變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)

1、第四章 變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)本章介紹變形體力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括變形體力學(xué)的基本假設(shè)、分析桿件內(nèi)力的截面法、應(yīng)力和應(yīng)變的初步概念以及單向胡克定律，最后還將討論材料的力學(xué)性能。4.1 變形體的基本概念 變形組成機(jī)械的零件和構(gòu)成結(jié)構(gòu)的元件，統(tǒng)稱(chēng)構(gòu)件。制作構(gòu)件所用的材料多種多樣，其共同點(diǎn)是在受力后構(gòu)件的形狀和尺寸會(huì)產(chǎn)生改變，這種變化稱(chēng)為變形。在外力作用下會(huì)發(fā)生變形的固體稱(chēng)為變形體。在理論力學(xué)討論的剛體模型，實(shí)際上是變形很小時(shí)的理想模型。在外力撤去后，變形體的變形完全消失，變形體能恢復(fù)到未變形狀態(tài)，則該變形稱(chēng)為彈性變形，變形體是處于彈性狀態(tài)，或變形體是彈性體；而卸載后在變形體內(nèi)遺留的或不能恢復(fù)的變形稱(chēng)為塑性

2、變形。相對(duì)于構(gòu)件尺寸，變形按大小可分為小變形和大變形。對(duì)小變形構(gòu)件可不考慮變形對(duì)構(gòu)件尺寸的影響，仍按構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行分析計(jì)算，從而使分析計(jì)算得到很大的簡(jiǎn)化。本書(shū)只研究變形體在彈性狀態(tài)下的小變形問(wèn)題。根據(jù)工程實(shí)踐的要求，在對(duì)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)要考慮以下三方面的要求：1.構(gòu)件應(yīng)具有足夠的抵抗破壞的能力，即強(qiáng)度，以保證在規(guī)定的使用條件下不發(fā)生破壞或產(chǎn)生塑性變形。2.構(gòu)件應(yīng)具備足夠的抵抗變形的能力，即剛度，以保證在規(guī)定的使用條件下不產(chǎn)生過(guò)度的變形。3.構(gòu)件應(yīng)具備足夠的保持原有平衡形式的能力，即穩(wěn)定性，以保證在規(guī)定的使用條件下不產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。 基本假設(shè)就其具體組成和微觀結(jié)構(gòu)來(lái)看，變形體是一個(gè)非常復(fù)雜的研究

3、對(duì)象。若只從宏觀的角度研究物體內(nèi)部的受力和變形規(guī)律，對(duì)材料的性質(zhì)的屬性作出了若干簡(jiǎn)化假設(shè)。實(shí)踐表明，這些假設(shè)能滿(mǎn)足工程實(shí)際的需要。1.連續(xù)性假設(shè)根據(jù)物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論，固體是由不連續(xù)的粒子構(gòu)成的。粒子之間的空隙與構(gòu)件的尺寸相比極其微小，可以忽略不計(jì)，因此，認(rèn)為構(gòu)件的整個(gè)體積內(nèi)毫無(wú)空隙地充滿(mǎn)了物質(zhì)，即連續(xù)性假設(shè)。這樣，物體內(nèi)諸如位移、溫度、密度等物理量可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示，并可采用無(wú)限小的分析方法。2.均勻性假設(shè)雖然組成固體的粒子，彼此的物理性質(zhì)并不完全相同，但因構(gòu)件的任一部分都包含為數(shù)極多的微小粒子，而且無(wú)規(guī)則地排列著，從統(tǒng)計(jì)平均的角度看，同一材料所組成的構(gòu)件，各處的物理性質(zhì)完全相同。因此，31

4、 / 12認(rèn)為構(gòu)件內(nèi)任取一部分，不論其體積大小如何，其力學(xué)性能完全相同，即均勻性假設(shè)。3.各向同性假設(shè)材料沿不同方向上的力學(xué)性能都相同，稱(chēng)為各向同性；沿不同方向的力學(xué)性能不同，稱(chēng)為各向異性。絕大多數(shù)材料，如金屬、工程塑料、攪拌均勻的混凝土等，都可視作各向同性材料。例如，金屬?gòu)奈⒂^上看是多晶體材料，單個(gè)晶體是各向異性的，但由于各晶體是隨機(jī)排列的，在宏觀上表現(xiàn)為各向同性。 桿件變形的基本形式桿 板圖41 桿和板構(gòu)件的形狀是各種各樣的，按照其幾何特征可大致分為三類(lèi)。一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向的尺寸的構(gòu)件稱(chēng)為桿件。一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的尺寸的構(gòu)件稱(chēng)為板件；平分板件厚度的幾何面稱(chēng)為中面

5、，中面為平面的板件稱(chēng)為板，中面為曲面的板件成為殼。如圖41所示。若構(gòu)件三個(gè)方向的尺寸都相當(dāng)，則稱(chēng)為塊體。桿件是工程實(shí)際中最常見(jiàn)、最基本的構(gòu)件。在桿件上某處的所有截面中，面積最小的截面稱(chēng)為桿件的橫截面。若桿件各處橫截面都相同，則稱(chēng)為等截面桿，反之為變截面桿。橫截面形心的連線(xiàn)稱(chēng)為桿件的軸線(xiàn)。軸線(xiàn)為直線(xiàn)的桿件為直桿，反之為曲桿。顯然，軸線(xiàn)和橫截面正交，如圖42所示圖42 桿的橫截面與軸線(xiàn) 圖43 桿的基本變形作用在桿件上的外力是多種多樣的，所以，桿件的變形也是多種多樣的。但分析后發(fā)現(xiàn)，桿件的基本變形形式有三種：軸向拉伸或軸向壓縮、扭轉(zhuǎn)和彎曲。如圖43所示在力學(xué)中，將以桿件主要研究對(duì)象的學(xué)科分支稱(chēng)為材

6、料力學(xué)。4.2 內(nèi)力和截面法為了研究桿件在外力作用下的變形，首先需要了解桿件內(nèi)部的受力情況。 內(nèi)力和截面法圖44 截面法構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間存在著相互作用力，這種相互作用力使構(gòu)件保持一定的形狀。構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生變形，同時(shí)也引起內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的改變。內(nèi)力是指桿件內(nèi)部?jī)上噜彶糠种g的相互作用力。內(nèi)力是由于外力(或其它外部因素)作用而引起物體內(nèi)部作用力的改變量。嚴(yán)格地說(shuō)，它是由外部因素所引起的附加內(nèi)力。構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性與內(nèi)力的大小及其在構(gòu)件內(nèi)的分布方式密切相關(guān)。所以，內(nèi)力分析是解決構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題的基礎(chǔ)。與理論力學(xué)里通過(guò)取分離體對(duì)物體進(jìn)行受力分析的方法類(lèi)似，分析構(gòu)件的內(nèi)力

7、需采用截面法。如圖44(a)，截面假想地將該構(gòu)件切開(kāi)，即解除它們間的相互約束，相應(yīng)的內(nèi)力即顯示出來(lái)。由連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力是作用在切開(kāi)面上連續(xù)分布力，如圖44(b)。利用任一部分的平衡條件，便可確定其主矢和主矩的大小和方向。 內(nèi)力分量為研究方便起見(jiàn)，如圖44(c)，以橫截面形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以桿件軸線(xiàn)為軸，橫截面即為平面，建立右手系。將內(nèi)力向點(diǎn)簡(jiǎn)化，并將得到的主矢和主矩沿坐標(biāo)軸分解，得到六個(gè)內(nèi)力分量：主矢分量、和；主矩分量、和。單個(gè)內(nèi)力分量將使桿件產(chǎn)生某一基本變形，如圖45，分別敘述如下。軸力沿桿件軸線(xiàn)，使桿件產(chǎn)生軸向伸長(zhǎng)或縮短；使桿件受拉的軸力為正，反之為負(fù)，如圖45(a)。剪力、的在橫截面內(nèi)

8、，使桿件的相鄰橫截面產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)；當(dāng)剪力相對(duì)于橫截面的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針時(shí)即為正，反之為負(fù)，如圖45(b)。彎矩、分別沿軸和軸，使桿件軸線(xiàn)變彎曲；使桿件發(fā)生上凹下凸的彎曲變形的彎矩即為正，反之為負(fù), 如圖45(c)。圖45 內(nèi)力分量與基本變形扭矩沿桿件軸線(xiàn)，使橫截面繞軸線(xiàn)作相對(duì)旋轉(zhuǎn)的趨勢(shì)；當(dāng)扭矩矢量的方向與橫截面的外法線(xiàn)方向一致時(shí)即為正，反之為負(fù)，如圖45(d)。例41：一等直桿承受軸向載荷如圖46所示，試求、截面上的內(nèi)力分量。圖46 例41圖解：將桿沿截面假想截開(kāi)，并取截面左邊為研究對(duì)象。顯然，截面上只有軸力分量。設(shè)該截面上的軸力為，假設(shè)為正，由平衡方程 得同法，將桿沿截面假想截開(kāi)，取截面右邊為研

9、究對(duì)象，得該截面上的軸力顯然，無(wú)論選擇切開(kāi)后的哪一段作為研究對(duì)象，計(jì)算結(jié)果都相同。綜上所述，應(yīng)用截面法計(jì)算桿件的內(nèi)力的步驟可總結(jié)如下1.在需求內(nèi)力的橫截面處，將桿件假想地切斷，并任選一段為研究對(duì)象；2.畫(huà)出所選桿段的受力圖，為計(jì)算方便，可將所有的內(nèi)力分量設(shè)為正值；3.建立所選桿段的平衡方程，由已知外載荷計(jì)算所切截面上的內(nèi)力。 內(nèi)力的圖示若橫截面的位置以平行于桿件軸線(xiàn)的坐標(biāo)來(lái)表示，則可將內(nèi)力表示成的函數(shù)，稱(chēng)為內(nèi)力方程；同時(shí)，用垂直于桿件軸線(xiàn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上內(nèi)力的數(shù)值，由此繪出的圖線(xiàn)稱(chēng)為內(nèi)力圖，如軸力圖、剪力圖、彎矩圖和扭矩形圖。例42：如圖47(a)，一簡(jiǎn)支梁受集中力的作用，試求梁的剪力方程

10、和彎矩方程，并作出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。圖47 例42圖解：梁的約束力易由平衡條件求出以梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。由于梁上存在著集中載荷，因此應(yīng)分為兩段考慮。如圖47(b)，在段內(nèi)取位置為的任意截面，可得段的剪力和彎矩方程為 同法可求出段內(nèi)的剪力和彎矩方程，如圖47(c)， 根據(jù)剪力和彎矩方程繪制出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖，如圖47(d)和(e)所示。例43：如圖48(a)，簡(jiǎn)支梁受集度為的均布載荷，試列出內(nèi)力方程并作出內(nèi)力圖。圖48 例43圖解：由平衡條件易求得梁的約束力取距梁左端為的任一截面，由截面法，其剪力和彎矩方程分別為剪力圖和彎矩圖如圖49(b)和(c)所示。從例42和例43的剪力圖

11、中看到。在橫向集中載荷作用處，即例42中的點(diǎn)和例43中的、點(diǎn)，剪力圖發(fā)生突變，其突變量等于橫向集中載荷的數(shù)值。容易驗(yàn)證，只要有集中載荷作用在桿件上，相應(yīng)的內(nèi)力圖上就會(huì)有突變點(diǎn)。4.3 應(yīng)力、應(yīng)變及簡(jiǎn)單胡克定律應(yīng)力和應(yīng)變是變形體力學(xué)中最重要的兩個(gè)基本概念。應(yīng)力刻畫(huà)了截面上任一點(diǎn)處內(nèi)力的強(qiáng)弱程度，應(yīng)變則描述了構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)在不同方向上的變形程度。對(duì)于大多數(shù)材料，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在線(xiàn)性關(guān)系。 應(yīng)力圖49 應(yīng)力如圖49(a)所示，在截面上任一點(diǎn)的周?chē)∥⑿∶娣e，設(shè)作用在上的內(nèi)力為。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，當(dāng)趨近零時(shí)，與的比值應(yīng)存在一極限，該極限值稱(chēng)為截面上點(diǎn)處的應(yīng)力或總應(yīng)力，即 (41)截面上一點(diǎn)處的應(yīng)力是一個(gè)矢

12、量，為分析方便，將應(yīng)力沿截面的法向和切向分解成兩個(gè)分量和，如圖49(b)所示。沿截面法向的分量稱(chēng)為正應(yīng)力，沿截面切向的應(yīng)力分量稱(chēng)為切應(yīng)力。圖410 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理指出：作用在相互垂直平面上的切應(yīng)力大小相等，且都指向或背離兩相互垂直平面的交線(xiàn)。如圖410，在物體內(nèi)某點(diǎn)處截取一微小正六面體，其中垂直于軸的平面上作用有正應(yīng)力和切應(yīng)力，垂直于軸的平面上有正應(yīng)力和。根據(jù)切應(yīng)力互等定理在國(guó)際單位中，應(yīng)力的基本單位是(牛頓/米2)，其代號(hào)為(帕斯卡，帕)，應(yīng)力的常用單位為(兆牛頓/米2，兆帕)和(牛頓/毫米2)，這些單位之間的關(guān)系為構(gòu)件內(nèi)的任意點(diǎn)沿不同的截面具有不同的應(yīng)力，一般隨著截面的方位不

13、同而變化。一點(diǎn)處各個(gè)截面上應(yīng)力的集合，統(tǒng)稱(chēng)為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 應(yīng)變圖411 應(yīng)變物體在受到外力作用而產(chǎn)生變形時(shí)，通常內(nèi)部各點(diǎn)的變形程度并不相同。為了研究物體內(nèi)某點(diǎn)處的變形，如圖411(a)，設(shè)想圍繞該點(diǎn)截取一微小的正方體，受力變形后，微體各棱邊的長(zhǎng)度將發(fā)生改變。例如，平行于軸的棱邊原長(zhǎng)為，變形之后長(zhǎng)度為，如圖411。為上的總變形量，為精確描述點(diǎn)處的變形程度，定義極限值 (42)為點(diǎn)處沿方向的線(xiàn)應(yīng)變或正應(yīng)變，它表示在點(diǎn)處每單位長(zhǎng)的伸長(zhǎng)或縮短。線(xiàn)應(yīng)變是無(wú)量綱的量。另一方面，微體變形之后，原來(lái)相互垂直的各棱邊之間的直角也要發(fā)生改變，如圖411。直角的改變量稱(chēng)為切應(yīng)變，用表示。例如，、方向直角的改變量

14、，即剪應(yīng)變，用來(lái)表示。切應(yīng)變用弧度表示，也是無(wú)量綱的量。一般來(lái)說(shuō)，構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)處沿不同方向線(xiàn)應(yīng)變的大小、任意兩正交線(xiàn)段的剪應(yīng)變的大小都是不相同的。構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)所有線(xiàn)應(yīng)變和剪應(yīng)變的集合，統(tǒng)稱(chēng)為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。 胡克定律圖412 胡克定律對(duì)于由特定材料制成的構(gòu)件受力變形后，應(yīng)力和應(yīng)變之間呈現(xiàn)出確定的函數(shù)關(guān)系，這是由材料本身性質(zhì)所確定的，稱(chēng)為材料的本構(gòu)關(guān)系。對(duì)于工程中常用的材料，材料的力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在正比關(guān)系，這一關(guān)系也稱(chēng)為胡克定律。圖412(a)表示單向(單軸)應(yīng)力狀態(tài)，單向拉伸(壓縮)情況下的胡克定律為 (43)其中正比系數(shù)稱(chēng)為彈性模量或楊氏模量。圖4

15、12(b)表示純剪切應(yīng)力狀態(tài)，這種應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律為 (44)其中正比系數(shù)稱(chēng)為剪切模量。和的量綱與應(yīng)力的量綱相同，單位是或()，其具體數(shù)值可通過(guò)材料力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)測(cè)定。滿(mǎn)足胡克定律的材料稱(chēng)為線(xiàn)彈性材料。線(xiàn)彈性材料的力學(xué)性能由和完全確定。對(duì)于和存在如下關(guān)系 (45)其中，稱(chēng)為材料的橫向收縮系數(shù)或泊松比，也是線(xiàn)彈性材料的物性參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，通常使用和來(lái)描述材料性質(zhì)。4.4 材料的力學(xué)性能材料在外力作用下表現(xiàn)出的與變形和破壞有關(guān)的特性，稱(chēng)為材料力學(xué)性能。材料力學(xué)性能由試驗(yàn)測(cè)定。此處討論低碳鋼在軸向靜載荷作用下的力學(xué)性能。 拉伸試驗(yàn)和應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)圖413 標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件拉伸實(shí)驗(yàn)是研究材料力學(xué)性能最

16、常用、最基本的試驗(yàn)。常用的標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件如圖413所示。根據(jù)GB22887金屬拉力試驗(yàn)法，對(duì)于試驗(yàn)段直徑為的圓截面試件，標(biāo)距或；對(duì)于試驗(yàn)段橫截面面積為的矩形截面試件，則規(guī)定或。圖414 低碳鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn) 圖416 頸縮圖415 滑移線(xiàn)將試樣安裝在材料試驗(yàn)機(jī)上，緩慢加載，同時(shí)測(cè)定并記錄試樣的受力和標(biāo)距內(nèi)的變形。試驗(yàn)一直進(jìn)行到試件斷裂為止。為消除試件尺寸對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，試件載荷和變形分別除以試樣的初始橫截面和標(biāo)距，便得到材料拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)，即曲線(xiàn)，如圖414所示。 低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼是工程中應(yīng)用最廣泛的金屬材料，同時(shí)，它在拉伸時(shí)所體現(xiàn)的力學(xué)性能也比較典型。因此首先研究低碳鋼在

17、拉伸時(shí)的力學(xué)性能為主，討論其力學(xué)性能。圖414即為低碳鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)，從圖中可看出，整個(gè)拉伸過(guò)程大致可分為以下四個(gè)階段。1 彈性階段在應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)的段，材料只產(chǎn)生彈性變形，即當(dāng)試件上載荷卸除后，變形可完全恢復(fù)。只引起彈性變形的最高應(yīng)力值稱(chēng)為彈性極限，用表示。低碳鋼在彈性階段的段內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變呈正比關(guān)系，即符合式(43)所表達(dá)的胡克定律。而彈性模量即為直線(xiàn)的斜率。而點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱(chēng)為比例極限。實(shí)際上低碳鋼的彈性極限和比例極限十分接近，可以認(rèn)為，對(duì)低碳鋼來(lái)說(shuō)，2 屈服階段在超過(guò)彈性極限到達(dá)點(diǎn)以后，應(yīng)力只在很小的范圍內(nèi)波動(dòng)或幾乎不變，但變形卻急劇增長(zhǎng)，這種現(xiàn)象稱(chēng)為屈服或流動(dòng)。如果試件表面比較光滑，

18、則當(dāng)材料屈服時(shí)，試件表面將出現(xiàn)與軸線(xiàn)約成的條紋，稱(chēng)為滑移線(xiàn)，它是金屬材料屈服時(shí)晶格發(fā)生錯(cuò)動(dòng)的結(jié)果，如圖415所示。屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱(chēng)為上屈服點(diǎn)和下屈服點(diǎn)。下屈服點(diǎn)比較穩(wěn)定，通常以下屈服點(diǎn)作為材料的屈服應(yīng)力，用表示。材料在屈服階段，會(huì)引起顯著的塑性變形，將會(huì)影響到構(gòu)件的正常使用。所以屈服應(yīng)力是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。3 強(qiáng)化階段經(jīng)過(guò)屈服階段以后，材料又增強(qiáng)了抵抗變形的能力。要使材料繼續(xù)變形需增大載荷，這種現(xiàn)象稱(chēng)為材料的強(qiáng)化。強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)所以對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，稱(chēng)為材料的強(qiáng)度極限或抗拉強(qiáng)度，用表示。強(qiáng)度極限是材料所能承受的最大正應(yīng)力，是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。4 局部變形階段從點(diǎn)

19、開(kāi)始，在試件的某一局部范圍內(nèi)，橫截面顯著縮小，產(chǎn)生所謂頸縮現(xiàn)象。頸縮現(xiàn)象出現(xiàn)后，變形主要集中在細(xì)頸附近的局部進(jìn)行，同時(shí)試件所能承受的載荷迅速減小，最后導(dǎo)致試件斷裂。試件拉斷后，試驗(yàn)段的殘余變形相對(duì)于標(biāo)距的百分比，稱(chēng)為材料的延伸率。延伸率是衡量材料塑性的重要指標(biāo)。低碳鋼的延伸率。通常將延伸率的材料稱(chēng)為塑性材料，如結(jié)構(gòu)鋼、硬鋁等；反之為脆性材料，如高碳工具鋼、鑄鐵等。衡量材料塑性的另一重要指標(biāo)是斷面收縮率，它是試件斷裂后減少的橫截面積相對(duì)于試件原始橫截面積的百分比。低碳鋼的斷面收縮率 其它材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖417 常用材料拉伸曲線(xiàn) 圖418 名義屈服應(yīng)力 圖419 鑄鐵拉伸曲線(xiàn)圖417是一些常用塑性材料在拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)。它們斷裂時(shí)都具有較大的殘余變形。不同的是，有些塑性材料，如、和等，沒(méi)有明顯的屈服階段。對(duì)于此類(lèi)塑性材料，工程中常以卸在載后產(chǎn)生塑性應(yīng)變的應(yīng)力值作為屈服應(yīng)力，此應(yīng)力稱(chēng)為條件屈服應(yīng)力或名義屈服應(yīng)力，以表示，如圖418。圖419是鑄鐵在拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)。鑄鐵是一種典型的脆性材料