傅立葉變換和濾波器設(shè)計

1、歸納：頻譜分析和濾波器歸納：頻譜分析和濾波器設(shè)計設(shè)計一。一。MATLAB表述的表述的信號和系統(tǒng)信號和系統(tǒng)一。離散信號的表述與運算一。離散信號的表述與運算 1。信號的表述：用 n 及 x 兩個數(shù)組，如書 impseq,stepseq,. 2。信號的初等運算；相加，相乘，移位等,.(書 sigadd, sigmult, sigshift） 3。信號的卷積、相關(guān)、抽選等；conv, xcorr, xcov, decimate, .二。系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的表述 (連續(xù)系統(tǒng)）連續(xù)系統(tǒng)） 狀態(tài)方程模型 （參數(shù)矩陣A,B,C,D） 傳遞函數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 a,b） 零極增益模型 （參數(shù)數(shù)組 z,p,k） 極點

2、留數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 r,p） 二階串接模型DuCxyBuAxx1212112121.)(asasasabsbsbsbsWnnnnmmmm).()().()()(2121nmpspspszszszsksWnnpsrpsrpsrsW.)(2211)1()(12212210LkkkkkksasasbsbbsW（參數(shù)矩陣 b0k,b1k,b2k,1,a1k,a2k）二。系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的表述 (離散系統(tǒng)）離散系統(tǒng)） 狀態(tài)方程模型 （參數(shù)矩陣A,B,C,D） 傳遞函數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 a,b） 零極增益模型 （參數(shù)數(shù)組 z,p,k） 極點留數(shù)模型 （參數(shù)數(shù)組 r,p） 二階串接模型)()()()()()

3、1(nDunCxnynBunAxnx11221211122121.)(nnnnmmmmzadzadzadadzbdzbdzbdbdzW).()().()()(2121nmpspspszszszsksWnnpsrpsrpsrsW.)(2211)1()(1221122110LkkkkkkzazazbzbbzW（參數(shù)矩陣 b0k,b1k,b2k,1,a1k,a2k）三。系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的表述 (離散系統(tǒng)）離散系統(tǒng)） 狀態(tài)方程模型（不用） 傳遞函數(shù)模型（參數(shù)數(shù)組 ad,bd） ad =1 FIR濾波器（系統(tǒng)） ad =1 IIR濾波器（系統(tǒng)） 零極增益模型（參數(shù)數(shù)組 z,p,k） 極點留數(shù)模型（參數(shù)數(shù)組

4、 r,p,C） 二階串接模型連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)模擬/數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換 1。雙線性變換函數(shù) bilinearNUMd,DENd = bilinear(NUM,DEN,Fs)H(z) = H(s) | | s = 2*Fs*(z-1)/(z+1)2。脈沖響應不變法impinvarBZ,AZ = impinvar(B,A,Fs)信號處理工具箱提供的線性模型轉(zhuǎn)換函數(shù)信號處理工具箱提供的線性模型轉(zhuǎn)換函數(shù)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間狀態(tài)空間零極增益零極增益部分分式部分分式格型結(jié)構(gòu)格型結(jié)構(gòu)二階串接二階串接卷積矩陣卷積矩陣傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)tf2sstf2zprootsresidueresidueztf

5、2latctf2sosconvmtx狀態(tài)空間狀態(tài)空間ss2tfss2zpss2sos零極增益零極增益zp2tfpolyzp2sszp2sos部分分式部分分式residueresiduez格型濾波格型濾波latc2tf二階串接二階串接sos2tfsos2sssos2zp卷積矩陣卷積矩陣用用MATLAB與信號流圖求系統(tǒng)與信號流圖求系統(tǒng)KjupxqxiKiijiKkkjkj,.11 信號流圖方程列寫信號流圖方程列寫 設(shè)Ki個輸入節(jié)點ui K個中間和輸出節(jié)點xj 方程為 寫成矩陣形式： X= x1;x2;xK為狀態(tài)變量列向量； Q為K乘K維的狀態(tài)傳送矩陣； U = u1;u2;uL為輸入信號列向量 P

6、為K乘L維的為信號輸入矩陣PUQXXPQIUXWPUXQI1)(/)(最后公式為：移項：四。信號通過線性系統(tǒng)（濾波系統(tǒng)（濾波器實現(xiàn)）器實現(xiàn)） 信號與系統(tǒng)脈沖過渡函數(shù)的卷積 y=conv(u,h),. 差分方程解法 y=filter(bd,ad,u) 濾波器實行中的其他函數(shù): fftfilt; latcfilt，sosfilt等 Z-變換及反變換 部分分式展開 長除二頻譜分析（第三、五章）二頻譜分析（第三、五章） 傅立葉變換（包括連續(xù)和離散形式傅立葉變換（包括連續(xù)和離散形式 ） 正變換 反變換 deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(deFnfenfFtjnnj)(21)()()(Nj

7、NNnkNNnkNeWWkFNnfWnfkF21010)(1)()()(其中離散時間傅立葉正反變換離散傅立葉正反變換 連續(xù)和離散傅立葉變換的對比連續(xù)和離散傅立葉變換的對比 時域信號 （傅立葉反變換） 頻譜曲線（傅立葉變換） 變換名稱 連續(xù)信號 連續(xù)頻譜 傅立葉變換 離散信號 （有限樣本點） 周期性連續(xù)頻譜 離散時間傅立葉變換 多周期離散信號 頻譜向等間隔離散點集中 周期性離散信號 周期性離散頻譜 離散傅立葉變換 周期性連續(xù)信號 離散頻譜 傅立葉級數(shù) 在在MATLAB中計算傅立葉變換中計算傅立葉變換在在MATLAB中的計算相當方便，只要下列兩行八個語句：xn=input(x = ); N= (l

8、ength(xn); n = 0:1:N-1; k = nWN = exp(-j*2*pi/N); nk = n*k; WNnk = WN . nk; Xk = xn * WNnk 在數(shù)字信號處理及其MATLAB實現(xiàn)書pp119-120中，定義它為dft函數(shù)，相應也定義了idft函數(shù)，即X=dft(x,N)x=idft(X,N) 但其運算速度低。在MATLAB中設(shè)有基本函數(shù)fft，它是快速傅立葉變換的縮寫，調(diào)用形式為：X=fft(x,N) x=idft(X,N)N取為2的冪次時，速度最快。（令N=2nextpow2(N);)它的功能和dft相同，不過速度快得多，而且有許多出錯提示能力。Matl

9、ab程序 ftdemo離散頻譜與連續(xù)頻譜的轉(zhuǎn)換 MATLAB只能處理離散量，把離散量取得很密時，就接近于連續(xù)量。在時間軸上取得很密，對應的頻譜應該取得很窄，離散傅立葉變換的最高頻率通常取為2pi，故只能取到0.2*pi以下的部分，才代表連續(xù)系統(tǒng)的頻譜。 另外它抽去了時間和頻率，應當補上。時間應乘以采樣周期Ts，即X=Ts*fft(x) fft的頻率軸應乘以2/(N*Ts),單位：弧度/秒或1 /(N*Ts)=Fs/N,單位：赫茲作傅立葉反變換ifft時注意事項 1。x=ifft(X)中的X必須取全頻段(-的值。通常給出的X為0 ,要擴展。 2。實序列x的X為復數(shù)序列，其實部（幅度）偶對稱，虛部

10、（相位）奇對稱，這可作為擴展的規(guī)則。 3。反變換x應取實部x=real(ifft(X) 4. 如X已含有采樣周期T,反變換應除以T.求連續(xù)信號頻譜的程序例 x=input(x(1:N)序列); Nx=length(x); K=nextpow2(Nx);N=2K; n=0:N-1; Fs=input(采樣頻率Fs= );T=1/Fs; X=T*fft(x); m1=0:N/2-1;D=2*pi/(T*N); subplot(2,1,1),plot(m1*D/(2*pi),abs(X(m1+1) m=-N/2:N/2-1; subplot(2,1,2) plot(m*D/(2*pi),abs(ff

11、tshift(X)三。三。FIR濾波器的設(shè)計濾波器的設(shè)計（一）（一）FIR濾波器的特點濾波器的特點： （1）線性相位，波形失真??；）線性相位，波形失真??； （2）極點在）極點在z-平面原點，必穩(wěn)定；平面原點，必穩(wěn)定； （3）易于實現(xiàn)）易于實現(xiàn)（二）窗函數(shù)法（二）窗函數(shù)法 1. 定預期頻率特性：定預期頻率特性： 通帶幅頻特性為通帶幅頻特性為1，相位線性；，相位線性；1*exp(-a*w) 阻帶幅頻特性為阻帶幅頻特性為0；過渡帶寬；過渡帶寬 2。由預期特性求預期脈沖響應。由預期特性求預期脈沖響應hd 3。把脈沖響應與窗函數(shù)相乘，得實際的。把脈沖響應與窗函數(shù)相乘，得實際的有限長度的有限長度的h； 4

12、. h就是就是FIR濾波器分子系數(shù)，可濾波器分子系數(shù)，可用用freqz函數(shù)函數(shù)驗算其幅頻特性驗算其幅頻特性濾波器的設(shè)計指標濾波器的設(shè)計指標 類型和理想特性類型和理想特性 Wn=wc1,wc2,處的理想幅特性處的理想幅特性 A=A1,A2, 各段允許誤差各段允許誤差Rp,As,(或或delta1,delta2)根據(jù)過渡帶寬選擇根據(jù)過渡帶寬選擇FIR濾波器濾波器窗函數(shù)類型和長度窗函數(shù)類型和長度M的公式的公式名稱近似過渡帶寬精確過渡帶寬最小阻帶衰減矩形4/M1.8/M21dB巴特利特8/M6.1/M25dB漢寧8/M6.2/M44dB哈明8/M6.6/M51dB布萊克曼12/M11/M74dB取Ka

13、iser窗時用MATLAB中的kaiserord函數(shù)來得到長度MFIR濾波器的其他設(shè)計方法（二）頻率抽樣法樸素算法：等波動方法（用remez函數(shù)）（三）約束最小二乘法（fircls）約束指的對波動的上限有規(guī)定均方誤差最小化準則最大誤差最小化準則四。模擬及四。模擬及IIR數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計(二）幾種模擬原型的主要特點幾種模擬原型的主要特點類型 極點 幅頻特性 巴特沃斯 左半平面等相角間隔的單位圓上 通帶阻帶均無波動 切貝雪夫 I 左半平面接近單位圓的橢圓上 通帶有波動，阻帶內(nèi)無波動 切貝雪夫 II 通帶無波動，阻帶內(nèi)有波動 橢圓 通帶阻帶均有波動 （三）（三）IIR濾波器設(shè)計步驟（用濾

14、波器設(shè)計步驟（用書上的書上的方法和函數(shù)）方法和函數(shù)）1。用buttap+求階次N的公式函數(shù)afd_butt設(shè)計模擬低通原型；數(shù)字指標:wp,ws,Rp,As先換成模擬指標用雙線性變換時wp,ws用預崎變變換2。用變換函數(shù)bilinear或impinvar將模擬低通原型變換為數(shù)字低通3。用zmapping函數(shù)將數(shù)字低通變換為數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器（三）模擬及（三）模擬及IIR濾波器設(shè)計步驟（用濾波器設(shè)計步驟（用Signal工具箱）工具箱）以橢圓濾波器為例以橢圓濾波器為例選類型確定階次elipord.求出模擬原型濾波器參數(shù)ellipap設(shè)計指標Wp,Ws,Rp,Rs等 lp2bp.轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾

15、波器bilinear直接求出濾波器參數(shù)ellip信號處理工具箱中濾波器設(shè)計界面信號處理工具箱中濾波器設(shè)計界面圖形界面的濾波器設(shè)計工具圖形界面的濾波器設(shè)計工具fdatool和信號處理工具和信號處理工具sptool 要得到MATLAB的使用說明，可: 1. 用help 命令 2. 用Acrobat Reader打開MATLABhelppdf_docsignal濾波器設(shè)計工具濾波器設(shè)計工具fdatool功能功能 輸入給濾波器規(guī)定的指標、類型與參數(shù)； 自動或半自動地設(shè)計濾波器； 用多種方法顯示設(shè)計的結(jié)果； 導入和導出濾波器的參數(shù) 分析、比較有限字長的效應對濾波器特性的影響；信號瀏覽器的概貌信號瀏覽器的

16、概貌: 使用信號瀏覽器可以: 分析和比較矢量或者矩陣信號. 放大有關(guān)信號數(shù)據(jù)的某部分 測量各種各樣的信號數(shù)據(jù)的特征 比較多種信號. 在音頻硬件上播送信號數(shù)據(jù) 打印信號.濾波器瀏覽器的概貌濾波器瀏覽器的概貌: 使用濾波器瀏覽器可以分析所選濾波器下列的響應特征 幅度響應,相位響應 脈沖響應,階躍響應 群延遲 極點和零點位置 濾波器瀏覽器能在任何時候顯示出選定濾波器的多達六種不同響應特征曲線.濾波器瀏覽器可提供以下功能濾波器瀏覽器可提供以下功能 縮放 測量濾波器響應 分析和修改濾波器響應 修改顯示方法：例如頻率范圍或者重幅度單位等參數(shù) 使信號通過濾波器得到輸出信號濾波的sptool演示 用程序ffiltdem及ffiltdem1運行 將其信號數(shù)據(jù)和濾波器數(shù)據(jù)送至sptool 再研究其輸出信號 再觀察其輸入輸出