2010年各省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西-福建-浙江-廣西-四川-湖北-廣東預(yù)賽試題及答案(共45頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題詳細(xì)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1、已知條件： 和條件 ：則是的（ C ）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件解：因為，故是的充要條件故選C2、在5件產(chǎn)品中有4件正品、1件次品從中任取2件，記其中含正品的個數(shù)個數(shù)為隨機變量，則的數(shù)學(xué)期望是（ C ）A、 B、 C、 D、解：數(shù)學(xué)期望是：故選C.3、設(shè)正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為2，則側(cè)棱與底面所成的角的大小是（ A ） A、 B、 C、 D、解：設(shè)頂點在底面的射影是，則為的外心從而，于是可得

2、故選A4、已知函數(shù)的最小值是0，則非零實數(shù)的值是（ B ）A、 B、 C、2 D、4解：， 因為，故 當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時， 由條件知，解得或0（舍去）故選B. 5、長方體的八個頂點都在球的球面上，其中，則經(jīng)過兩點的球面距離是（ C ）A、 B、 C、 D、解：球的半徑，在中，則，從而所以，經(jīng)過兩點的球面距離是故選C6、對任意實數(shù)，過函數(shù)圖象上的點的切線恒過一定點，則點的坐標(biāo)為（ B ）A、 B、 C、 D、解：因為，故于是過的切線方程是：即，因此切線方程恒過故選B7、設(shè)A1、A2為橢圓的左右頂點，若在橢圓上存在異于A1、A2的點，使得，其中O為坐標(biāo)原點，則橢圓的離心率的取值范圍是（ D ）

3、A、 B、 C、 D、解：由題設(shè)知OPA2=90°，設(shè)P(x,y)(x>0)，以O(shè)A2為直徑的圓方程為，與橢圓方程聯(lián)立得由題設(shè)知，要求此方程在(0, a )上有實根由此得化簡得，所以e的取值范圍為故選D8、記，則的最小值是（ ）、 B、 C、 D、4解：設(shè)動點與，則，點的軌跡為直線，點的軌跡為雙曲線，雙曲線上的任一點到直線的距離，當(dāng)時等號成立故的最小值為故選C二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）1、是定義在上的奇函數(shù)，且，則 解：由條件知，于是，即是以2為周期的周期函數(shù)所以，故填02、實數(shù)滿足，則的最大值是 解：由確定的圖形是以四邊形及其內(nèi)部，其中、由線性規(guī)劃知

4、識知，的最大值是4，當(dāng)時可取到故填43、在數(shù)列中，當(dāng)時，成等比數(shù)列，則 解：由條件知當(dāng)時， 從而，于是 ，所以 于是 所以，故填4、集合的容量是指集合中元素的和則滿足條件“，且若時，必有”的所有非空集合的容量的總和是 （用具體數(shù)字作答）解：先找出滿足條件的單元素和二元素的集合有：，將這四個集合中的元素任意組合起來也滿足要求，則所有符合條件的集合A中元素的總和是 ：故填224.三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13、已知函數(shù) （I）試判斷函數(shù)的奇偶性，并給出證明；（II）求在上的最小值與最大值解：（I） .5分 所以，為偶函數(shù) .10分 （II） .15分 因為 ，故，所以，

5、當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值 .20分14、已知為拋物線的焦點， M點的坐標(biāo)為(4,0)，過點F作斜率為的直線與拋物線交于A、B兩點，延長AM、BM交拋物線于C、D兩點，設(shè)直線的斜率為（I）求的值；（II）求直線AB與直線CD夾角的取值范圍解：（I）由條件知，設(shè)、，不妨設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得所以， .5分 當(dāng)時，則，故，即直線的方程為，從而；直線的方程為：，與聯(lián)立得，得，即于是，所以 .10分 當(dāng)時，直線AM方程為與拋物線方程聯(lián)立得，又由，化簡上述方程得此方程有一根為x1，所以另一根，即，同理，所以，即 .15分由、可知 （II） ，故所以，直線AB與直線CD夾角的取值范圍是 .20分15

6、、已知函數(shù)，其中為實數(shù) （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）若對一切的實數(shù)，有成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)求實數(shù)的取值范圍解：（I）因為， 所以有兩個不等實根：，顯然 .5分 當(dāng)時，即單調(diào)遞減； 當(dāng)或時，即單調(diào)遞增；綜上所述，有的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：、 .10分（II）由條件有：，當(dāng)時，即在時恒成立 因為，當(dāng)時等號成立所以，即 .15分當(dāng)時，即在時恒成立，因為，當(dāng)時等號成立所以，即當(dāng)時，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是 .20分16、已知是數(shù)列的前項的和，對任意的正整數(shù)，都有成立，其中 （I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè) ，若，求實數(shù)的取值范圍解：（I）當(dāng)時，有，故 當(dāng)時， 及 于是 即 若，

7、則，于是從而 所以， .5分 若，則 于是從而 所以， 綜上所述， .10分 （II）若時，顯然不滿足條件，故 當(dāng)時， 若時， ，故當(dāng)時，不符合條件，舍去 若時，故從而為單調(diào)遞減數(shù)列，且 所以，只須即可，顯然成立故符合條件； .15分若時，顯然也滿足條件故符合條件；若時，從而為單調(diào)遞增數(shù)列，因為故，要使成立，只須即可于是故符合條件綜上所述，所求的實數(shù)的范圍是 .20分2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省賽區(qū)預(yù)賽試題（考試時間：2010年9月4日上午10：0011：20）題號一二合計123得分評卷人復(fù)核人注意事項：1.本試卷共二大題，全卷滿分120分。2.用圓珠筆或鋼筆作答。3.解題書寫不要超出裝訂

8、線。4.不能使用計算器。一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.1.方程在區(qū)間上的實根個數(shù)為_.2.設(shè)數(shù)列的前項和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是_.3.已知（，）是常數(shù)，且，是區(qū)間內(nèi)任意實數(shù)，則函數(shù)的最大值等于_.4.圓周上給定10個點，每兩點連一條弦，如果沒有三條弦交于圓內(nèi)一點，那么，這些弦在圓內(nèi)一共有_個交點.5.一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個頂點，它都等機會地爬向另外兩個頂點之一，則它在次爬行后恰好回到起始點的概率為_.6.設(shè)是平面上一個定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，其中，則點的軌跡為_.7.對給定的整數(shù)，符號表示中使能被3整除的唯一值，那么_.8.

9、分別以直角三角形的兩條直角邊，和斜邊為軸將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為，則與的大小關(guān)系是_.二、解答題：本大題共3小題，共56分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.（本小題滿分16分）是否存在實數(shù)，使直線和雙曲線相交于兩點、，且以為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點？2.（本小題滿分20分）求證：不存在這樣的函數(shù)，滿足對任意的整數(shù)，若，則.3.（本小題滿分20分）設(shè)非負(fù)實數(shù)，滿足，求證：2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省預(yù)賽參考答案一、填空題1.設(shè)，則，又，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故方程在區(qū)間上有且只有一個實根.2. 易知數(shù)列是首項是，公比是的等比數(shù)列，于是，故最小整數(shù)是7.3.，

10、故所求函數(shù)的最大值等于.4. 圓周上任意四點構(gòu)成一個四邊形，四邊形的兩條對角線的交點必在圓內(nèi)，所以四邊形的個數(shù)與每兩條弦的交點數(shù)相等，故有個交點.5.6. ，即，又，為單位向量，由向量加法的平行四邊形法則，知點的軌跡為的平分線.7.由二項式定理知，即被3除余1，故.8. ，作商，有，故.二、解答題1.解：設(shè)交點、的坐標(biāo)為、，由消去，得，由韋達(dá)定理，得，以為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點，即，整理，得將代入，并化簡得，經(jīng)檢驗，確實滿足題目條件，故存在實數(shù)滿足題目條件.2.證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)，則對任意的整數(shù)，設(shè)，其中，由條件知.由于，且，即是除去，后剩下的那個數(shù)，不妨設(shè)又由于，.以代替，得，但這

11、與矛盾！因此假設(shè)不成立，即不存在這樣的函數(shù).3.證明：先證左邊的不等式.，再證右邊的不等式.不妨設(shè)，注意到條件，得，所以，綜上，.2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽試題參考答案（高一年級）說明：1評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)填空題只設(shè)8分和0分兩檔；第9小題4分一檔，第10、11小題5分為一個檔次。請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。） 1設(shè)集合，則E的真子集的個數(shù)為 15 2已知函數(shù)的最大值為，則實數(shù) 5 3

12、若，則使函數(shù)為奇函數(shù)的的個數(shù)為 3 4在中，已知的平分線交AC于K若BC=2，CK=1，則的面積為5數(shù)列滿足：，且記的前項和為，則 89 6已知，過作直線的垂線，垂足為若，則 -2 7已知實數(shù)滿足，則的最小值為 12 8將總和為200的10個數(shù)放置在給定的一個圓周上，且任意三個相鄰的數(shù)之和不小于58所有滿足上述要求的10個數(shù)中最大數(shù)的最大值為 26 二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）9已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且不等式對一切實數(shù)都成立（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍解（1）由題設(shè)知， 令，解得，由題意可得，即，所以，

13、即 由、可得 4分又恒成立，即恒成立，所以，且，即，所以，從而因此函數(shù)的解析式為 8分（2）由得，整理得 當(dāng)即時，此不等式對一切都成立的充要條件是，此不等式組無解當(dāng)即時，矛盾 12分當(dāng)即時，此不等式對一切都成立的充要條件是，解得綜合可知，實數(shù)的取值范圍是 16分10已知數(shù)列中，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：對一切，有解 （1）由已知，對有 ，兩邊同除以n，得 ，即 ， 5分于是， 即 ，所以 ，又時也成立，故 10分（2）當(dāng)，有，15分所以時，有又時，故對一切，有 20分11設(shè)，求使為完全平方數(shù)的整數(shù)的值解 所以，當(dāng)時，是完全平方數(shù) 5分下證沒有其它整數(shù)滿足要求（1）當(dāng)時，有，又，所以

14、，從而又，所以此時不是完全平方數(shù) 10分（2）當(dāng)時，有令，則，即，所以 ，即 解此不等式，得的整數(shù)值為，但它們對應(yīng)的均不是完全平方數(shù)綜上所述，使為完全平方數(shù)的整數(shù)的值為10. 20分2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題一、選擇題（每小題6分，共36分）1、已知定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解則等于（ ）A B C D2、已知集合，且，則整數(shù)對的個數(shù)為（ ）.A20 B30 C42 D563、設(shè)，可使被7整除的正整數(shù)的個數(shù)是（ ）.A2857 B2587 C1857 D15874、正四面體的棱長是,是四面體內(nèi)部一點,則點到四個面的距離之和等于（ ）.A2 B C1 D5、雙

15、曲線的左、右兩焦點分別為,一條過的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，若是正三角形，則該雙曲線的離心率是（ ）.A B C D6、某人投擲兩次骰子先后得到點數(shù)，用來作為一元二次方程的系數(shù)，則使方程有實根的概率是（ ）.A B C D 二、填空題（每小題9分，共54分）1、已知函數(shù)，對于任意的實數(shù)、，均有且，則的值為 .2、已知4個正數(shù)之和為4，其平方和為8，則這4個數(shù)的最大者的最大值是_.3、設(shè)，且，則的取值范圍是_.4、已知橢圓與軸正向交于點A，若這個橢圓上總存在點P，使得,O為原點，則離心率的取值范圍是_.5、設(shè)，其中為實常數(shù)，則=_.6、平面上有11個點，每兩點連成一條直線，共得48條直線

16、，則這11個點可構(gòu)成不同的三角形的個數(shù)是_.三、解答題（每小題20分，共60分）1、已知數(shù)列滿足，求的值.2、在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點. 已知、，是橢圓內(nèi)的整點. 若，求符合條件的整點的個數(shù).3、已知函數(shù)具有正的極大值和負(fù)的極小值，其差為4. （1）求的值； （2）求的取值范圍.2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題6分，共36分）1、選C.解：關(guān)于的方程最多有兩不同的解，從而，必有一個方程有兩個不相等的實根，另一個方程有三個不同的實數(shù)解.而由已知，只有有三個不同的實數(shù)解.不妨設(shè)，由于關(guān)于直線對稱，必有，故.2、選B.解：； .

17、 于是，由題意，應(yīng)有 即 ， 所以 數(shù)對共有 個.3、選A.解：對于正整數(shù)，被7除的余數(shù)規(guī)律是2，4，1，2，4，1，；被7除的余數(shù)規(guī)律是1，4，2，2，4，1，0，. 所以，被7除所得余數(shù)的規(guī)律將呈周期性變化，周期為21，且一個周期內(nèi)恰有6個的值使能被7整除，故在小于10000的正整數(shù)中，共有2857個正整數(shù)滿足條件.4、選A.解：以為公共頂點，正四面體的各面為底面，將正四面體分為四個三棱錐，它們的體積之和即為正四面體的體積，所以點到各面距離之和等于正四面體的高. 四面體每個面三角形的高 ，從而 ， 于是正四面體的高 .5、選B. 解：設(shè)雙曲線的方程為半焦距為c，則由 解得，這表明AB軸，又

18、易知此時，結(jié)合 解得雙曲線的離心率6、選D. 解：欲使方程有實根，應(yīng)有.mn123456123456如上表，適合條件的m,n共有19組，故.二、填空題（每小題9分，共54分）1、 1 .解：由 得 ，而，所以，又，故.2、 .解：不妨設(shè) ，則由條件，于是，. 由 Cauchy不等式， ， 即 ，所以 ， 因此 的最大值為（此時）.3、10,18 .解：由條件，有 ，而 ，所以問題即求在條件下目標(biāo)函數(shù)的最值. 經(jīng)從圖像分析可知，由得到的交點A（3，1）為的最小值，即；由得到的交點B（5，1）為的最大值，即.因此，.4、 . 解：設(shè)點，則 . 于是，所以 . 由 ，知 .故 ， 即 .5、 64

19、.解：令，得 . 已知等式兩邊同時對求導(dǎo)，得 .再令，由上式得.因此 .6、 160 .解：設(shè)至少經(jīng)過3點的直線有條，每條上的點數(shù)從多到少依次為： 則由已知，有 .又由 知 .當(dāng)時 無解； 當(dāng)時 ，解得 ； 當(dāng)時 無解. 故有1條直線過其中4點，1條過3點， 即三角形個數(shù)為.三、解答題（每小題20分，共60分）1、解：由，得 ，于是 . 5分從而 = =. 10分令 ，則 比較系數(shù)，得x=1,y=0。于是，因此是以為首項，為公比的等比數(shù)列. 15分從而 ，即.在上式中，令n=2009，得. 20分2、解： 連結(jié)，易知橢圓內(nèi)整點在軸上有兩個、滿足題意.5分 分別過點、作平行于直線的兩條直線、，根

20、據(jù)三角形同底等高面積相等可知，符合條件的整點均在直線、上. 易知 ， 故直線、的解析式分別為 ， . 10分 已知是橢圓內(nèi)的整點，有.分別解 與 得 ， .15分由是整點，且在直線、上，知為偶數(shù)，所以， 在 及中，分別有四個偶數(shù). 故符合條件的整點的個數(shù)為8. 20分3、解：（1） 由 知，當(dāng)時 ，說明此時原函數(shù)是增函數(shù)，無極值，所以. 5分（i）當(dāng)時，原函數(shù)的變化如下表：+0-0+（極大）（極?。?從而由 得 ，所以 . 10分（ii）當(dāng)時，原函數(shù)的變化如下表：+0-0+（極大）（極?。亩?得 ，所以 .因此，由（i）（ii），. 15分（2）（i）當(dāng)時， 由 得 ，即 .（ii）當(dāng)時，

21、由 得 ， 即 . 20分2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試卷一.填空題：(每小題6分,共60分)1.用區(qū)間表示函數(shù)的定義域為_.2.在中,若,則_.3.在數(shù)列中,已知,則使成立的最小正整數(shù)的值為_.PAOBCD4.已知是定義在上的奇函數(shù),對任意均有,且時,則_.5.如圖,在四棱錐中,底面為正方形,為等邊三角形,為邊中點,且平面,則二面角的余弦值為_.6.已知集合,其中,且.若正整數(shù),且,則符合條件的正整數(shù)有_個.7.函數(shù) 的最小值_.8.將方程的實數(shù)解從小到大排列得則的值為_.(表示不超過的最大整數(shù))9.若正整數(shù)使得對任意一組滿足的正數(shù)都有成立,則正整數(shù)的最小值為_.1

22、0.如圖,記從“田字型”網(wǎng)格(由4個邊長為1的正方形構(gòu)成)的9個交點中任取3個點構(gòu)成的三角形面積為(當(dāng)所取的三點共線時,=0),則的數(shù)學(xué)期望E=_.二.解答題：(每小題20分,滿分100分)11.當(dāng)實數(shù)為何值時,關(guān)于的方程無解、一解、兩解？12.已知函數(shù),試求在區(qū)間上的最大值.13.如圖,在銳角中,的平分線交于點,過的外心作的垂線交于點,過點作的平行線交于點.(1)求證：四點共圓；(2)求證：三點共線；(3)求證：.14.已知雙曲線： (的離心率為2,過點 斜率為1的直線交雙曲線于兩點,且,.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)為雙曲線右支上動點,為雙曲線的右焦點,在軸負(fù)半軸上是否存在定點使得？若

23、存在,求出點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.15.數(shù)列中,已知,且對一切正整數(shù)都有.求證：對一切正整數(shù)均成立.簡易答案1. 2. 3.3 4. 5. 6.662 7. 8.15 9.310.11.當(dāng)時，無解；當(dāng)或時，僅有一解；當(dāng)時，兩解.12.13.(1)四點共圓； (2) 三點共線； (3) .14.(1) ;(2)存在定點為.15.先證明；則原不等式等價于.又，故，證閉.2010年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷說明：本試卷分為A卷和B卷：A卷由本試卷的2題組成，即10道選擇題，7道填空題、3道解答題和2道附加題；B卷由本試卷的前20題組成，即10道選擇題，7道填空題和3道解答題。一、選擇題（本大題共

24、有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）1 化簡三角有理式的值為（ A ） A. 1 B. C. D. 1+解答為 A。 。2 若，則是的（ B ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解答為 B。p成立，所以p 成立，推不出q一定成立。3 集合P=，則集合為（D）A. B. C. D. 解答：D。 畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得，。4 設(shè),為兩個相互垂直的單位向量。已知=，=，=r+k.若PQR為等邊三角形，則k，r的取值為（ C ） A B C D解答C. ，即。5

25、 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，則CA1與C1B所成的角的大小是( C )A60° B75° C90° D105°解答：C。建立空間直角坐標(biāo)系，以所在的直線為軸，在平面上垂直于 的直線為軸，所在的直線為軸。則，。 6 設(shè)，分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且，則以下結(jié)論正確的是（ A ）A. B. C. D. 解答：A。7 若的二項式展開式中系數(shù)最大的項為（ D ） A第8項 B. 第9項 C. 第8項和第9項 D. 第11項解答：D. ，r=10，第11項最大。8 設(shè)，則下述關(guān)系式正確的是（ D ）。 A B. C. D. 解答： D。函數(shù)為

26、偶函數(shù)，在（0，）上，為減函數(shù)，而，所以。9 下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為（ C ）正視圖： 半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖： 半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖： 半徑為1的圓A. B. C. D. 解答：C. 根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10. 設(shè)有算法如下：如果輸入A=144, B=39,則輸出的結(jié)果是（ B ）A. 144 B. 3 C. 0 D. 12解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空題（本大題共有7小題，將正

27、確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11. 滿足方程所有實數(shù)解為。解答 變形得，解得。12. 函數(shù)的最小正周期為. 解答 。13. 設(shè)P是圓上一動點，A點坐標(biāo)為。當(dāng)P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡方程為.解答 設(shè)M的坐標(biāo)為，因為P點在圓上，所以 所以P點軌跡為。14. 設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點D，使得AD把ABC分成兩個等腰三角形，試求ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為30°<x< 45°或22.5°<x< 30°.解答 如圖，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。ACDB（1）ACDB（2）在

28、（1）中，設(shè)最小的角為x，則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；在（2）中，設(shè)最小的角為x，則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30.15. 設(shè)z是虛數(shù)，且，則z的實部取值范圍為.解答 設(shè)當(dāng)，無解；當(dāng)。16. 設(shè)。如果對任何，都有，則k的最小值為 .解答 分子，所以k的最小值為。17. 設(shè)，。當(dāng)函數(shù)的零點多于1個時，在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為 0或q .解答 因為函數(shù)為偶函數(shù)，由對稱性以及圖像知道，在以其最小

29、零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0或q。三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18. 設(shè)數(shù)列，問：（1）這個數(shù)列第2010項的值是多少；（2）在這個數(shù)列中，第2010個值為1的項的序號是多少.解（1）將數(shù)列分組：因為1+2+3+62=1953；1+2+3+63=2016，所以數(shù)列的第2010項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù)，即為。 - 10分（2）由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1，所以第2010個1出現(xiàn)在第4019組，而第4019組中的1位于該組第2010位，所以第2010個值為1的項的序號為（1+2+3+4018）+2010=。 - 17分19. 設(shè)有紅、黑、白三種顏

30、色的球各10個?，F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個袋子中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為，則有，且 （*1）- 5分即有 。 （*2）于是有 。因此中必有一個取5。不妨設(shè)，代入（*1）式，得到。 -10分此時，y可取1，2，8，9（相應(yīng)地z取 9，8，2，1），共9種放法。同理可得y=5或者z=5時，也各有9種放法，但有時二種放法重復(fù)。因此可得共有9×32 = 25種放法。 -17分20. 已知橢圓，以（0，1）為直角頂點，邊AB、BC與橢圓交于兩點B、C。若ABC面積的最大值為，求的值。解： 不

31、妨設(shè)的方程，則的方程為。由得： 由得： 從而有于是 。令，有 - 10分因為 時等號成立。因此當(dāng) - 14分令 - 17分四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21. 設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB上的點。記。證明：。證明 由 -5分 。 - 10分所以， =。 -20分因此，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，D與C重合，或E與A重合，或F與B重合。 - 25分22. （1）設(shè)，平面上的點如其坐標(biāo)都是整數(shù)，則稱之為格點。今有曲線過格點（n，m），記對應(yīng)的曲線段上的格點數(shù)為N。證明：。(2) 進而設(shè)a是一個正整數(shù)，證明：。（注表示不超過x的最大整數(shù)）證明 （1）考慮區(qū)域且該區(qū)

32、域上的格點為nm個。又該區(qū)域由區(qū)域E：以及區(qū)域F：組成。在區(qū)域E上，直線段上的格點為個，所以區(qū)域E上的 格點數(shù)為。 - 5分同理區(qū)域F上的格點數(shù)為。 - 10分由容斥原理，。 -15分 （2）當(dāng)a是一個正整數(shù)時，曲線上的點（）都是格點，所以（1）中的N=n。同時，。將以上數(shù)據(jù)代入（1）得。 - 25分2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽一、選擇題（每小題 6 分，共36分)1已知.若可以表示成的形式（是正整數(shù)）則= ( ) . ( A ) 8 ( B ) 32 ( C ) 48 ( D ) 50 1 1. D. 由條件知,因此 故，所以，2己知一個正三棱柱的底面邊長為1, 且兩個側(cè)面的異面對

33、角線互相垂直則它的側(cè)棱長為（ ）. (A) （B）（C）2 ( D) 2B .設(shè) ABC-A1B1C1是正三棱柱，側(cè)棱的長為,側(cè)面對角線AB1與BC1互相垂直則3在直角坐標(biāo)平面 xoy 中有點A(5,0) .對于某個正實數(shù),存在函數(shù)，使得，其中，則的取值范圍為（ ）.(A) (B) (C) (D) 3A.由知，則，結(jié)合，得，即，因此，4方程的實數(shù)解的個數(shù)是（ ）(A) 0 (B) 1. (C) 2 (D) 4 4C.原方程為.分、 四種情況討論知滿足方程的實數(shù)解有2個 5己知函數(shù)滿足對所有的實數(shù)，都有，則的值為（ ）. (A)-49 (B)-l (C) 0 (D) 255 A. 令，得. 因此

34、，. 6己知實數(shù)使得只有一個實數(shù)滿足關(guān)于的不等式則滿足條件的所有的實數(shù)的個數(shù)是（ ）. (A) l (B) 2 (C) 3 (D)無窮多6B. 欲使得不等式只有一個解，則拋物線的圖像必須與直線相切因此，方程，即的判別式解得二、填空題（每小題6分，共36分） 7若雙曲線上橫坐標(biāo)為的點到右焦點的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則該雙曲線兩條漸近線所夾銳角的取值范圍是 . 7 . . 雙曲線上橫坐標(biāo)為的點到右焦點的距離為，到左準(zhǔn)線的距離為由條件知整理得，結(jié)合，解得故，即因此，雙曲線兩條漸近線所夾銳角的取值范圍是.8設(shè)多項式，則= . 8 2007 . 因此，9實數(shù)滿足.則 = . 9. 把兩個方程相減得，

35、由，知，因此只能是故進而 .因此，=10在平面真角坐標(biāo)系中，設(shè)點A(0,4) 、B(3,8) .若點使得APB最大，則= . 10. 設(shè)APB=易知當(dāng)ABC的外接圓與軸相切時APB最大. 延長BA與軸交于點Q則由圓冪定理知QP2=QA·QB= 5×10.QP =.故此時點P 的橫坐標(biāo)為. l1質(zhì)數(shù)滿足，且是一個完全平方數(shù)則滿足條件的所有三元數(shù)組（）= . 11. (2, 29, 31) . 由題設(shè)知，結(jié)合，知故.于是，. 設(shè)(為正整數(shù)）則 解得或(9,3)(舍去）因此，（）=（2, 29, 31) 12正整數(shù)，具有性質(zhì)：從集合1,2,50中任取一個元素，使得的概率是,則的最

36、大值是 . 1281. 由題設(shè)知恰有5個正約數(shù)設(shè)的質(zhì)因數(shù)分解是. 則的正約數(shù)個數(shù)為. 因此，具有（為質(zhì)數(shù)）的形式由于,故的最大值為81三、解答題（每小題20分，共80分） 13己知拋物線C: ，直線交拋物線于點A、B，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交拋物線C于點 N .(l)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行 (2)是否存在實數(shù)使得? 若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由.13（1）由，得設(shè)則故由，知拋物線C在點N處的切線的斜率為因此,拋物線C在點N處的切線與直線AB平行 (2)假設(shè)存在實數(shù)，使得由M是線段AB的中點知.由MN軸知又,則 ，則或（舍去）故存在實數(shù)，使得 14如圖l, 已知銳角ABC的外接圓半徑R=l，BAC=60 °，ABC的垂心、外心分別為H、O,聯(lián)結(jié)OH與BC的延長線交于點 P .求：(l)凹四邊形ABHC的面積； (2) POOH的值 14 ( l ）如圖，聯(lián)結(jié)AH,作ODBC于點D.由O為ABC的外心及BAC=60°，知BOC=2BAC=120°,OD=Occos60°=由歐拉線的性質(zhì)知AH =2OD=1.由正弦定理