場函數(shù)的三種基本微分運算

1、CQU1 1、場函數(shù)的三種基本微分運算、場函數(shù)的三種基本微分運算 標量場的梯度標量場的梯度f ，矢量場的散度，矢量場的散度F 和和F 旋度簡稱旋度簡稱 “三三度度” 運算。運算。 2 2、場函數(shù)的二階運算、場函數(shù)的二階運算 （5）矢量場旋度的旋度）矢量場旋度的旋度 (F)（1）標量場梯度的散度）標量場梯度的散度 f（2）標量場梯度的旋度）標量場梯度的旋度 f（3）矢量場散度的梯度）矢量場散度的梯度 (F)（4）矢量場旋度的散度）矢量場旋度的散度 (F)1.5 場函數(shù)的高階微分運算場函數(shù)的高階微分運算CQU兩個重要的恒等式兩個重要的恒等式 0f ()0 F3 3、場函數(shù)的拉普拉斯運算、場函數(shù)的拉

2、普拉斯運算ff2所以有所以有拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在直角坐標系中在直角坐標系中 2222222zfyfxfff2222222zyx 標量場標量場1.5 場函數(shù)的高階微分運算場函數(shù)的高階微分運算 CQUFFFFF2)()()()()()(2FFF因為因為 所以所以 2 2作用于矢量場將得到作用于矢量場將得到一個新的矢量場一個新的矢量場 算符算符 2 2 作用于矢量場的結(jié)果將得到作用于矢量場的結(jié)果將得到一個新的矢量場一個新的矢量場。zzyyxxFFF2222eeeF在直角坐標系中在直角坐標系中 1.5 場函數(shù)的高階微分運算場函數(shù)的高階微分運算 CQU4、兩個與算符、兩個與算符 2 有關(guān)的恒等式

3、有關(guān)的恒等式 相對坐標標量函數(shù)相對坐標標量函數(shù))(rrfff22 相對位置矢量相對位置矢量 R 及其模及其模 R20R012R2300 RRR233110RRRR RR因為因為 1.5 場函數(shù)的高階微分運算場函數(shù)的高階微分運算 CQU例例 3 計算計算 )1(3rr44454544443433433433433113333)1(rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr解解1.5 場函數(shù)的高階微分運算場函數(shù)的高階微分運算 CQU1.5 場函數(shù)的高階微分運算場函數(shù)的高階微分運算 作業(yè)：作業(yè)：1.13（1）CQU1 1、高斯散度定理（、高斯散度定理（GaussGauss）證明：證明：1d

4、diNiSSiFSFS1ddiNisiSiiVVFSFS上式可寫成上式可寫成SV12(a)(a)(b)(b)為證明高斯定理將區(qū)域細分為證明高斯定理將區(qū)域細分12en2en11.6 矢量場的積分定理矢量場的積分定理d()dSVVFSF在閉面在閉面S上及上及S所包圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域V內(nèi)，只要矢量場內(nèi)，只要矢量場F(r)有有一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù)，則，則F(r)在在S上的閉合面積分等于它上的閉合面積分等于它的散度在的散度在V內(nèi)的體積分內(nèi)的體積分 CQU 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V 中場中場F與邊界與邊界S上的場上的場F 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。矢量函

5、數(shù)的面積分與體積分的互換。1.6 1.6 矢量場的積分定理矢量場的積分定理2 2、斯托克斯定理、斯托克斯定理(Stockes)(Stockes)ddlSFlFS斯托克斯定理斯托克斯定理：矢量：矢量F(r)沿任一閉合路徑沿任一閉合路徑l的環(huán)量，等于的環(huán)量，等于F(r)的的旋度在以該閉合路徑界為邊界的任一曲面旋度在以該閉合路徑界為邊界的任一曲面S上的通量上的通量 取取 的極限，可得的極限，可得0iVN,0110dddlimlimdiiiiNiiSSiiSNViiiiVVVVVVVFSFSFSFCQUii1iddiNlliSSFlFl證明：證明：i10iS01ddlimdlim()d() diiii

6、NlilNiiSliiinSSSSSSSFlFlFlFeFS取取 的極限，可得的極限，可得0i,SNSlFen sili上式可寫成上式可寫成1.6 1.6 矢量場的積分定理矢量場的積分定理CQU矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域 S 中場中場F 與邊界與邊界 l 上的場上的場F 之間的關(guān)系之間的關(guān)系在電磁場理論中，在電磁場理論中，Gauss Gauss 定理和定理和 Stockes Stockes 定理定理是兩個非常重要的公式。是兩個非常重要的公式。1.6 1.6 矢量場的積分定理矢量場的積分定理ddlSFlFSCQU3 3、格林公式、格林公式)()()(rrrF設設() d()dSVVS應用高斯定理應用高斯定理nenn)(式中，式中，是是 在在S 面上的外法向?qū)?shù)。面上的外法向?qū)?shù)。2)()(格林第一公式格林第一公式2()()SSVddSdVnS（1）1.6 1.6 矢量場的積分定理矢量場的積分定理CQU 將將 和和 的位置交換，得的位置