談變形技巧在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用

1、談變形技巧在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用 摘要:變形是數(shù)學(xué)解題活動中最基本而又常用的方法，它既靈活又多變，一個公式， 一個法則，它的表述形式是多種多樣的。在數(shù)學(xué)解題中，為了完成論證，求值、化簡等的任務(wù)，常要對某些式子進(jìn)行恒等變形，但是恒等變形又無一定之規(guī)，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強(qiáng)。本文主要介紹了在初等數(shù)學(xué)中的" " ，" " ，三角函數(shù)，一元二次方程等的變形應(yīng)用。掌握好并靈活運用它，可以很快確定解題方向，減少解題的盲目性，提高解題效率。關(guān)鍵詞:初等數(shù)學(xué) ；變形&

2、#160;；技巧數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體, 各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透, 從而構(gòu)成了一個互相交錯的立體空間. 所以, 為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析解決實際問題的能力, 除了對各單元知識, 及一些開放探索性問題, 實踐應(yīng)用性問題等綜合內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)外, 在最后階段的復(fù)習(xí)中, 應(yīng)對常用的數(shù)學(xué)方法和重要的數(shù)學(xué)思想引起重視, 并有意識地運用一些數(shù)學(xué)思想方法去解決問題, 這樣才能使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高到一個新的層次、新的高度.常用的數(shù)學(xué)方

3、法, 是針對各種不同的數(shù)學(xué)知識而定的一種策略. 不同的問題可以用不同的方法, 相同的問題也可以有各種不同的方法 ( 即所謂的一題多解 ). 各種數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)知識一樣, 是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中積累起來的寶貴精神財富, 并且是數(shù)學(xué)知識所不能替代的.在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本數(shù)學(xué)方法大致可以分為以下三類：?邏輯學(xué)中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則，又因運用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色。?數(shù)學(xué)中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法

4、、代入法、圖象法(也稱坐標(biāo)法。代數(shù)中常用圖象法，解析幾何中常用坐標(biāo)法)、向量法、比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小，這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法(這與邏輯學(xué)中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應(yīng)用也很廣泛。 數(shù)學(xué)中的特殊方法。例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補(bǔ)項法(含有添加輔助元素實現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時起著重要作用，不可等閑視之。而變形也是數(shù)學(xué)中的一種重要的方法之一。變形是數(shù)學(xué)解題活動中最基本而又常用的方法，它既靈活又多變，一個公式，

5、60;一個法則，它的表述形式是多種多樣的。例如勾股定理可表述為 ，亦可表述為 等。若問 ？，這顯然是一個不屑回答的問題，但若問1=？就成了最富靈活性的問題，例如 等?？梢?quot;變形"實在是一個內(nèi)涵十分豐富的概念，在某些著名數(shù)學(xué)問題的解決中，變形技巧的巧妙運用也是至關(guān)重要的一環(huán)。我們在數(shù)學(xué)解題中，為了完成論證，求值、化簡等的任務(wù)，常要對某些式子進(jìn)行恒等變形，但是恒等變形又無一定之規(guī)，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強(qiáng)。本文主要介紹" " ，" "&#

6、160;，三角函數(shù)，一元二次方程等的變形應(yīng)用，希望對這幾方面的變形應(yīng)用的介紹，對于其他的解題變形能起到拋磚引玉的功效。下面我們分別來談?wù)勥@幾種變形技巧的應(yīng)用。1.1 一元二次方程的變形技巧 對有些含有（或可轉(zhuǎn)化）一元二次方程的代數(shù)問題，如能對方程進(jìn)行適當(dāng)變形并施以代換，則常?？墒箚栴}化繁為簡。下面列舉例子說明。例 1  已知 是方程 的兩根，求 的值。解：因為 是方程 的根 。則 ，。又因為 是方程 的兩根， ，。分析：如果要求出 的值

7、，那么就很復(fù)雜，而且容易出錯，在這里通過變形的技巧先從結(jié)論出發(fā)，這樣可以提高解題的效率、節(jié)省時間。例 2 若 ， 是一元二次方程 的兩個根，求 的值。解：由題設(shè)得，及 ， 。分析：通過觀察要求的結(jié)論可知，只要對要求的結(jié)論作一下變形，則這道題目便可以輕易解決。不必求出 和 的值。例 3 設(shè)實數(shù) 分別滿足 ，并且 ，求 的值。解：由題設(shè)可得 。兩式相除，得 。由比例的基本性質(zhì)，得 ，整理得，· 分析：

8、通過仔細(xì)的觀察可知只要對已知條件 進(jìn)行變形，再利用比例的基本性質(zhì)即可解決這道題。· 總結(jié)：我們在解決一元二次方程的代數(shù)問題時，首先要認(rèn)真仔細(xì)地觀察題目的已知條件和所要求的式子，觀察它們之間有什么特點，然后再充分利用已知條件來解決所要求的問題。特別是要靈活應(yīng)用韋達(dá)定理：即如果 為方程 的兩個根，則 。在解這類題目時，可以從已知條件出發(fā)，也可以從結(jié)論入手。關(guān)鍵是要善于觀察所要求式子的特點。1.2 三角函數(shù)的變形技巧 · 三角函數(shù)是初等函數(shù)的重要組成部分，它與初等代數(shù)、初等幾何的關(guān)系十分密切。特別是三角函數(shù)的求值問題，而

9、三角函數(shù)求值的關(guān)鍵是合理地進(jìn)行三角恒等式的變形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函數(shù)名稱、三看結(jié)構(gòu)特征。除此之外，我們還常常應(yīng)用代數(shù)的技巧和構(gòu)造法，為三角恒等變形創(chuàng)造條件。· 例4 已知 ，求 的值。· 分析：除了這里的 外，還有以下等式也經(jīng)常用到： 靈活運用這些等式，可以使許多三角函數(shù)問題得到簡化。· 例 5 已知 ，求 的值。 · 分析：對于正切和角公式 可正用也可逆用。而 為變形形式。這里 是&#

10、160;公式的變形應(yīng)用。· 例 6 在 中，已知角 成等差數(shù)列，求 的值。· 解： 成等差數(shù)列， · 由兩角和的正切公式，得 · 分析：本例是正切公式變形的應(yīng)用。在歷年高考題中，曾多次出現(xiàn)兩角和與差的正切公式的變形應(yīng)用，讀者在學(xué)習(xí)中一定要總結(jié)、體會。 · 例 7 （ 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）試求 的值。· 講解：注意到 我們可以通過構(gòu)造對偶式，以減少三角變換的難度。再觀察所求三角函數(shù)式，不難發(fā)現(xiàn)它

11、與余弦定理非常相似，所以我們還可以通過構(gòu)造三角形，使問題得到整體的解決。 · 說明：這里通過構(gòu)造對偶式和三角形來求三角函數(shù)式的值是一種較高的變形技巧。· 總結(jié)：三角函數(shù)式的恒等變形是學(xué)習(xí)三角函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識的重要知識。它包括化簡三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值，證明三角恒等式等。三角函數(shù)式恒等變形的理論依據(jù)是代數(shù)式恒等變形的一般方法和法則，與三角函數(shù)式的變形公式。變形中要注意三角函數(shù)定義域和值域的要求，以及符號的變化和選擇。1.3  "0"的變形技巧 恩格斯在自然辨證法一書中指出："零不只是一個非常確定的數(shù)

12、，而且它本身比其他一切被要所限定的數(shù)都更重要，事實上，零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容 零乘以任何一個數(shù),都使這個數(shù)變?yōu)榱?零除以任何一個不等于零的數(shù), 都等于零, "由于零具備許多特殊的性質(zhì),因此,在解題活動中我們?nèi)裟軐@些特性加以注意,對于解題的順利進(jìn)行是大有幫助的,下面我們舉例幾個"0"的特性在解題中的應(yīng)用。例 8  若 ，求證：。證明：因為  分析：通過觀察可發(fā)現(xiàn) 可以變形為 ，即式子 中加了 。則再利用不等式的性質(zhì)可方便解決這道

13、題。例9 在等差數(shù)列 和等比數(shù)列 中， 分析：本題主要在 變形，即分子上加 ，再利用不等式和等差數(shù)列的有關(guān)知識去解決即可。例 10 在數(shù)列 中， 求： 通項 ； 前 項的和 。解： 令 ， 為 的前 項和，則 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列。  分析：本題主要應(yīng)用了 然后再利用等差數(shù)列的知識便可解決這道題目?？偨Y(jié)："0"

14、;是一個很有用的數(shù)字，在數(shù)學(xué)解題中若能靈活應(yīng)用它，則會幫助我們順利地解題。如果有些題目可以借助"0"來解決，我們應(yīng)該充分利用"0"的有關(guān)特性去解決。這樣可以很快確定解題方向，提高解題效率。1.4  "1"的變形技巧 眾所周知" "的變形表述形式是十分豐富的，在數(shù)學(xué)問題的求解活動中，如果我們善于捕捉" "，恰當(dāng)?shù)赜?quot; "來解決數(shù)學(xué)問題，會使問題的解決顯得十分的簡潔明了。下面我們來看它的應(yīng)用。例 11 

15、;化簡 。 說明：本題充分利用 使問題巧妙解決。本題也可以用三角函數(shù)的知識來解答，但是比較麻煩。例 12  若分析：由均值不等式 有                      式左邊是 個正數(shù)之積，右邊是 的 次乘方，而求證式左邊是 個正數(shù)的積，但任何數(shù)乘以 

16、其值不變，因此，我們可以在求證式的左邊乘以 個 ，將其視為 正數(shù)之積。 說明：這里的 有 個例 13  在等差數(shù)列 中， ，公差 ，設(shè) ，則 。  分析：這里巧妙的運用 使問題得以解決。即 而這里的 。例 14  設(shè) 求證： 。解： 若 ， ， 中有兩個或三個為負(fù)，不妨設(shè) , ,則 ,即&

17、#160;矛盾。因而 ， ， 中至多有一個為負(fù)。當(dāng) ， ， 中只有一個為負(fù)時，不等式顯然成立。當(dāng) ， ， 均為非負(fù)時 同理  ， 故分析：這道題如果不認(rèn)真去考慮，那么將很容易遺漏 和 這兩種情況。即要討論 ， ， 這三個數(shù)的正負(fù)情況。而第三種情況用到了 和 的變形技巧，即 用到了 的變形技巧，而 用到了 的變形技巧。然后再利用不等式的性質(zhì)便可解決這道題?？偨Y(jié)

18、：通過以上的例子可以看出，如果可以借助"1"來解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，則效率非常高。因為"1"的變形是多種多樣的。對不同的題目，"1"的變形是不同的。有些題目若能利用"1"來求解，則我們應(yīng)該靈活運用"1"去解決。我們在解數(shù)學(xué)題的過程中難免會遇到這樣或那樣的問題，那么我們應(yīng)該怎么樣去解決才使問題變得簡單易懂呢？ 從波利亞的"怎樣解題"表中可知數(shù)學(xué)解題一般有四個步驟：第一、弄清問題。即要知道未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？然后擬定計劃。第二、找出已知數(shù)和未知數(shù)之間