率為.為使公司收益期望值為，則應(yīng)向顧客收取都少保費?解：設(shè)應(yīng)向顧客收取元保費，公司的收益為元.則按題意解得.13、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為.對進行獨立重復(fù)觀測4次，表示觀測值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望？解：顯然，其中是的概率，故所以則有.14、設(shè)隨機變量、相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布.求的數(shù)學(xué)期望？解：由題意知、的聯(lián)合密度函數(shù)為于是令、得.15、已知的分布如下，令，求？05101500.020.060.020.1050.040.150.200.10100.010.150.140.01解：由題設(shè)可得的分布為0510150.020.250.520.21.16

5、、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為求、？解：；.17、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為求？解：.18、甲乙二人相約在之間會面，設(shè)、分別表示甲乙到達時間，且相互獨立.已知、的密度函數(shù)為、求先到達者需要等待時間的數(shù)學(xué)期望？解：等待時間可以表示為，由于、的聯(lián)合密度函數(shù)為.19、設(shè)二維隨機變量在曲線、所圍區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求數(shù)學(xué)期望、？解：設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，由密度函數(shù)性質(zhì)解出.下面分別求出邊沿密度函數(shù)當(dāng)時，有，故此當(dāng)時，有當(dāng)時，有，所以從而；.20、離散型隨機變量的概率分布為-2020.400.300.30求？解：由題意易知、，所以.21、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為.求？解：由題意易知的密度函數(shù)為，且，則.22、若隨機變量服

6、從參數(shù)為的泊松分布，求？解：由題意易知、，故.23、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為求？解：由題意易知，故.24、設(shè)二維隨機變量在曲線、所圍區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求方差、？解：由題意易知、；.25、設(shè)10只同種元件中由2只是壞的，裝配儀器時，從中任取1只，如果是不合格品，則扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品數(shù)的方差？解：設(shè)表示取出合格品前已取出次品的數(shù)目，則0128/1016/902/90故、所以.26、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為.求、？解：；.27、設(shè)為隨機變量，證明:對任意常數(shù)，有，當(dāng)時等號成立.證明：由于非負，從而有，且當(dāng)時.28、設(shè)服從(-2，2)上的均勻分布，定義、如下、求？解：先求的分布所以，

7、從而.29、已知、.請估計概率？解：由切比雪夫不等式有.30、設(shè)、，利用由切比雪夫不等式估計概率的上限？解：因為、，所以.31、設(shè)、，求？解：.32、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為求？解：由題意易知、，故.33、設(shè)二維隨機變量在曲線、所圍區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)？解：由題意易知、所以；.34、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布為-10100.070.180.15100.080.320.20求？解：先求、的分布、所以、，由此得.35、隨機變量的密度函數(shù)為求？解：當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，故、由于，即與不獨立.所以.36、將1枚硬幣拋次，以、分別表示正面向上與反面向上的次數(shù)，求、？解：由于，即，于是；又因、，所

8、以，故.37、設(shè)與獨立，且都服從參數(shù)為的泊松分布，令、求與的相關(guān)系數(shù)？解：由于所以由此得.38、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為判斷與之間的相關(guān)性與獨立性.解：由于、，則故與之間不相關(guān)；又因當(dāng)時，有，即同理可以求出由于，故與之間不獨立.39、設(shè)為區(qū)間上一定點，隨機變量，是到的距離.問為何值時與是不相關(guān)？解：由題設(shè)知、，所以令，可得方程在內(nèi)解得，即時，與不相關(guān).40、設(shè)計算器進行加法計算時，所有舍入誤差相互獨立且在上服從均勻分布.(1) 將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少；(2) 最多可以有幾個數(shù)相加，其誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90?解：設(shè)第個數(shù)的舍入誤差為

9、，故、記(1) 由林德伯格列維中心極限定理有；(2)由林德伯格列維中心極限定理有即，由于，則因此，再由為整數(shù)得滿足題意的個數(shù)為443.41、一批木材中有80%的長度不小于3m，從中任取100根，求其中至少有30根長度短于3m的概率？解：以表示100根木材中長度短于3m的數(shù)目，則，于是，.由于較大，則由中心極限定理，近似有，由此有.42、某商店出售價格分別為1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3種蛋糕，每種蛋糕被購買的概率分別為0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1)求這天收入為400(元)的概率；(2)求這天售出價格為1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1)設(shè)第只蛋糕價格為

10、.則的分布為11.21.50.30.20.5于是可得、令表示總收入，則由林德伯格列維中心極限定理有；(2) 記為300只蛋糕中售價為1.2(元)的蛋糕數(shù)目，則，于是、，由中心極限定理，近似有，由此有.43、進行獨立重復(fù)試驗，每次試驗中事件發(fā)生的概率為0.25.問能以95%的把握保證1000次試驗中事件發(fā)生的頻率與概率相差多少?此時發(fā)生的次數(shù)在什么范圍內(nèi)?解：設(shè)為1000次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，則，由二項分布的性質(zhì)知、，而事件發(fā)生的頻率為.根據(jù)題意，可得如下不等式即，由棣莫弗拉普拉斯定理有即解得，這表明1000次試驗中事件發(fā)生的頻率與概率相差不超過0.026，相應(yīng)的有1000次試驗中事件發(fā)生的次

11、數(shù)在224到276之間.44、某車間有同型號車床150臺，在1小時內(nèi)每臺車床約有60%的時間在工作.假定各車床工作相互獨立，工作時每臺車床要消耗電能15kw.問至少要多少電能，才可以有99.5%的可能性保證此車間正常工作？解：以表示同時工作的車床數(shù)，則，于是、，由題意知應(yīng)使得下式成立由中心極限定理，近似有，故有查標準正態(tài)分布表得，即，取整得.故要保證車間有99.5%的可能性正常工作，需供電能.B組1、將只球(號)隨機的裝入只盒子(號)，一只盒子裝一只球.若一只球裝入的盒子與球同號，稱為一個配對.記為配對數(shù)，求？解：引入隨機變量，表示第號配對，表示第號不配對，則，且即于是因為之間不獨立，所以下面

12、考慮的分布，由于的取值只能是0、1，且所以，因此.2、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，其數(shù)學(xué)期望存在，證明.證明：由于改變積分次序有同理有.3、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為求？解：由上一題結(jié)論有.4、設(shè)連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)為.若對任意常數(shù)有且存在.證明.證明：令則有由密度函數(shù)性質(zhì)有令，有故所以.5、證明事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差不超過0.25.證明：設(shè)表示事件在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則，其中是事件發(fā)生的概率，則由均值不等式得，當(dāng)時，有最大值0.25.6、設(shè)隨機變量服從幾何分布，即，其中是常數(shù).求？解：由級數(shù)，知又將的展開式兩端求導(dǎo)得.7、一只昆蟲所生蟲卵服從參數(shù)為的泊松分布，而每個蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率