一道習(xí)題的變式

1、一道習(xí)題的變式 浦東新區(qū)彭鎮(zhèn)中學(xué) 王國(guó)新 電話用課本上的習(xí)題，探索多種解法，進(jìn)行多種變式，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法，可以快速提高學(xué)生的解題能力。對(duì)上海版八年級(jí)（試用本）第一學(xué)期課本中的一道題（P頁(yè)第1題）的教學(xué)，可利用該題進(jìn)行一題多解、一題多變，能取得更好的教學(xué)效果。原題：已知：如圖（1），在ABC中，C90°、D為直角邊AC上的一點(diǎn)、BD平分ABC、AD2CD求證：（1）A30°， （2）點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上。分析：（1）由已知AD2CD，要證A30°，只須以AD為斜邊、CD為直角邊，構(gòu)造一

2、個(gè)直角三角形，可證。（2）要證點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，只須證ADBD即可得證。圖（1）證法一：（1）過(guò)點(diǎn)D作線段AB的垂線DE，E為垂足。 C90°，BD平分ABC （已知） DCDE （ 角平分線性質(zhì)） AD2CD （已知） AD2DE （等量代換）A30° （直角三角形中，如果一條直角邊等于 斜邊一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°） （2）C90° A30° ABC60° BD平分ABC （已知） ABDCBD30°（ 角平分線定義） AABD 30°（等量代換） ADBD （等角對(duì)等邊） 點(diǎn)D在線段

3、AB的垂直平分線上。（和線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）證法二：（1）在線段AB上取一點(diǎn)E，使BCBE，連接DE BD平分ABC （已知）CBDEBD（ 角平分線定義）在CBD和EBD中 CBDEBD （SAS） CBED90°（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）CDED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） AD2CD（已知） AD2ED（等量代換） A30° （直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°）證法三 （1）把CBD繞直線BD翻折，則線段BC落在AB上（為什么？），點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，CD與ED重合，CDED，CBED90

4、6; AD2CD（已知） AD2ED（等量代換）A30° （直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°）把原題做如下改編1題設(shè)不變，結(jié)論改為BCAB。只須證明A30°證明方法同上。 2把題設(shè)中的“AD2CD”和結(jié)論中的“A30°”對(duì)調(diào)已知：如圖（1），在ABC中，C90°、D為 直角 邊AC上的一點(diǎn)、 BD平分ABC、A30°求證：AD2CD分析：作DEAB于E，則AD2DE，在證DCDE證明：作DEAB于E A30°（已知） AD2DE（直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的

5、一半） BD平分ABC，C90°（已知） DEAB （已作） CDED （ 角平分線性質(zhì)） AD2CD（等量代換）3把題設(shè)中的“AD2CD”和結(jié)論中的“（2）點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上”對(duì)調(diào)就是課本練習(xí)第3題。圖（2）已知：如圖（2），在ABC中，C90°，BD平分ABC，DE垂直平分AB 求證：AD2CD分析：由已知C90°，BD平分ABC，DE垂直平分AB可得 CDED （ 角平分線性質(zhì)） ，只須證明A30°證明：C90°，BD平分ABC，DEAB（已知） CDED （ 角平分線性質(zhì)） DE垂直平分AB（已知） ADBD（線段垂直平分線性

6、質(zhì)） AABD（等邊對(duì)等角），BD平分ABC（已知）CBDABD（角平分線定義）A+ABC90°（直角三角形性質(zhì)）CBDABDA30°AD2DE（直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）AD2CD（等量代換）4把題設(shè)中的“BD平分ABC”和結(jié)論中的“（1）A30°”對(duì)調(diào)已知：如圖（1），在ABC中，C90°，D為直角邊AC上的一點(diǎn)，AD2CD，A30°。求證：BD平分ABC分析：作DEAB于E，要證BD平分ABC，只須證明CDED證明： DE垂直平分AB，A30°（已知） AD2DE（直角三角形中，30°

7、角所對(duì)的直角邊的等于斜邊的一半） AD2CD（已知） CDED（等量代換） A E D C B （4） C90°（已知）DEAB （已作） BD平分ABC （到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）5把題設(shè)中的“BD平分ABC”和結(jié)論中的“（2）點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上”對(duì)調(diào)。已知：如圖（2），在ABC中，C90°，D為直角邊上的一點(diǎn)，AD2CD，DE垂直平分AB 求證：BD平分ABC分析：證明CBDABDA30°證明：DE垂直平分AB（已知） ADBD（線段垂直平分線性質(zhì)） AABD（等邊對(duì)等角） AD2CD（已知） BD2CD（等量代換） CBD30&#

8、176;（直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°）A+ABC90°（直角三角形性質(zhì)） A+ABD60° ABDA30°CBDABD30°（等量代換）BD平分ABC（角平分線定義）6把題設(shè)中的“BD平分ABC，AD2CD”和結(jié)論中的“（1）A30°，（2）點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上”同時(shí)對(duì)調(diào)已知：如圖（2），在ABC中，C90°，A30°，D為直角邊AC上的一點(diǎn)，DE垂直平分AB求證：（1） BD平分ABC， （2）AD2CD 。分析：（1） 要證BD平分ABC，只須證明，CBD

9、EBD，既CBDABDA30°，（2）由已知，AD2DE，要證AD2CD，只須證明，CDED即可得證。證明：（1） DE垂直平分AB，A30°（已知） ADBD（線段垂直平分線性質(zhì)） ABDA30°（等邊對(duì)等角） C90°，A30°（已知） ABC60°(三角形性質(zhì)) CBDABDA30° BD平分ABC（ 角平分線定義）（2）DE垂直平分AB，A30°（已知） AD2DE（直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊的等于斜邊的一半）由（1）BD平分ABCC90°，DEAB（已知） CDED（ 角平分線性質(zhì)） AD2CD（等量代換）本題還可以變式為：1已知：如圖（3），在ABC中，C90°、D為直角邊AC上的一點(diǎn)、BD平分ABC、AD2CD求證：BCCD2已知：如圖（3）在ABC中，C90°、D為直角邊AC上的一點(diǎn)，BD平分ABC ，BCCD 求證：AD2CD、 3已知：如圖（3）在ABC中，C90°、D為直角邊AC上的一點(diǎn)，ACBC，AD2CD求證：BD平分ABC。4已知：如圖（3）在ABC中，C90°、D為直角邊AC上的一點(diǎn)，ACBCDE垂直平分AB。求證：AD