2018年高考數(shù)學總復(fù)習-不等式選講(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三節(jié) 不等式選講(選修4-5)考綱解讀 1.了解絕對值的幾何意義，會利用絕對值的定義解不等式，利用絕對值不等式證明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其幾何意義，會用它來證明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，會用它來證明不等式和求最值.4.會用綜合法、分析法、反證法及數(shù)學歸納法證明不等式.命題趨勢探究本節(jié)內(nèi)容為新課標新增內(nèi)容，是高考選考內(nèi)容.題型以含絕對值的不等式的解法和證明為重要考點，不等式的應(yīng)用為次重要考點，不等式證明放在一般位置，難度為中檔.知識點精講一、不等式的性質(zhì)1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后為必要條件）2.同解變形（1）；（2）；（3

2、）.（變形后為充要條件）3.作差比較法二、含絕對值的不等式（1）；（2）（3）零點分段討論三、基本不等式（1）（當且僅當?shù)忍柍闪l件為）（2）（當且僅當?shù)忍柍闪l件為）；（當且僅當時等號成立）（3）柯西不等式 （當且僅當時取等號）幾何意義：推廣：.當且僅當向量與向量共線時等號成立.四、不等式的證明（1）作差比較法、作商比較法.（2）綜合法由因到果.（3）分析法執(zhí)果索因.（4）數(shù)學歸納法.（5）構(gòu)造輔助函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式.（6）反證法.（7）放縮法.題型歸納即思路提示題型201 含絕對值的不等式一、解含絕對值的不等式思路提示 對于含絕對值的不等式問題，首先要考慮的是根據(jù)絕對值的意義去掉絕對

3、值.常用的去絕對值方法是零點分段法.特別用于多個絕對值的和或差不等式問題.若單個絕對值的不等式常用以下結(jié)論： ； . 有時去絕對值也可根據(jù)來去絕對值.例16.14 在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為 .解析 由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集為.變式1 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 變式2 已知函數(shù). （1）證明：； （2）求不等式的解集.二、含絕對值不等式恒成立，求參數(shù)問題例16.15 （2012遼寧理24）已知,不等式的解集為.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.解析 （1）由得，又的解集為，所以當時，不合題意.當時，得.(2)記，則，所以，因此，即的取值范圍是.變

4、式1 （2012新課標理24）已知函數(shù). （1）當時，求不等式的解集； （2）若的解集包含，求的取值范圍.變式2 (2013重慶理16) 若關(guān)于實數(shù)的不等式無解，則實數(shù)的取值范圍是 .變式3 (2013全國新課標I理24) 已知函數(shù),. (1)當時，求不等式的解集； (2)設(shè)，且當時，求的取值范圍.三、含絕對值（方程）不等式有解，求參數(shù)問題例16.16 若關(guān)于的不等式存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 . 解析 不等式有解，則，故實數(shù)的取值范圍是.變式1 (2012陜西理15)若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的取值范圍是 .變式2 已知，關(guān)于的方程有實根，求的取值范圍.四、已知含絕對值不等式的解集，求參數(shù)

5、的值或范圍例16.17 （2013福建理23） 設(shè)不等式的解集為，且 . (1)求的值； (2)求函數(shù)的最小值.分析 先根據(jù)不等式的情況求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析 （1）因為且，所以，且，解得.又，所以. (2)因為，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.變式1 設(shè)函數(shù)，其中. (1) 當時，求不等式的解集； (2)若不等式的解集為，求的值.變式2 (2013遼寧理24) 已知函數(shù)，其中. (1) 當時，求不等式的解集； (2) 已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值.變式3 (2012山東理13) 若不等式的解集為，則實數(shù)= .題型202 不等式的證明一、比較法（差值法和比值法）思路

6、提示 將待比較的兩個代數(shù)式通過作差或作商，與與進行比較，得到大小關(guān)系.例16.18 已知均為正實數(shù)，且，求證：.分析 比較與的大小可通過作差法.解析 .因為，所以,.故.所以.評注 作差比較的基本步驟為：（1）作差.（2）變形.（3）判斷符號.變式1 已知，且,. 求證：.二、利用函數(shù)的單調(diào)性證明思路提示 使用對象：在某區(qū)間成立的函數(shù)不等式、數(shù)值不等式的證明通常是通過輔助函數(shù)完成的. 解題程序：（1）移項（有時需要作簡單的恒等變形），使不等式一端為，另一端為所作輔助函數(shù).（2）求并驗證在指定區(qū)間上的單調(diào)性.（3）求出區(qū)間端點的函數(shù)值（或極限值），其中至少有一個為或已知符號，作比較即得所證.例1

7、6.19 已知，求證：.分析 屬于在某區(qū)間上成立的不等式，通過移項使得一端為，另一端為所作的輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.解析 原不等式等價于.令，.令，則，故在上是減函數(shù)，所以當時，故. 故，所以在上是增函數(shù).又，所以當時，成立.于是成立.變式1 證明：當時，.三、綜合法與分析法思路提示 字母分別表示一組不等式，其中為已知不等式，為待證不等式.若有，綜合法是由前進式地推導(dǎo)，分析法是由倒退式地分析到.用分析法時，必須步步可逆.1.綜合法（由因到果）例16.20 證明：.分析 觀察到與是負數(shù)，被開方數(shù)分別為，顯然滿足，這樣可以考慮將分子有理化.解析 ，故，即.評注 類似的問題可以總結(jié)為d的形式

8、或者更廣泛的形式.變式1 設(shè)，求證：.2.分析法（由果索因）例16.21 設(shè)，求證：.分析 利用分析法將證明的不等式進行恒等變形，從而探尋證明的突破口.解析 要證明， 只要證， 即證. 因為， 所以. 故原不等式成立.評注 在證明不等式時，經(jīng)常用分析法探尋證明思路，再用綜合法表述證明過程，有些不等式的證明需要一邊分析，一邊綜合，在使用分析法證明時，要注意分析過程步步可逆.變式1 若，且，求證：.四、反證法思路提示 從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的.它的依據(jù)是原命題與逆否命題同真假.例16.22 已知為不小于的正數(shù)，求證：不可能同時大于.分析

9、假設(shè)三式都大于，經(jīng)過推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論的正確性.解析 假設(shè)三式都大于，即， 有 同理 三式相加得，矛盾，故原命題成立.評注 對于從正面證明不易著手，但從反面證明相對簡單的命題，利用反證法解題會很方便.這也體現(xiàn)了數(shù)學中“正難則反”的思想.變式1 已知，,求證：.五、放縮法思路提示 預(yù)證，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得或，再利用傳遞性，達到證明目的，常見的放縮途徑有“添舍”放縮、“分母”放縮和“單調(diào)”放縮.例16.23 已知正數(shù)滿足，求證：.分析 采用“添項”放縮法解析 同理 +得.評注 放縮法的主要依據(jù)是不等式的傳遞性，通常，若所證不等式兩邊

10、形式差異較大，則應(yīng)考慮用放縮法.本題也可用柯西不等式證明：，所以.變式1 證明：.例16.24 求證：.分析 采用“分母”放縮法證明.解析 由題意，則，.所以原不等式成立.例16.25 設(shè)，且滿足，問取何值時，以為邊可構(gòu)成三角形，并判斷該三角形的形狀.解析 由冪函數(shù)性質(zhì)可知，要構(gòu)成三角形，只需，故， 即證明， 只需證明，即. 由，且， 由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減可知，要使得式成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.當時，三角形為直角三角形；當時，即，此時三角形為鈍角三角形；當時，即，此時三角形為銳角三角形.六、三角換元法思路提示 若，等為已知條件，求證不等式時，利用三角換元法較容易，但是務(wù)必注意換元前

11、后參數(shù)的范圍變化.例16.26 設(shè)實數(shù)滿足，求證：. 分析 由，聯(lián)想到三角換元.解析 令， .當，即時，取得最大值，證畢.評注 三角換元在不等式證明以及求函數(shù)的最值、解析幾何中參數(shù)的范圍及最值方面有著極大的作用，常常可化難為易.變式1 設(shè)，求證：.七、構(gòu)造法思路提示 一般說來，用構(gòu)造法證明不等式，常見的構(gòu)造方法如下： （1）構(gòu)造輔助函數(shù). （2）構(gòu)造輔助數(shù)列. （3）構(gòu)造幾何圖形.例16.27 設(shè)，若，求證：.分析 構(gòu)造一次函數(shù)證明.解析 即.若視為未知數(shù)，并用代替，即證明時，.即證.設(shè),即證時，.而是關(guān)于的一次函數(shù)，且，因此當時，成立，從而原不等式成立.評注 本題也可利用如下解法：，即證，即

12、證，即，由，得，故成立.例16.28 已知為三角形的三邊長，求證：.分析 不等式左右兩邊的個式子具有相同的結(jié)構(gòu)形式，故考慮構(gòu)造函數(shù).解析 ，說明函數(shù)在上單調(diào)遞增，又為三角形的三邊長，故，則.變式1 證明：.變式2 已知且，求證：.例16.29 證明：當且時，有.分析 本題通過構(gòu)造輔助數(shù)列證明.解析 構(gòu)造數(shù)列，因為，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.所以，即.評注 本題將看作參數(shù)構(gòu)造輔助數(shù)列，判斷數(shù)列的單調(diào)性從而證明結(jié)論.例16.30 設(shè)，求證：.分析 根據(jù)已知式的形式特征聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造幾何圖形證明.解析 如圖16-34所示，構(gòu)造正方形，圖 16-34設(shè)，則，則.變式1 設(shè)，求證：.八、利用柯西不等式

13、證明不等式思路提示 柯西不等式不僅具有優(yōu)美的代數(shù)表現(xiàn)形式及向量表現(xiàn)形式，而且有明顯的幾何意義，它與基本不等式具有密切的關(guān)系，其作用類似于基本不等式可用來求最大（小）值或證明不等式，不過它的特點更明顯應(yīng)用更直接.1.二維形式的柯西不等式設(shè)，.等號成立.證明 設(shè)，由，得，又，即，故等號成立即.2.一般形式的柯西不等式 設(shè)及為任意實數(shù)，則，當且僅當（規(guī)定時，）時等號成立. 證法一：當全為時，命題顯然成立.否則，考查關(guān)于的二次函數(shù)，顯然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判別式不大于零，即，整理后得.證法二：向量的內(nèi)積證法. 令，為與的夾角.因為，且，所以，即，等號成立或平行.柯西不等式提示了任意兩組實

14、數(shù)積之和的平方與平方和之間的關(guān)系，應(yīng)用它可以簡單地證明許多復(fù)雜的不等式，下面舉例說明.例16.31 已知函數(shù)，且的解集為.求的值；若，且，求證：.解析 因為，等價于.由有解，得，且其解集為.又的解集為，故.由知，又，由柯西不等式得.變式1 已知，求證：.變式2 已知，.求證：.例16.32 設(shè)實數(shù)滿足，求證：.解析 由柯西不等式，.所以，所以.評注 有些證明不等式的題，表面上看與柯西不等式無關(guān)，然而通過對原不等式作適當?shù)淖冃胃脑旌髤s可以應(yīng)用柯西不等式加以解決，當然具體如何變形改造是關(guān)鍵，也是難點，這往往需要經(jīng)過觀察、直覺、猜測、推理等.變式1 已知,且，求證：.變式2 已知正實數(shù)滿足，求證：.最有效訓(xùn)練題61(限時45分鐘)1.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 2.設(shè)，則（ ）A. 都不大于 B. 都不小于 C. 至少有一個不大于 D. 至少有一個不小于3.若，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 由的取值決定 4.用數(shù)學歸納法證明某不等式，左邊，“從到”應(yīng)將左邊加上（ ）