函數(shù)定義域值域求法(全十一種)

1、高中函數(shù)定義域和值域的求法總結(jié)一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式 或不等式組，解此不等式(或組)即得原函數(shù)的定義域。求函數(shù)y,x2 一 2x -15|x 3| -8的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足x2-2x-15X0Jx+3 |-8式0由解得 x乞-3或x _5。由解得 x=5或x = _11和求交集得x 3且x = -11或x5。故所求函數(shù)的定義域?yàn)?x | x _ -3且x = -11 x | x . 5。例2 求函數(shù)y = Jsinx十 1的定義域。*16 -x2解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足sinx Z0J6-x2 0由解得2

2、k-： _x _ 2k二，k三Z 由解得一4 : x : 4由和求公共部分，得-4 : x _ -二或0 ： x _ 二故函數(shù)的定義域?yàn)?4 -二(0,二評(píng)注：和怎樣求公共部分？你會(huì)嗎？二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個(gè)抽象函 數(shù)的定義域求另一個(gè)抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。(1) 已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。(2) 其解法是：已知f (x)的定義域是a, b求fg(x)的定義域是解ag(x)Mb , 即為所求的定義域。例3已知f(x)的定義域?yàn)?, 2,求f(x2 -1)的定義域。解：令 一2豈x2 -1豈2，得一1豈x2

3、豈3，即0豈x2豈3，因此0乞|x匚、3，從而-、3 _ x _ 3，故函數(shù)的定義域是x | -、3 _ x _ 3。(2)已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a, b,求f(x)定義域的方法是：由 axb，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4已知f(2x - 1)的定義域?yàn)? , 2,求f(x)的定義域。解：因?yàn)?1 _ x _2,2 _ 2x _ 4 ,3 _ 2x 1 _ 5。即函數(shù)f(x)的定義域是x 13 x - 5。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對(duì)于已知定義域?yàn)镽,求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒

4、成立問題來解決。例5 已知函數(shù)y二.mx2 -6mx m 8的定義域?yàn)?R求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域?yàn)?R,表明mx2-6mx 8 m 一 0，使一切x R都成立，由x2項(xiàng)的系數(shù)是m,所以應(yīng)分 m=0或m=0進(jìn)行討論。 解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?R;當(dāng)m =0時(shí)，mx -6mx m8_0是二次不等式，其對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件 是m 0 2Q=(-6m) 4m(m+8)蘭0=0 ： m _ 1 綜上可知0乞m豈1。評(píng)注：不少學(xué)生容易忽略 m=0的情況，希望通過此例解決問題。kx + 7例6已知函數(shù)f(x) 2的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。kx2 +4kx +3解：要使

5、函數(shù)有意義，則必須kx2 4kx 3 0恒成立，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?R,即kx2 4kx 3=0無實(shí)數(shù)3 當(dāng) & 0時(shí)，丄=16k2 -4 3k :：: 0恒成立，解得0 ： k ：4 當(dāng)k=0時(shí)，方程左邊=3工0恒成立。3綜上k的取值范圍是0乞k ：。4四、實(shí)際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實(shí)際意義對(duì)自變量的限制，這點(diǎn)要 加倍注意，并形成意識(shí)。例7將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。1解：設(shè)矩形一邊為 x，則另一邊長(zhǎng)為 -(a-2x)于是可得矩形面積。21ax2-x22*1=xax。2由問題的實(shí)際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿

6、足x 0；0c a二 0 :：x ：21 a故所求函數(shù)的解析式為 y = -x2ax，定義域?yàn)?0,)。2 22x,例8用長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長(zhǎng)為 求此框架圍成的面積 y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。B解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積，如圖。L - 2x -二 x2故 y =2x L -2xX22二 X2cCl _AR _CD因?yàn)?CD=AB=2x，所以 CD 二-x ,所以 AD 二 L2-(2)x2Lx2根據(jù)實(shí)際問題的意義知2x 0L 2x nx 20 : x :l故函數(shù)的解析式為y = -(2)x2 Lx，定義域

7、(0,)。2兀+ 2五、參數(shù)型對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時(shí)，必須對(duì)分母分類討論。例9已知f(x)的定義域?yàn)?, 1,求函數(shù)F(x) =f(x - a) f(x -a)的定義域。解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?, 1,即0Wx蘭1。故函數(shù)F(x)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M 的解集：0Ex+aE1 由一a 蘭xE1a丿，即丿0 蘭xaE1a 蘭xE1+a即兩個(gè)區(qū)間a, 1-a與a, 1+a的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知1(1 )當(dāng)a空0時(shí)，F(xiàn) (x)的定義域?yàn)閤 | -a乞x叮 a；1(2) 當(dāng)0a 時(shí)，F(xiàn) (x)的定義域?yàn)閤|ax乞1 -a；11(3) 當(dāng)a或a時(shí)，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時(shí)F (

8、x)不能構(gòu)成函數(shù)。22六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域 隱含在問題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。例10求函數(shù)y = log 2(-x2 2x 3)的單調(diào)區(qū)間。解：由-x2 2x 3 0，即x2 -2x - 3 ： 0，解得-1 ： x : 3。即函數(shù)y的定義域?yàn)?(一 1, 3)。函數(shù) y =log2(-x2 2x - 3)是由函數(shù) y = log21, t - -x2 2x 3 復(fù)合而成的。2 2-x2 2x-(x -1)2 4，對(duì)稱軸 x=1，由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知t在區(qū)間(-：上是增

9、函數(shù)；在區(qū)間1, :)上是減函數(shù)，而 y = log21在其定義域上單調(diào)增；(-1,3) (-:：,1 = (-1,1,(-1,3) 1, *) =1,3),所以函數(shù) y =log2(-x2 2x 3)在區(qū) 間(-1,1上是增函數(shù)，在區(qū)間1,3)上是減函數(shù)。函數(shù)值域求法十一種1.直接觀察法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。_1例1.求函數(shù)數(shù)二；的值域。解：/ X2=0 X顯然函數(shù)的值域是：(-；0)(0,；) 例2.求函數(shù)y X的值域。解：/ X _0-X _ 0,3 - x _ 3故函數(shù)的值域是：-匚3】2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例3.求函數(shù)y，2x5,

10、x. 一1,2】的值域。2解:將函數(shù)配方得：y=(X-1)4/ X -1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)X=1時(shí)，仏=4 ,當(dāng)X = 1時(shí)，ymX =8 故函數(shù)的值域是：4 , 83. 判別式法1 X X2y =例4.求函數(shù) 1 X2的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于X的一元二次方程(y -1)x2 (y -1)x =0(1)當(dāng) y 口 時(shí)，x R.: =(-1)2 4(y 1)(y -1) _013解得：戶込1 31 = .1 (2)當(dāng) y=1 時(shí)，x=0，而 2 2；1 3故函數(shù)的值域?yàn)?2例5.求函數(shù)y =xX(2 -x)的值域。2 2解：兩邊平方整理得：2x -2(y )x y =0(1)/ x

11、R.江=4(y1)2 -8y _0解得：.2y2但此時(shí)的函數(shù)的定義域由x(2-x)_0 ,得o沙注由0 ,僅保證關(guān)于x的方程：2x2 -2(y 1)x y2 =0在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根， 而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0,2上，即不能確保方程(1)有實(shí)根，由-o求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)?2,2。可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。/ 0空x空2y =x ：Jx（2x） _0 ymin =0,y二12代入方程解得:Xi2 、. 2 24、2、20,22 +V2_24T2即當(dāng)xi =2 時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋骸?,i、2】注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)

12、數(shù)集 時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分易9除。4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函 數(shù)的值域。3x十4例6.求函數(shù)5x 6值域。解:由原函數(shù)式可得:5y -3_46y3yx 7 則其反函數(shù)為：5x -3 ,其定義域?yàn)椋?(亠3 ;故所求函數(shù)的值域?yàn)?，55. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。ex -1例7.求函數(shù)廠的值域。ex=G解:由原函數(shù)式可得：廠1/ex 0y -1解得：-仁:y故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1）cos x例8.求函數(shù)sn二的值域。解：由原函數(shù)式可得：ysinxcosx=3y

13、,可化為:,y21 sinx（x ：） =3ysinx（x：） 一3y即_y2 1x 三 Rsin x（x 】；）三-1,11蘭工蘭1即y2 1 .2 .2解得：一4_V2故函數(shù)的值域?yàn)镴T6. 函數(shù)單調(diào)性法x -5例9.求函數(shù)y沁心 他彳宀一陀 沁豈10）的值域。 解：令屮沁胡2 =log3 x -1 1bg 3 2 _1 二_ 3 8=25 log3 9 =33,H,33 1則y1,y2在2，10上都是增函數(shù) 所以y沖y2在2，10上是增函數(shù)當(dāng) x=2時(shí)，ymn =2”故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?8當(dāng) x=10時(shí)，ymax例10.求函數(shù)yx 1 -X-1的值域。2y =1=解:原函數(shù)可化為：T

14、.X -1令y1 -x 1,y x -1，顯然y1,y2在口,；上為無上界的增函數(shù) 所以y*1，y2在口；上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，八yi y有最小值、2 ,原函數(shù)有最大值.2 i顯然y 0,故原函數(shù)的值域?yàn)?0, 27.換元法通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式 含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之 一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11.求函數(shù)y =x x 1的值域。解：令 x _1 二 t， (t 一0)則x =t2 1y =t2 t 1 =(t -)2324又t _0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng) t =0 時(shí)，y mn =1當(dāng)t

15、_； o時(shí)，y=故函數(shù)的值域?yàn)榭?，?例12.求函數(shù)X 2 /-(X 1)2的值域。 解：因 1 (x 1)2 -02即(x 1) 1故可令x 1 二cos :,；三0,二. y 二cos“ 】1.1 -cos2 - -sin “ 】cos“ 】1-2sin(0 _ - 2 sin( ) 1 乞1、2故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?,1，2x3 -x例13.求函數(shù)乙4 2x2 1的值域。1 2x1 -x2y =- y.x解:原函數(shù)可變形為：2 1 x2 1 x22xjn 2p X可令x =tg :，貝眉 1 x2，1 x21.y sin 2l：i ：cos2l ：=2k 二 二y max當(dāng)T_8時(shí)， 口

16、 kn 兀當(dāng)T 8時(shí)， 而此時(shí)tan 有意義。y nil-sin 4!：:;-4_ 144故所求函數(shù)的值域?yàn)镮L 44例14.求函數(shù)y肖1 x 1)o 解：y =sn X 1Xcs x 1) =sin x cosx sin x cosx 1X壬X +1)5122的值域。sin x cos x 二1(t21) 令sin x+cosx=t，貝卩21 212y(t2 -1) t 1 (t 1)22 2由 t =sin x cosx = . 2 sin(x 亠/ 4)x三且 IL 1222 m .2可得：2二223 ,近故所求函數(shù)的值域?yàn)?.當(dāng)t2時(shí)，丫館2，當(dāng)2時(shí)，-+ ,- +3vtan2 xco

17、t2 x +2=5當(dāng)且僅當(dāng)tanx二cotx_兀即當(dāng)x 時(shí)(kz),等號(hào)成立 故原函數(shù)的值域?yàn)椋骸?；)例20.求函數(shù)y=2勺xsn 2x的值域。 解. y =4sin xsn xcs x= 4sin2 x cosxy =16sin4 x cos2 x= 8sin2xsin2x(2 -2sin2x) 解：定義域?yàn)?221 -3x x _ 1 _y 由冇得_2y 31 -y 1x =故 2y 32或3十3解得得二或或二J故函數(shù)的值域?yàn)?22，1 -y 1x =2y 3211.多種方法綜合運(yùn)用例22.求函數(shù)x 3的值域。解:令2(0)，貝yx+3=t2 +1t 1”1y 二7 t21 t . 12t ,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即x = -1時(shí)取等號(hào)，(1)當(dāng)t 0時(shí)， 所以0 ：八2(2)當(dāng) t=0 時(shí)，y=0綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?注：先換元，后用不等式法1 +x 2x2 +x +x4例23.求函數(shù)數(shù)一 1+2x2+x4 的值域。1 2x2 +x4x +x3y = +解： 1 2x2 x41 2