橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)

1、橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)(必背的經(jīng)典結(jié)論)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)內(nèi)切.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相離. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓x°xy°yra2 2若P)(x),yo)在橢圓 篤爲(wèi)=1上，則過(guò)P)的橢圓的切線方程是 a b2 2P1、P2,則切若P)(x0,y0)在橢圓 篤每"外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為a b點(diǎn)弦P1P2的直線方程是

2、竽與 =1.a b2 2橢圓2 =1 (a> b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)a b2 VF1PF2 - ，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為Sf1pf2 =b tan?.2 2x y橢圓一22=1 (a>b>0)的焦半徑公式：a b|MF1pa ex ,|MF2pa-ex ( Fj-c,。)，F(xiàn)2(c,0) M (x°, y°).設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)， 連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A2為

3、橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),AjP和A2Q交于點(diǎn) M , A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.22AB是橢圓22 = 1的不平行于對(duì)稱軸的弦，a bOkOM AB2 ，a即Kab喚。a yoM(Xo, yo)為AB的中點(diǎn)，若R(xo,y°)在橢所平分的中點(diǎn)弦的方程2 _ xo_ _2a_2xox .y°y _Xo Yo_2,2 2,2a b a b若F0(Xo,yo)在橢圓2 2x y22 =1內(nèi)，則過(guò) Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程a b2 2x yX°xy°yab2 _ a2b2雙曲線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)

4、在直線點(diǎn)P處的切線為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓P在左支)是 XoXyoya2 _ b2 _ .22Xy2 ab222Xy2 ab2若Fq(Xo, yo)在雙曲線=1 (a> 0,b> 0)若F0(Xq, yo)在雙曲線=1 (a> 0,b> 0)線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸相切.(內(nèi)切：P在右支；外切:上,XqX則過(guò)R的雙曲線的切線方程，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切1.2.3.4.5.6.7.&9.10.11.12.2 2 雙曲

5、線才bp(a> 0,b> 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意點(diǎn) ZF1PF ,則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S.epfz二b2co篤.'.時(shí)2(a> 0,b > 0)的焦半徑公式：(Fj-c,。), F2(c,0)2 2 雙曲線篤每-1a2 b2當(dāng) M (Xq, yo)在右支上時(shí)，|MR |=eX)a,IMF2 卜 eX。- a.當(dāng) M (Xq, yo)在左支上時(shí)，IMF11= -eXo a,IMF2 卜-eX - a設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N

6、兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn) M , A2P和A1Q交于點(diǎn) N，貝U MF丄NF.2 2X yAB是雙曲線 2=1 (a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(Xo,y。)為ABa bb2b2的中點(diǎn)，貝y Kom Ka，即 Ka。a yoay。2 2若PQ(x0, yo)在雙曲線 令-占=1 (a> 0,b> 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方a b22程是 XqX _y°y _x。_y°a2b2a2 b222x y13. 若F0(x0,y°

7、)在雙曲線 2 =1 (a>0,b>0)內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程a b22是xy是r2abx°xyoya2 b21.2.3.4.橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)2 2x y橢圓+1r=i (a>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的直a b2 2 線交橢圓于Pi、P2時(shí)AiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 篤-爲(wèi)二1 .a b2 2x y過(guò)橢圓二 2 =1 (a>0, b>0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線a bb2x交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kgc廠0 (常數(shù))a y。若

8、P為橢圓.PF1F2 二:2x設(shè)橢圓V a22Xy22=i ( a> b > 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),Fi, F 2是焦點(diǎn)，ab,PF2F ，則a -c：；l;,tan co ta c22的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、f2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在 PFi F2中，記-EPF?二：，PRF2 = 1 , RF2P 二，則有sin asin ： sin5.2x若橢圓一2a2y2=1 (a> b> 0)b2的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0vew2 -1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).226.P為橢圓?i

9、=i (a>b>0)上任一點(diǎn),Fi,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則2a -1AF2冃PA| | PFi卜2a | AR 當(dāng)且僅當(dāng)A, F?, P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成7.8.2 (y?)2=1與直線 bA2a2 B2b2 _ (Ax0 By0 C)2.y22 =1 (a > b > 0), O b21 12 2|OP| |OQ| a2b2 a2 b2 .橢圓(xx。)a2x已知橢圓2aOP _OQ . (1)(3) S opq的最小值是9.MN的垂直平分線交10.Ax By C=0有公共點(diǎn)的充要條件是為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且1+ 2a(a> b>

10、 0)的右焦點(diǎn)1;(2) |OPf+|OQ|2的最大值為 bF作直線交該橢圓右支于e|MN2x軸于p,則1PFI2 2xy已知橢圓二 2 =1 ( a> b> 0),A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段abM,NAB2 24a b ;；a b兩點(diǎn)，弦的垂直平2 .2 2 .2分線與x軸相交于點(diǎn)P(x,0)，則-a 一 ：: x0 :： a 一a2 211.設(shè)P點(diǎn)是橢圓務(wù)¥ =1(a>b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)“2tan.2則(1)|PF1|PF2|=2b .(2) Spf1F21 + cos 廿12.2 2x y2 亍=1 ( a> b

11、> 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， a bNPAB ,NPBA = 0上BPA =丫 , c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有2 2 2ab | cosI-22a b(1)|PA |= 2_L .(2) tana tan P = 1 e .(3) 沁= 口_2 cot ；.a -c cos ；b -a設(shè)A、B是橢圓c、P是橢圓上的一點(diǎn),2 2x y13.已知橢圓二 2=1( a> b>0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)Fa b的直線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線丨上，且BC _ X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的

12、圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16. 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17. 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）雙曲線1.2 2xy雙曲線 2 =1 (a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(a,0), A2(a,0)ab，與y軸2.

13、3.2平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 篤a的直線交雙曲線于2 y b2-1.=1 （a> 0,b>o）上任一點(diǎn)A（xo, yo）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC 二-b2x° (常數(shù)).a y2八 y若P為雙曲線 2=1 (a> 0,b> 0)右(或左)a bx2支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F 2 是焦點(diǎn)，PF|F2 = ： , -PF2F1 =-，則4.22xy設(shè)雙曲線2=1 (a> 0,b> 0)ab的兩個(gè)焦點(diǎn)為F2,P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在 PF1F2中，記 f1p

14、f2 =：PF1F2 = 1, F1F2P 二，則有sin :-(sin- sin -)2 2X y5.若雙曲線 2=1 （a> 0,b> 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng) ,a b則當(dāng)1v ew 2 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF?的比例中項(xiàng)22P為雙曲線十"(a> " 0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1'F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)定點(diǎn)，則| AF21 -2a <| PA | |PF11 ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2,P三點(diǎn)共線且 P和A, F?在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立7.8.2 2x y雙曲線2 =1 (a>

15、0,b>0)與直線 Ax By0有公共點(diǎn)的充要條2 b22 2 2-B2b2 EC2.22x yP_/=1(b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)a b點(diǎn)，且 OP _OQ .a件是A2a2已知雙曲線/八11(1)2 2|OP|2 |OQ |22b2 的最小值是-OT.b - - a22過(guò)雙曲線篤-爲(wèi)a b9.M,N兩點(diǎn)，弦MN10.2x已知雙曲線a垂直平分線與11.12.2 2-2； ( 2) |OPf+|OQ|2的最小值為 電巴 ;(3) S-OpQa bb a=1 ( a> 0,b> 0)的右焦點(diǎn) F作直線交該雙曲線的右支于| pf | e的垂

16、直平分線交x軸于P，則麗二2y2 =1 (a>0,b>0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn), b2x軸相交于點(diǎn)P(x0,0)，則x02x設(shè)P點(diǎn)是雙曲線 ：a每=1 (a> 0,b> 0)b為其焦點(diǎn)記 F1PF2 -則(1)|PF1 |PF2|線段 AB的2 2a2 b2或x。乞aa2 b2上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、f2尋. Spkfc%.2 2x y設(shè)A、B是雙曲線 2 =1 (a> 0,b >0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的a b一點(diǎn)，.PAB= , . PBA = BPA=<F, c、e分別是雙曲線的半焦距離22ab |cos： |心率，則有(1)|PA|=222.|a -c cos|(2) tan : ta n： =1-e2.(3) S PAB2a2b222 cot .b2 a222xy已知雙曲線 2 =1 (a>0,b>0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)雙曲ab線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC _ X軸，則直線 AC 經(jīng)過(guò)線段 EF 的中點(diǎn) .14. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切