重慶理工大學(xué)高數(shù)C2習(xí)題冊答案

1、習(xí)題一定積分的概念與性質(zhì)，微積分的基本公式一、單項(xiàng)選擇題1、D 2、B 3、C 4、C *5、D 二、填空題102 3 4678 > 三、求解題1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）解： （2）解：2求下列極限： *(1) *(2)解： 解：故極限不存在。3 證明：=24解：，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在點(diǎn)處取得極小值=.習(xí)題二定積分的換元積分法，分部積分法一、計(jì)算題1計(jì)算下列定積分(1) (2)解：原式= 解：原式=(3) (4)解：原式 解：原式(5) (6)解：令 解：原式原式(7) (8)解：原式 解：原式 故 2 解：令，則令，則二、證明題1證明：令，則2證明

2、：令，則3證明：令，則4證明：，令，則 又是奇函數(shù)即是偶函數(shù).習(xí)題三廣義積分，定積分的幾何應(yīng)用一、選擇題1. B 2. C 3. D 二、填空題1，>1 ,；，<1，2.，.三、計(jì)算題1判斷下列反常積分是否收斂，若收斂計(jì)算其值(1) (2)解：原式 解：原式(3) (4) 解：原式 解：原式2解：令，則為駐點(diǎn)，且時，；時，所以時，取得最小值。3. 解：=4解：5解：曲線在點(diǎn)處的切線為，則過原點(diǎn)的切線為，即故6解：7解：8解：習(xí)題四定積分及其應(yīng)用總習(xí)題一、填空題12 3 4 56 708*二、計(jì)算題1解：方程兩邊對求導(dǎo)，得故，代入原方程有即那么2解：3解：，令，則故4*解：令，則5.

3、 解：三、證明題1證明：令，則2證明：令，則令，則3證法一：對右邊，由定積分的分部積分公式：證法二：交換二次積分的順序：4證明：，其中，（積分中值定理）又因?yàn)椋磫握{(diào)遞減，故，則，那么在(0,a)內(nèi)單調(diào)減少。習(xí)題五微分方程的基本概念，一階微分方程一、單項(xiàng)選擇題1 C 2 C 3 D 4D 二、填空題1 導(dǎo)數(shù)或微分 ， 常。 2 3。 3 階 。4 初始 。5。*6。三、計(jì)算題1求下列微分方程的通解：（1） （2）解： 解：（3）（4）解： 解：令，則即故通解為（5） （6）解： 解：令，則2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）解：，又，則，故特解為（2）解：，則，又，則，故特解為（3）

4、解：，則，故，又，則，特解為3解：設(shè)所求曲線方程為，那么，且，由得，即又時，故，所以4.設(shè)可微且滿足關(guān)系式，求.解：方程兩邊同時求導(dǎo)，得，解之，又，即故，那么習(xí)題六可降階的二階微分方程，二階常系數(shù)線性微分方程一、選擇題1 A 2 D 二、填空題1。2。3。 4 5二、求解題1求微分方程的通解。(1)(2) 解： 解：令，則，即2 求下列方程滿足條件的特解(1)解：，又故，那么(2)，解法一：所給微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根，由于不是特征方程的根，故設(shè)特解為，代入原非齊次方程得，于是原非齊次方程的通解為，又，則原非齊次方程的特解為解法二：令，則，故，又，那么，所以，又，則，特解為，

5、可化簡為3求下列微分方程的通解：(1) (2)解：所給齊次方程的特征方程為 解：所給齊次方程的特征方程為，特征根，特征根于是通解為 于是通解為(3) (4)*解：所給齊次方程的特征方程為 解：所給齊次方程的特征方程為，特征根，特征根于是通解為 于是通解為(5) (6)解：所給微分方程對應(yīng)的齊次方程 解：所給微分方程對應(yīng)的齊次方程的的特征方程為， 特征方程為， 特征根 特征根于是對應(yīng)的齊次方程通解為 于是對應(yīng)的齊次方程通解為由于不是特征根， 由于不是特征根，故設(shè)特解為， 故設(shè)特解為代入原非齊次方程得 代入原非齊次方程得于是原非齊次方程的通解為 于是原非齊次方程的通解為(7) (8)解：所給微分方

6、程對應(yīng)的齊次方程 解：所給微分方程對應(yīng)的齊次方程的的特征方程為， 特征方程為， 特征根 特征根于是對應(yīng)的齊次方程通解為 于是對應(yīng)的齊次方程通解為由于是二重特征根， 由于不是特征根，故設(shè)特解為， 故設(shè)特解為代入原非齊次方程得 代入原非齊次方程得于是原非齊次方程的通解為 于是原非齊次方程的通解為(9)*解：所給微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根，由于不是特征方程的根，故設(shè)特解為，代入原非齊次方程得，于是原非齊次方程的通解為.4求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1），解：所給齊次方程的特征方程為，特征根于是通解為，又，代入得，故特解為（2）,解：所給微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，

7、特征根，由于是特征方程的單根，故設(shè)特解為，代入原非齊次方程得，于是原非齊次方程的通解為，又，代入得，故特解為5試求的經(jīng)過點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線解：，又經(jīng)過點(diǎn)，故，且在此點(diǎn)與直線相切，則，那么，所以6設(shè)函數(shù)y(x)連續(xù)，且，求y。解：原方程兩邊對求導(dǎo)，得，解之得，但代入后習(xí)題七常微分方程總習(xí)題一、填空題13。2。3。4。二、求解題1求下列微分方程的通解：（1）解：（2）解：由 有 則設(shè) 為方程的特解有 則通解為2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1），解：由 有 則 則通解為又，則（2），解：由 有 則 設(shè) 為方程的特解有 則通解為又，則3設(shè)函數(shù), 求解：由 有 則 設(shè) 為方程的特

8、解有則通解為又則4該可導(dǎo)函數(shù)滿足求解： 有 5設(shè)二階常系數(shù)線性方程的一個特解為，試確定常數(shù)并求該方程的通解。解：代入有 解之有又 有 則通解為6設(shè)，是二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解，求微分方程的通解及該方程。解：通解為則該方程為 因 有則該方程為 一般解：由 有 及 由解之有代入有7 求滿足, 的特解解：由 有 則 又, 則8求滿足的特解解：由 有 及由 有 則 通解為又, 則9已知常系數(shù)齊次線性方程的特征根為,試確定該微分方程解：由 有 則該微分方程為 習(xí)題八 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、 選擇題1 （B）2（A、D）3（A、C）二填空題1 2 三用定義判別下列級數(shù)的斂散性：1 解：級數(shù)發(fā)散。

9、2解： 級數(shù)收斂。四判定下列級數(shù)的收斂性1 解：這是幾何級數(shù)，公比級數(shù)收斂2 解：原級數(shù)即是： 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散3 解：級數(shù)的通項(xiàng) 而 由級數(shù)收斂的必要條件可知級數(shù)：發(fā)散。4 解：這是公比的幾何級數(shù)級數(shù)發(fā)散5 解：幾何級數(shù)：收斂 幾何級數(shù)：也收斂收斂習(xí)題九 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法一、 選擇題1 （B）2（C）二用比較審斂法或其極限形式判別下列級數(shù)的斂散性：1 2 解： 解： 又發(fā)散 又發(fā)散級數(shù)發(fā)散 級數(shù)發(fā)散3 4。解： 解：當(dāng)； 而級數(shù)收斂 此時級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散時 當(dāng)時； 此時幾何級數(shù)收斂 則級數(shù)收斂。三用比值審斂法判別下列級數(shù)的斂散性：1 2 解：級數(shù)的通項(xiàng)為： 解：級數(shù)的通項(xiàng)為：級數(shù)發(fā)散 級

10、數(shù)收斂3 4 解：級數(shù)的通項(xiàng)為： 解：級數(shù)的通項(xiàng)為：級數(shù)收斂。 級數(shù)收斂。 四用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袆e下列級數(shù)的斂散性：1 2 解：級數(shù)的通項(xiàng)為： 解： 又級數(shù)發(fā)散，由比較判別 由比值判別法，知級數(shù)：收斂。 法的極限形式知級數(shù)發(fā)散。3 4 解： 解：級數(shù)的通項(xiàng)為： 又收斂，由比較判別法， 知級數(shù)：收斂。 由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù)發(fā)散。五利用級數(shù)收斂的必要條件證明：證明：由第三題.4小題知級數(shù)：收斂， 由級數(shù)收斂的必要條件知。習(xí)題十 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂一 討論下列交錯級數(shù)的斂散性：1 解：級數(shù)通項(xiàng)的絕對值 又 由萊布尼茲判別法知，交錯級數(shù)：收斂。2解：級數(shù)通項(xiàng)的絕對值 又由萊布尼茲判別法知

11、，交錯級數(shù)：收斂。3解：級數(shù)的通項(xiàng)： 故。由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù)發(fā)散。二 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？1解：級數(shù)的通項(xiàng)： 又收斂 由比較判別法，知級數(shù)收斂絕對收斂，從而級數(shù)收斂。2解：級數(shù)的通項(xiàng)：級數(shù)絕對收斂，從而級數(shù)收斂。3解：級數(shù)的通項(xiàng)： 而收斂 故原級數(shù)絕對收斂，從而級數(shù)收斂。4解：級數(shù)的通項(xiàng)： 令，則 而級數(shù)發(fā)散，由比較判別法的極限形式，知級數(shù)發(fā)散。 且由萊布尼茲判別法知，交錯級數(shù)：收斂。 綜上知級數(shù)條件收斂。習(xí)題十一 泰勒公式與泰勒級數(shù)一、將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間；1 解： 令 2 解：令3 解： 令4 解：5 解：二將下列函

12、數(shù)展開成的冪級數(shù) 1 解：令，即 2 解：三將展開成的冪級數(shù)解：習(xí)題十二 冪級數(shù)一、 填空題1 3。 2、 二、 求下列冪級數(shù)的收斂域：1解：因?yàn)?所以 收斂半徑 當(dāng)時，級數(shù)成為；當(dāng)時，級數(shù)成為 兩個級數(shù)都發(fā)散，故收斂域?yàn)?2 解：因?yàn)?所以 收斂半徑，收斂域?yàn)?3 解：因?yàn)?所以 收斂半徑。當(dāng)時，級數(shù)成為 4 解：因?yàn)?故 當(dāng)即時級數(shù)收斂；當(dāng)即時級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑；當(dāng)時，級數(shù)成為收斂，故收斂域?yàn)?5 解：因?yàn)?故當(dāng)即時級數(shù)收斂，當(dāng)時級數(shù)發(fā)散，則收斂半徑為。 當(dāng)時級數(shù)成為 當(dāng)時級數(shù)成為 以上級數(shù)均發(fā)散。故級數(shù)的收斂域?yàn)?6 解：令，則上述級數(shù)變?yōu)?因?yàn)?所以收斂半徑。收斂區(qū)間為，即 當(dāng)時，級

13、數(shù)成為，此交錯級數(shù)收斂 當(dāng)時，級數(shù)成為，此級數(shù)發(fā)散。 故級數(shù)的收斂域?yàn)槿?利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級數(shù)的和函數(shù)：1解：顯然，所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。收斂域?yàn)椤?設(shè) 注意到s(0)=0 2. 解：顯然，所給冪級數(shù)收斂域?yàn)?3解：顯然，所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)榱?xí)題十三一、（1）C,（2）A，（3）A，（4）C（5）A二、三、四、（1）（2）單調(diào)遞減.故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂.五、證明：，而正項(xiàng)級數(shù)，都收斂，故與都收斂.六、見教材P467 例4七、八、（2）解：冪級數(shù)在點(diǎn)收斂都絕對收斂.故絕對收斂.九、解：，又當(dāng)時，發(fā)散，故收斂域?yàn)?， 十、，又，故.十一、解：又當(dāng)時，收斂，故當(dāng)時，習(xí)

14、題十四一、（1）D，（2）C，（3）C。二、（1）過（1，0，0）點(diǎn)，平行于yoz平面的平面。 （2）過點(diǎn)（1，0，0）和（0，1，0）且平行于z軸的平面。三、（1）以Z軸為中心軸，底面半徑為1的柱面。 （2）夾在平面Z=1和Z=2之間，底面半徑為1的圓柱體。四、表示球心在（1，-2，0）點(diǎn)處，半徑為的球面。習(xí)題十五一、（1）B，（2）C，（3）C，（4）D，（5）D，（6）D，（7）D。二、（1）（2）三、（1）（2）（3） 又習(xí)題十六一、（1）D，（2）C，（3）A，（4）C，（5）D，（6）A二、（1）1，（2）三、（1） （2） （3） （4）（5）（6）四、1.， 習(xí)題十七一、（1）

15、B，（2）A，二、（1） （2） （3）三、習(xí)題十八一、（1）C，（2）B二、三、四、證明：對方程兩端同時對求偏導(dǎo)數(shù)得：同理對求偏導(dǎo)數(shù)得：故五、六、七、習(xí)題十九一、二、三、四、解：而，故五、8*解：習(xí)題二十一、（1）B，（2）B，（3）C二、解：，令，解出得唯一駐點(diǎn).又， ，三、，四、解：（1）利潤函數(shù)令解得唯一駐點(diǎn)（0.75，1.25），又，故點(diǎn)（0.75，1.25）為極大值點(diǎn).即此時最優(yōu)廣告策略為：用0.75萬元作電臺廣告，用1.25萬元作報紙廣告.（2）令拉格朗日函數(shù)令，即廣告費(fèi)用1.5萬元全部用于報紙廣告，可使利潤最大.習(xí)題二十一 一. 解 定義域?yàn)槎?解 三 解四 解 。，五 解 。

16、六解 七解 。八解 九解 ，十解 ，故十一解 。十二解 十三、解：（1）設(shè)利潤函數(shù)為，則，令又因最大利潤一定存在，必在駐點(diǎn)處取得，故當(dāng)時有最大利潤.（2）令，那么，則令，得唯一駐點(diǎn).又因最大利潤一定存在，必在駐點(diǎn)處取得，故當(dāng)時，有最大利潤.顯然實(shí)行價格差別策略時總利潤要大些.習(xí)題二十二 一、(1).C (2).C (3).B (4).D (5).D (6).D (7).A (8).C (9).A二、（1）> (2) (3) (4)三 1 解： 。2解：3解：4解： 5解：四 1解： 2解： 3解： 4解： 5解： 6解：原式=七 1解：原式=2解：原式=八 1解：原式= 2解：原式=習(xí)題二十三一 解： 二 解： 三 解 ： 四 解： 五 解 六 解 自測題（一）一、 單項(xiàng)選擇題題號1234567答案CBDBDCC二、 試解下列各題1、 解： 2、 解： 3、解：則 與同斂散 而