傅立葉變換和濾波器設(shè)計(jì)

1、歸納：頻譜分析和濾波器歸納：頻譜分析和濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)一。一。MATLAB表述的表述的信號(hào)和系統(tǒng)信號(hào)和系統(tǒng)一。離散信號(hào)的表述與運(yùn)算一。離散信號(hào)的表述與運(yùn)算 1。信號(hào)的表述：用 n 及 x 兩個(gè)數(shù)組，如書 impseq,stepseq,. 2。信號(hào)的初等運(yùn)算；相加，相乘，移位等,.(書 sigadd, sigmult, sigshift） 3。信號(hào)的卷積、相關(guān)、抽選等；conv, xcorr, xcov, decimate, .二。系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的表述 (連續(xù)系統(tǒng)）連續(xù)系統(tǒng)） 狀態(tài)方程模型 （參數(shù)矩陣A,B,C,D） 傳遞函數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 a,b） 零極增益模型 （參數(shù)數(shù)組 z,p,k） 極點(diǎn)

2、留數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 r,p） 二階串接模型DuCxyBuAxx1212112121.)(asasasabsbsbsbsWnnnnmmmm).()().()()(2121nmpspspszszszsksWnnpsrpsrpsrsW.)(2211)1()(12212210LkkkkkksasasbsbbsW（參數(shù)矩陣 b0k,b1k,b2k,1,a1k,a2k）二。系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的表述 (離散系統(tǒng)）離散系統(tǒng)） 狀態(tài)方程模型 （參數(shù)矩陣A,B,C,D） 傳遞函數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 a,b） 零極增益模型 （參數(shù)數(shù)組 z,p,k） 極點(diǎn)留數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 r,p） 二階串接模型)()()()()()

3、1(nDunCxnynBunAxnx11221211122121.)(nnnnmmmmzadzadzadadzbdzbdzbdbdzW).()().()()(2121nmpspspszszszsksWnnpsrpsrpsrsW.)(2211)1()(1221122110LkkkkkkzazazbzbbzW（參數(shù)矩陣 b0k,b1k,b2k,1,a1k,a2k）三。系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的表述 (離散系統(tǒng)）離散系統(tǒng)） 狀態(tài)方程模型（不用） 傳遞函數(shù)模型（參數(shù)數(shù)組 ad,bd） ad =1 FIR濾波器（系統(tǒng)） ad =1 IIR濾波器（系統(tǒng)） 零極增益模型（參數(shù)數(shù)組 z,p,k） 極點(diǎn)留數(shù)模型（參數(shù)數(shù)組

4、 r,p,C） 二階串接模型連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)模擬/數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換 1。雙線性變換函數(shù) bilinearNUMd,DENd = bilinear(NUM,DEN,Fs)H(z) = H(s) | | s = 2*Fs*(z-1)/(z+1)2。脈沖響應(yīng)不變法impinvarBZ,AZ = impinvar(B,A,Fs)信號(hào)處理工具箱提供的線性模型轉(zhuǎn)換函數(shù)信號(hào)處理工具箱提供的線性模型轉(zhuǎn)換函數(shù)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間狀態(tài)空間零極增益零極增益部分分式部分分式格型結(jié)構(gòu)格型結(jié)構(gòu)二階串接二階串接卷積矩陣卷積矩陣傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)tf2sstf2zprootsresidueresidueztf

5、2latctf2sosconvmtx狀態(tài)空間狀態(tài)空間ss2tfss2zpss2sos零極增益零極增益zp2tfpolyzp2sszp2sos部分分式部分分式residueresiduez格型濾波格型濾波latc2tf二階串接二階串接sos2tfsos2sssos2zp卷積矩陣卷積矩陣用用MATLAB與信號(hào)流圖求系統(tǒng)與信號(hào)流圖求系統(tǒng)KjupxqxiKiijiKkkjkj,.11 信號(hào)流圖方程列寫信號(hào)流圖方程列寫 設(shè)Ki個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)ui K個(gè)中間和輸出節(jié)點(diǎn)xj 方程為 寫成矩陣形式： X= x1;x2;xK為狀態(tài)變量列向量； Q為K乘K維的狀態(tài)傳送矩陣； U = u1;u2;uL為輸入信號(hào)列向量 P

6、為K乘L維的為信號(hào)輸入矩陣PUQXXPQIUXWPUXQI1)(/)(最后公式為：移項(xiàng)：四。信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)（濾波系統(tǒng)（濾波器實(shí)現(xiàn)）器實(shí)現(xiàn)） 信號(hào)與系統(tǒng)脈沖過(guò)渡函數(shù)的卷積 y=conv(u,h),. 差分方程解法 y=filter(bd,ad,u) 濾波器實(shí)行中的其他函數(shù): fftfilt; latcfilt，sosfilt等 Z-變換及反變換 部分分式展開 長(zhǎng)除二頻譜分析（第三、五章）二頻譜分析（第三、五章） 傅立葉變換（包括連續(xù)和離散形式傅立葉變換（包括連續(xù)和離散形式 ） 正變換 反變換 deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(deFnfenfFtjnnj)(21)()()(Nj

7、NNnkNNnkNeWWkFNnfWnfkF21010)(1)()()(其中離散時(shí)間傅立葉正反變換離散傅立葉正反變換 連續(xù)和離散傅立葉變換的對(duì)比連續(xù)和離散傅立葉變換的對(duì)比 時(shí)域信號(hào) （傅立葉反變換） 頻譜曲線（傅立葉變換） 變換名稱 連續(xù)信號(hào) 連續(xù)頻譜 傅立葉變換 離散信號(hào) （有限樣本點(diǎn)） 周期性連續(xù)頻譜 離散時(shí)間傅立葉變換 多周期離散信號(hào) 頻譜向等間隔離散點(diǎn)集中 周期性離散信號(hào) 周期性離散頻譜 離散傅立葉變換 周期性連續(xù)信號(hào) 離散頻譜 傅立葉級(jí)數(shù) 在在MATLAB中計(jì)算傅立葉變換中計(jì)算傅立葉變換在在MATLAB中的計(jì)算相當(dāng)方便，只要下列兩行八個(gè)語(yǔ)句：xn=input(x = ); N= (l

8、ength(xn); n = 0:1:N-1; k = nWN = exp(-j*2*pi/N); nk = n*k; WNnk = WN . nk; Xk = xn * WNnk 在數(shù)字信號(hào)處理及其MATLAB實(shí)現(xiàn)書pp119-120中，定義它為dft函數(shù)，相應(yīng)也定義了idft函數(shù)，即X=dft(x,N)x=idft(X,N) 但其運(yùn)算速度低。在MATLAB中設(shè)有基本函數(shù)fft，它是快速傅立葉變換的縮寫，調(diào)用形式為：X=fft(x,N) x=idft(X,N)N取為2的冪次時(shí)，速度最快。（令N=2nextpow2(N);)它的功能和dft相同，不過(guò)速度快得多，而且有許多出錯(cuò)提示能力。Matl

9、ab程序 ftdemo離散頻譜與連續(xù)頻譜的轉(zhuǎn)換 MATLAB只能處理離散量，把離散量取得很密時(shí)，就接近于連續(xù)量。在時(shí)間軸上取得很密，對(duì)應(yīng)的頻譜應(yīng)該取得很窄，離散傅立葉變換的最高頻率通常取為2pi，故只能取到0.2*pi以下的部分，才代表連續(xù)系統(tǒng)的頻譜。 另外它抽去了時(shí)間和頻率，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上。時(shí)間應(yīng)乘以采樣周期Ts，即X=Ts*fft(x) fft的頻率軸應(yīng)乘以2/(N*Ts),單位：弧度/秒或1 /(N*Ts)=Fs/N,單位：赫茲作傅立葉反變換ifft時(shí)注意事項(xiàng) 1。x=ifft(X)中的X必須取全頻段(-的值。通常給出的X為0 ,要擴(kuò)展。 2。實(shí)序列x的X為復(fù)數(shù)序列，其實(shí)部（幅度）偶對(duì)稱，虛部

10、（相位）奇對(duì)稱，這可作為擴(kuò)展的規(guī)則。 3。反變換x應(yīng)取實(shí)部x=real(ifft(X) 4. 如X已含有采樣周期T,反變換應(yīng)除以T.求連續(xù)信號(hào)頻譜的程序例 x=input(x(1:N)序列); Nx=length(x); K=nextpow2(Nx);N=2K; n=0:N-1; Fs=input(采樣頻率Fs= );T=1/Fs; X=T*fft(x); m1=0:N/2-1;D=2*pi/(T*N); subplot(2,1,1),plot(m1*D/(2*pi),abs(X(m1+1) m=-N/2:N/2-1; subplot(2,1,2) plot(m*D/(2*pi),abs(ff

11、tshift(X)三。三。FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)（一）（一）FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)： （1）線性相位，波形失真??；）線性相位，波形失真??； （2）極點(diǎn)在）極點(diǎn)在z-平面原點(diǎn)，必穩(wěn)定；平面原點(diǎn)，必穩(wěn)定； （3）易于實(shí)現(xiàn)）易于實(shí)現(xiàn)（二）窗函數(shù)法（二）窗函數(shù)法 1. 定預(yù)期頻率特性：定預(yù)期頻率特性： 通帶幅頻特性為通帶幅頻特性為1，相位線性；，相位線性；1*exp(-a*w) 阻帶幅頻特性為阻帶幅頻特性為0；過(guò)渡帶寬；過(guò)渡帶寬 2。由預(yù)期特性求預(yù)期脈沖響應(yīng)。由預(yù)期特性求預(yù)期脈沖響應(yīng)hd 3。把脈沖響應(yīng)與窗函數(shù)相乘，得實(shí)際的。把脈沖響應(yīng)與窗函數(shù)相乘，得實(shí)際的有限長(zhǎng)度的有限長(zhǎng)度的h； 4

12、. h就是就是FIR濾波器分子系數(shù)，可濾波器分子系數(shù)，可用用freqz函數(shù)函數(shù)驗(yàn)算其幅頻特性驗(yàn)算其幅頻特性濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) 類型和理想特性類型和理想特性 Wn=wc1,wc2,處的理想幅特性處的理想幅特性 A=A1,A2, 各段允許誤差各段允許誤差Rp,As,(或或delta1,delta2)根據(jù)過(guò)渡帶寬選擇根據(jù)過(guò)渡帶寬選擇FIR濾波器濾波器窗函數(shù)類型和長(zhǎng)度窗函數(shù)類型和長(zhǎng)度M的公式的公式名稱近似過(guò)渡帶寬精確過(guò)渡帶寬最小阻帶衰減矩形4/M1.8/M21dB巴特利特8/M6.1/M25dB漢寧8/M6.2/M44dB哈明8/M6.6/M51dB布萊克曼12/M11/M74dB取Ka

13、iser窗時(shí)用MATLAB中的kaiserord函數(shù)來(lái)得到長(zhǎng)度MFIR濾波器的其他設(shè)計(jì)方法（二）頻率抽樣法樸素算法：等波動(dòng)方法（用remez函數(shù)）（三）約束最小二乘法（fircls）約束指的對(duì)波動(dòng)的上限有規(guī)定均方誤差最小化準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則四。模擬及四。模擬及IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)(二）幾種模擬原型的主要特點(diǎn)幾種模擬原型的主要特點(diǎn)類型 極點(diǎn) 幅頻特性 巴特沃斯 左半平面等相角間隔的單位圓上 通帶阻帶均無(wú)波動(dòng) 切貝雪夫 I 左半平面接近單位圓的橢圓上 通帶有波動(dòng)，阻帶內(nèi)無(wú)波動(dòng) 切貝雪夫 II 通帶無(wú)波動(dòng)，阻帶內(nèi)有波動(dòng) 橢圓 通帶阻帶均有波動(dòng) （三）（三）IIR濾波器設(shè)計(jì)步驟（用濾

14、波器設(shè)計(jì)步驟（用書上的書上的方法和函數(shù)）方法和函數(shù)）1。用buttap+求階次N的公式函數(shù)afd_butt設(shè)計(jì)模擬低通原型；數(shù)字指標(biāo):wp,ws,Rp,As先換成模擬指標(biāo)用雙線性變換時(shí)wp,ws用預(yù)崎變變換2。用變換函數(shù)bilinear或impinvar將模擬低通原型變換為數(shù)字低通3。用zmapping函數(shù)將數(shù)字低通變換為數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器（三）模擬及（三）模擬及IIR濾波器設(shè)計(jì)步驟（用濾波器設(shè)計(jì)步驟（用Signal工具箱）工具箱）以橢圓濾波器為例以橢圓濾波器為例選類型確定階次elipord.求出模擬原型濾波器參數(shù)ellipap設(shè)計(jì)指標(biāo)Wp,Ws,Rp,Rs等 lp2bp.轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾

15、波器bilinear直接求出濾波器參數(shù)ellip信號(hào)處理工具箱中濾波器設(shè)計(jì)界面信號(hào)處理工具箱中濾波器設(shè)計(jì)界面圖形界面的濾波器設(shè)計(jì)工具圖形界面的濾波器設(shè)計(jì)工具fdatool和信號(hào)處理工具和信號(hào)處理工具sptool 要得到MATLAB的使用說(shuō)明，可: 1. 用help 命令 2. 用Acrobat Reader打開MATLABhelppdf_docsignal濾波器設(shè)計(jì)工具濾波器設(shè)計(jì)工具fdatool功能功能 輸入給濾波器規(guī)定的指標(biāo)、類型與參數(shù)； 自動(dòng)或半自動(dòng)地設(shè)計(jì)濾波器； 用多種方法顯示設(shè)計(jì)的結(jié)果； 導(dǎo)入和導(dǎo)出濾波器的參數(shù) 分析、比較有限字長(zhǎng)的效應(yīng)對(duì)濾波器特性的影響；信號(hào)瀏覽器的概貌信號(hào)瀏覽器的

16、概貌: 使用信號(hào)瀏覽器可以: 分析和比較矢量或者矩陣信號(hào). 放大有關(guān)信號(hào)數(shù)據(jù)的某部分 測(cè)量各種各樣的信號(hào)數(shù)據(jù)的特征 比較多種信號(hào). 在音頻硬件上播送信號(hào)數(shù)據(jù) 打印信號(hào).濾波器瀏覽器的概貌濾波器瀏覽器的概貌: 使用濾波器瀏覽器可以分析所選濾波器下列的響應(yīng)特征 幅度響應(yīng),相位響應(yīng) 脈沖響應(yīng),階躍響應(yīng) 群延遲 極點(diǎn)和零點(diǎn)位置 濾波器瀏覽器能在任何時(shí)候顯示出選定濾波器的多達(dá)六種不同響應(yīng)特征曲線.濾波器瀏覽器可提供以下功能濾波器瀏覽器可提供以下功能 縮放 測(cè)量濾波器響應(yīng) 分析和修改濾波器響應(yīng) 修改顯示方法：例如頻率范圍或者重幅度單位等參數(shù) 使信號(hào)通過(guò)濾波器得到輸出信號(hào)濾波的sptool演示 用程序ffiltdem及ffiltdem1運(yùn)行 將其信號(hào)數(shù)據(jù)和濾波器數(shù)據(jù)送至sptool 再研究其輸出信號(hào) 再觀察其輸入輸出